2021-2022学年重庆市K12八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年重庆市K12八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共12小题，共48分）

1. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是

A. 平行四边形 B. 矩形 C. 菱形 D. 等腰梯形

2. 如图，在中，，，，则

A.  B.  C.  D.

3. 下列运算错误的是

A.  B.
C.  D.

4. 计算的值应在

A. 与之间 B. 与之间 C. 与之间 D. 与之间

5. 下列命题中真命题是

A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形
C. 顺次连接任意四边形各边中点所得四边形是平行四边形
D. 有一组邻边相等的四边形是菱形

6. 如图，平行四边形中，对角线、交于点，点是的中点．若，则的长为

A.
B.
C.
D.

7. 若二次根式与可以合并，则

A.  B.  C.  D.

8. 以下列各组数为三角形的三边，能构成直角三角形的是

A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，

9. 如图，在▱中，的平分线交于点，交的延长线于点，若，，则的长度是

A.
B.
C.
D.

10. 在中，是边上的高，，，，则的面积为

A.  B.  C. 或 D. 或

11. 若二次根式有意义，且关于的方程有正整数解，则符合条件的整数的积是

A.  B.  C.  D.

12. 如图，四边形是矩形，点在边上，平分且，垂足为点，连接并延长交于点，连接交于点，连接交于点，有下列结论：
    ；垂直且平分；≌；．
    其中正确的结论有个．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共16分）

13. 已知、满足，则的值为______．
14. 如图，在菱形中，连接若，则的度数为______
    
     

15. 如图，矩形中，，，点为上一点，将沿翻折得到，延长交于点，若，则______．

16. 如图，是等边三角形，线段在直线上，，，连接，，则的最小值是______．
    
    
     

三、计算题（本大题共1小题，共8分）

17. 计算：
    ；
    ．

四、解答题（本大题共8小题，共78分）

18. 先化简，再求值：，其中．
19. 有一旅游景点在一条笔直河流的一侧，河边有两个码头，并且，由于某种原因，由到的路已经不通，为方便游客决定在河边点新建一个码头点，，在同一直线上，并新修一条笔直的公路，测得千米，千米，千米．
    判断的形状，并说明理由；
    求原路线的长．

20. 如图所示，平分．
    尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点，交于，交于点；不写作法和证明，保留作图痕迹；
    在的情况下，连接、，猜想四边形是哪种特殊的四边形？并证明你的猜想．
21. 如图，在平行四边形中，，过点作于点，连接，延长至点，使，连接．
    求证：；
    若，，求四边形的周长．

22. 已知：线段、、且满足求：
    、、的值；
    求的平方根．
23. 如图，四边形是矩形，点为对角线的中点，为边上一点，过点作交延长线于点，连接、．
    若，求证：垂直平分．
    若，求的度数．

24. 对一个任意三位数，如果满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，现将各个数位上的数字从左往右由大到小排列得到一个新数，将各个数位上的数字从左往右由小到大排列得到一个新数，记，如果为整数，则称为“倍和数”．
    例如：，则是整数，所以是“倍和数”；
    ，则不是整数，所以不是“倍和数”．
    判断，是否是“倍和数”，并说明理由；
    ，，都是正整数，是“倍和数”，求的值．
25. 菱形的对角线交于点．
    如图，过菱形的顶点作于点，交于点，若，四边形的面积为，求菱形的边长；
    如图，菱形中，过顶点作于点，交延长线于点，线段交于点，若，求证：；
    如图，菱形中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转到，连接，直接写出线段的最小值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】
解： 、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；
B 、矩形是轴对称图形，又是中心对称图形，不符合题意；
C 、菱形既是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；
D 、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故选： ．   

2.【答案】

【解析】解：在中，，
由勾股定理得：．
故选：．
根据勾股定理直接求即可．
本题主要考查了勾股定理求线段的长度，熟记勾股定理是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：，故选项A错误，符合题意；
，故选项B正确，不符合题意；
，故选项C正确，不符合题意；
，故选项D正确，不符合题意；
故选：．
根据各个选项中的式子可以计算出正确的结果，从而可以判断哪个选项符合题意．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

4.【答案】

【解析】解：

，
，
，
即的值应在与之间，
故选：．
根据二次根式的乘法法则求出原式，再估算出的大小，再求出的大小即可．
本题考查了估算无理数的大小和二次根式的混合运算，能估算出的大小是解此题的关键．
 

5.【答案】

【解析】解：、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是平行四边形，也可能是等腰梯形，故错误，是假命题，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故错误，是假命题，不符合题意；
C、顺次连接任意四边形各边中点所得四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；
D、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，故错误，是假命题，不符合题意．
故选C．
利用平行四边形、矩形及菱形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．
考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解特殊四边形的判定方法，难度不大．
 

6.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
点是的中点，
，
是的中位线，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，进而利用三角形中位线定理解答即可．
此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对角线互相平分解答．
 

7.【答案】

【解析】解：二次根式与可以合并，
，
．
故选：．
根据同类二次根式的定义，得到被开方数相等，列出方程求解即可．
本题考查了同类二次根式，最简二次根式，掌握一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式称为同类二次根式是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】解：，故选项A中的三条线段能构成直角三角形，故选项A符合题意；
，故选项B中的三条线段不能构成直角三角形，故选项B不符合题意；
，故选项C中的三条线段不能构成直角三角形，故选项C不符合题意；
，故选项D中的三条线段不能构成直角三角形，故选项D不符合题意；
故选：．
根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的三条线段能够构成直角三角形，本题得以解决．
本题考查勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确勾股定理逆定理的内容，会用逆定理判断三角形的形状．
 

9.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，，，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
故选：．
根据平行四边形的性质得出，，，求出，求出，即可求出，即可求出答案．
本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定和平行线的性质等知识点，能熟记平行四边形的性质是解此题的关键．
 

10.【答案】

【解析】解：在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
分两种情况：
如图，当在的内部时，，
则的面积；
如图，当在的外部时，，

则的面积；
综上所述，的面积为或，
故选：．
由勾股定理分别求出和，分在三角形的内部和在三角形的外部两种情况，由三角形面积公式计算即可．
本题考查的是勾股定理、三角形面积以及分类讨论等知识，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】解：整理方程，可得：，
解方程，可得：，
由题意可得，且为整数，为正整数，
解得符合条件的整数的值为、，
，
故选：．
解分式方程，然后根据二次根式和分式有意义的条件及方程有正整数解列不等式组确定符合条件的整数的值，从而求解．
本题考查解分式方程，二次根式的有意义的条件，掌握解分式方程的步骤，理解二次根式有意义的条件被开方数为非负数是解题关键．
 

12.【答案】

【解析】解：四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
故正确；
，，，
，
在的垂直平分线，
在和中，
，
≌，
，
点在的垂直平分线，
垂直且平分；
故正确；
平分，
，
，
，
又，
不可能是等边三角形，
，
≌EHD错误；
故错误；
，，
，
，
，
．
故错误．
故选：．
由矩形的性质可得出，，得出，由等腰三角形的性质得出，故正确；≌，由全等三角形的性质可得出，由线段垂直平分线的性质可得出结论；由全等三角形的判定可知错误，由等腰三角形的性质可判断．
本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
 

13.【答案】

【解析】解：，，
，
，
，
．
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件求出的值进而得到的值，代入代数式求值即可．
本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数是解题的关键．
 

14.【答案】

【解析】解：四边形是菱形，
，，
，，
，
，
，
故答案为：．
根据菱形的性质得到，，根据平行线的性质求出的度数，可进而求出的度数．
本题主要考查了菱形的性质，平行线的性质，熟练掌握菱形的对边互相平行，对角线平分一组对角是解决问题的关键．
 

15.【答案】

【解析】解：连接，

，，
，，
在中，由勾股定理得：
，
沿翻折得到，
，，
，
设，则，
，
解得．
，
故答案为：．
连接，由勾股定理求出，由折叠的性质得出，，设，则，由勾股定理得出方程，解方程可得出答案．
本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，以及勾股定理，利用勾股定理列出方程是解题的关键．
 

16.【答案】．

【解析】解：如图，作点关于的对称点，以、为邻边作▱，连接，
则，，，，，
，，
，
在中，
，
故答案为：．
作点关于的对称点，以、为邻边作▱，连接，则，，，，推出，，因此，最小值为．
本题考查轴对称最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
 

17.【答案】解：原式

；
原式

．

【解析】先利用平方差公式和乘法分配律计算乘法，然后再算加减；
先算乘方，化简绝对值，化简二次根式，负整数指数幂，然后再计算．
本题考查二次根式的混合运算，负整数指数幂，理解二次根式的性质，掌握平方差公式的结构是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，
原式．

【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
 

19.【答案】解：是直角三角形，
理由是：在中，
，，
，
是直角三角形且；
设千米，则千米，
在中，由已知得，，，
由勾股定理得：，
．
解这个方程，得，
答：原来的路线的长为千米．

【解析】根据勾股定理的逆定理解答即可；
根据勾股定理解答即可．
此题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．
 

20.【答案】解：如图，即为所求；

四边形是菱形，
证明：平分，
，
是的垂直平分线，
，，
，，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形．

【解析】利用尺规作出线段的垂直平分线即可；
根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可完成证明．
本题考查了作图基本作图，线段的垂直平分线的性质，菱形的判定与性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
 

21.【答案】证明：，
，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：在中，，，
由勾股定理得：，
在中，，，
，
由知，，，
四边形的周长为：．

【解析】由已知证得，，根据全等三角形的判定证得≌，根据全等三角形的性质可得结论；
由勾股定理得求得，，由知，，，即可求得结论．
本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证得，，是解决问题的关键．
 

22.【答案】解：，
，，，
即，，；
由知，，，
，
的平方根是，
的平方根为．

【解析】根据非负数性质可得、、的值；
把、、的值代入计算即可得到答案．
本题主要考查非负数的性质和平方根，根据非负数性质得出相应算式是关键，二次根式的化简与运算是根本技能．
 

23.【答案】证明：如图，连接，

，
，
点是的中点，
，
点在的垂直平分线上，
在和中，
，
≌，
，
点在的垂直平分线上，
垂直平分；
，
，，
，
，
．

【解析】由直角三角形的性质可得，则点在的垂直平分线上，由“”可证≌，可得，则点在的垂直平分线上，可得结论；
由等腰三角形的性质和外角的可求，即可求解．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

24.【答案】解：不是“倍和数”，是“倍和数”，
理由：，不是整数，
不是“倍和数”；
，整数，
是“倍和数”；

，
，





，
是“倍和数”，
是整数，
是整数，
，，都是正整数，

或或，
，或，或，或，，
即的值为或或或．

【解析】直接根据新定义计算判断，即可得出答案；
先求出，再根据新定义得出或或，即可求出答案．
此题主要考查了新定义，整除问题，理解的基础上灵活应用新定义是解本题的关键．
 

25.【答案】解：如图中，设．

四边形是菱形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
或舍去，
；

证明：如图中，连接，在上取一点，使得，连接．

，，
，
四边形是菱形，
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
垂直平分线段，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
；

解：如图中，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得．

，
，
，，
≌，
，
当与重合时，的值最小，此时的值最小．
四边形是菱形，
，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
解得，
，
的最小值为

【解析】如图中，设根据四边形的面积，构建方程求解；
如图中，连接，在上取一点，使得，连接证明≌，推出，，设，则，，求出，用表示，可得结论；
如图中，以为边向下作等边，连接，过点作于点，在上取一点，使得证明≌，推出，当与重合时，的值最小，此时的值最小．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．