2021-2022学年重庆市云阳县梯城教育联盟八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年重庆市云阳县梯城教育联盟八年级（下）期中数学试卷

一．选择题（本题共12小题，共48分）

1. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是

A.  B.  C.  D.

2. 以下运算错误的是

A.  B.
C.  D.

3. 下列各式中是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

4. 估计的值在

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

5. 若，则等于

A.  B.  C.  D.

6. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是

A. 对角线互相平分 B. 对角相等
C. 对边相等 D. 对角线相等

7. 下列命题中错误的是

A. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
B. 四条边都相等的四边形是菱形
C. 矩形的对角线相等
D. 对角线相等的四边形是矩形

8. 观察下列各式规律：；；；；若则的值为

A.  B.  C.  D.

9. 如图，▱中，对角线、相交于点，交于点，连接，若▱的周长为，则的周长为

A.
B.
C.
D.

10. 如图，四边形是菱形，对角线，相交于点，于点，连接，若，则的度数是

A.  B.  C.  D.

11. 若数使关于的不等式组无解，且使关于的分式方程的解为正数，则符合条件的所有整数的和为

A.  B.  C.  D.

12. 如图，在菱形中，，点、分别是、上任意的点不与端点重合，且，连接与相交于点，连接与相交于点给出如下几个结论：：≌；与一定不垂直；的大小为定值其中结论正确的是

1.  B.  C.  D.

二．填空题（本题共4小题，共16分）

13. 若，则______．
14. 三角形的三边长，，满足，则此三角形的形状是______三角形．
15. 已知，菱形中，对角线，，则此菱形的面积为______．
16. 如图，在▱中，为的中点，，垂足为，，，______．
     

三．计算题（本题共1小题，共8分）

17. 计算：
    ；
    ．

四．解答题（本题共8小题，共78分）

18. 先化简，再求值：，其中．
19. 已知如图，四边形是平行四边形．
    尺规作图：作的角平分线交的延长线于，交于不写作法和证明，但要保留作图痕迹．
    请在的情况下，求证：．

20. 如图，在▱中，点、分别在边、的延长线上，且，分别与、交于点、求证：．

21. 如图，为矩形对角线的交点，，．
    
    试判断四边形的形状，并说明理由；
    若，，求四边形的面积．
22. 阅读下列材料，然后回答问题
    在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如这样的式子，我们可以将其分母有理化：；
    还可以用以下方法分母有理化：．
    请用不同的方法分母有理化：；
    化简：．
23. 为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用元购进乒乓球若干盒，第二次又用元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的倍，购进数量比第一次少了盒．
    求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
    若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？
24. 如果一个正整数的各位数字都相同，我们称这样的数为“同花数”，比如：，，，，对任意一个三位数，如果满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“异花数”将一个“异花数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和记为如，对调百位与十位上的数字得到，对调百位与个位上的数字得到，对调十位与个位上的数字得到这三个新三位数的和，是一个“同花数”．
    计算：，，并判断它们是否为“同花数”；
    若“异花数”中、都是正整数，，，且为最大的三位“同花数”，求的值．
25. 已知正方形，点是对角线所在直线上的动点，点在边所在直线上，且随着点的运动而运动，总成立．
    如图，当点在对角线上时，请你通过测量、观察，猜想与有怎样的关系？直接写出结论不必证明；
    如图，当点运动到的延长线上时，中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
    如图，当点运动到的反向延长线上时，请你利用图画出满足条件的图形，并判断此时与有怎样的关系？直接写出结论不必证明

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：若二次根式在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故选：．
根据二次根式的概念，形如的式子叫做二次根式，进而得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握二次根式的定义是解题关键．
 

2.【答案】

【解析】解：、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、，故D不符合题意；
故选：．
利用二次根式的相应的运算法则对各项进行分析即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

3.【答案】

【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，符合题意；
D、原式，不符合题意．
故选：．
利用最简二次根式定义判断即可．
此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式定义是解本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：，
，
则，即和之间，
故选：．
估算得出所求范围即可．
此题考查了估算无理数的大小，弄清估算的方法是解本题的关键．
 

5.【答案】

【解析】

【分析】本题考查了二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解决问题的关键．先根据 把二次根式开方，得到 ，再计算结果即可．
【解答】解： ，




．
故选： ．   

6.【答案】

【解析】解：、矩形、平行四边形的对角线都是互相平分的．，故本选项不符合；
B、矩形、平行四边形的对角都是相等的，故本选项不符合；
C、矩形、平行四边形的对边都是相等的，故本选项不符合；
D、矩形的对角线相等，平行四边形的对角线不一定相等，故本选项符合；
故选：．
根据矩形的性质、平行四边形的性质即可判断；
本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．如，矩形的对角线相等．
 

7.【答案】

【解析】解：、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以选项的说法正确；
B、四条边都相等的四边形是菱形，所以选项的说法正确；
C、矩形的对角线相等，所以选项的说法正确；
D、对角线相等的平行四边形是矩形，所以选项的说法错误．
故选：．
根据平行四边形的判定对进行判断；根据菱形的判定对进行判断；根据矩形的性质对进行判断；根据矩形的判定方法对进行判断．
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果那么”形式．、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
 

8.【答案】

【解析】解：：；
；
；

，
，
，，
．
故选：．
观察式子可得到第个式子的整数部分为，故第个式子为，可得、的值，问题可解．
本题考查了规律型：数字的变化类，根据已知数据得出数字之间的变化规律是解题关键．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
▱的周长为，
，
，
是线段的中垂线，
，
的周长，
故选：．
先判断出是的中垂线，得出，从而可得出的周长，再由▱的周长为，即可得出答案．
此题考查了平行四边形的性质及线段的中垂线的性质，解答本题的关键是判断出是线段的中垂线．
 

10.【答案】

【解析】

【分析】
此题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线以及等腰三角形的判定与性质．注意证得 是等腰三角形是解题关键．
由四边形 是菱形，可得 ， ，又由 ， ，可求得 的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得 是等腰三角形，继而求得 的度数，然后求得 的度数．
【解答】
解： 四边形 是菱形，
， ， ，
，
，
，
，
，
，
故选： ．   

11.【答案】

【解析】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
不等式组无解，
，
解得：；
，
，
，
，
，
．
，
，
；
方程的解为正数，
，
解得：．
且，
所有符合条件的整数有：，，，，，，
所有符合条件的整数的和为．
故选：．
分别解这两个不等式，根据不等式组无解，求得的范围；解分式方程，排除增根，且解为正数，列出不等式，求得的范围，与前面的范围一起确定出最终的范围，写出满足条件的整数，求和即可．
本题考查了一元一次不等式组的解法，分式方程的解法等，考核学生的计算能力，特别注意分式方程不能出现增根．
 

12.【答案】

【解析】解：为菱形，
，
，
为等边三角形，
，
又，，
≌，故、正确；
当点，分别是，中点时，
由知，，为等边三角形，
点，分别是，中点，
，
，
≌，
，
，
即，故错误；
，为定值，
故正确；
综上所述，正确的结论有，
故选：．
先证明为等边三角形，即可得到的度数；根据“”即可证明≌；因为点、分别是、上任意的点不与端点重合，且，当点，分别是，中点时，；依据三角形外角性质即可得到．
此题综合考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，利用全等三角形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：由，得，，即．
所以．
故答案是：．
根据二次根式的被开方数是非负数求得，然后代入求值即可．
考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为，这几个非负数都为．
 

14.【答案】直角

【解析】解：，
，
，
三角形的三边长，，满足，
此三角形是直角三角形，
故答案为：直角．
根据题目中的式子和勾股定理的逆定理可以解答本题．
本题考查勾股定理的逆定理、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用勾股定理的逆定理解答．
 

15.【答案】

【解析】解：，，
菱形的面积．
故答案为：．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答．
本题主要考查利用对角线求面积的方法，求菱形的面积用得较多，需要熟练掌握．
 

16.【答案】

【解析】解：延长交的延长线于点，
四边形是平行四边形，
，，
，
为的中点，
，
≌，
，，
，，
，
，
，
故答案为
延长交的延长线于点，根据平行四边形的性质得到，，进而得到，即可证明出≌，结合题干条件解直角三角形即可得到的长．
本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是合理地作出辅助线，此题有一定的难度．
 

17.【答案】解：


；



．

【解析】先化简，再算乘法与除法，最后算加减即可；
先算二次根式的化简，零指数幂，绝对值，负整数指数幂，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，解答的关键是对相应的运算法则是的掌握．
 

18.【答案】解：原式，
，
；
将代入，得：原式．

【解析】本题考查分式混合运算题，运算顺序是先乘除后加减，加减法时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分．
先把代数式化简，然后再代入求值．
 

19.【答案】解：尺规作图如下：


证明：四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
．

【解析】利用尺规作出的平分线即可．
根据平行四边形的性质和角平分线定义即可解决问题．
本题考查作图基本作图，平行四边形的性质、角平分线的作法、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用等腰三角形的性质解决问题．
 

20.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
在和中

，
．

【解析】利用平行四边形的性质得出，再利用全等三角形的判定与性质得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，正确掌握平行线的性质是解题关键．
 

21.【答案】解：四边形是菱形．
，，
四边形是平行四边形，
又在矩形中，，
四边形是菱形．
连接由菱形得：，
又，
在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，
又，
四边形是平行四边形；

．

【解析】首先可根据、判定四边形是平行四边形，然后根据矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，可得，由此可判定四边形是菱形．
连接，通过证四边形是平行四边形，得；根据菱形的面积是对角线乘积的一半，可求得四边形的面积．
本题主要考查矩形的性质，平行四边形、菱形的判定，菱形面积的求法；
菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：
定义；
四边相等；
对角线互相垂直平分．
 

22.【答案】解：；
；
原式

．

【解析】仿照阅读材料分母有理化即可；
先将各数分母有理化，再计算即可得答案．
本题考查二次根式化简，解题的关键是掌握分母有理化的方法．
 

23.【答案】解：设第一次每盒乒乓球的进价是元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，
由题意得：，
解得：，
经检验：是原分式方程的解，，且符合题意，
答：第一次每盒乒乓球的进价是元；
设每盒乒乓球的售价为元，
第一次每盒乒乓球的进价为元，则第二次每盒乒乓球的进价为元，
由题意得：，
解得：．
答：每盒乒乓球的售价至少是元．

【解析】设第一次每盒乒乓球的进价是元，则第二次每盒乒乓球的进价是元，由题意：第一次用元购进乒乓球若干盒，第二次又用元购进该款乒乓球，购进数量比第一次少了盒．列出分式方程，解方程即可；
设每盒乒乓球的售价为元，由题意：两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，列出分式方程；找出数量关系，列出一元一次不等式．
 

24.【答案】解：，
是同花数；
，
不是同花数；
异花数”，
，
又，为正整数，
为最大的三位“同花数”，
且，
、取值如下：或或或，
由上可知符合条件三位“异花数”为或或或．

【解析】由“同花数”定义，计算即可得到答案；
由“异花数”的定义，为最大的三位“称心数”得且，计算的值为或或或．
本题考查了因式分解的应用，条件不等式，二元一次方程等相关知识点，重点掌握因式分解的应用，难点是新定义“同花数”和“异花数”的应用求值．
 

25.【答案】解：，．

解：中的结论成立．
四边形是正方形，为对角线，
，，
又，
≌，
，
，
，
：由，得≌，
分
又，
．
，
，
．

解：如图所示：
结论：，．

【解析】根据正方形的性质和全等三角形的判定证≌，推出，，求出，求出的度数即可；
和证法与类似．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂线等知识点，解此题的关键是求出和，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生的观察能力和分析问题的能力．