2021-2022学年四川省宜宾市第一中学校高二下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2021-2022学年四川省宜宾市第一中学校高二下学期第二次月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知，若复数（i为虚数单位）是纯虚数，则z的共轭复数的虚部是（       ）

A．1 B．－i C．i D．－1

【答案】D

【分析】由复数代数形式的乘除运算化简复数，结合已知条件求出的值，然后代入复数化简即可求出，则复数的共轭复数的虚部可求．

【详解】解：是纯虚数，

，解得，

．

则．

复数的共轭复数的虚部是．

故选：D．

2．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】根据全称命题的否定的概念求解即可.

【详解】根据全称命题的否定可知，“，”的否定是“，”.

 故选：A

3．若的展开式中的系数为10，则实数a＝（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】A

【分析】利用二项式定理，求出展开式的通项公式，列出方程，求出.

【详解】的展开式通项公式为，令，解得：，则，解得：.

故选：A

4．将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（       ）

A．种 B．种 C．种 D．种

【答案】B

【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；

【详解】解：依题意，将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，共有种发送方法；

故选：B

5．（       ）

A． B．8 C． D．

【答案】D

【分析】化简定积分，根据定积分的几何意义，求得和又由，即可求解.

【详解】由，

根据定积分的几何意义，可得表示以原点为圆心，半径为2的上半圆的面积，

所以，

又由，

所以.

故选：D.

6．函数，则是的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性与单调性判断命题的充分必要性.

【详解】由函数，则，

则函数为奇函数，且在上单调递增，

又，得，

故，解得，

故是的必要不充分条件，

故选：B.

7．函数的图像可能是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】先判断函数的奇偶性，以图像的对称性排除错误选项CD；再以图像的切线情况去排除错误选项A，即可得到函数的正确图像.

【详解】的定义域为

，

则为奇函数，其图像关于原点中心对称，排除选项CD；

则

即函数在点的切线斜率为正值，

选项A的图像在第一象限内每一点的切线斜率均为负值，故排除选项A.

选项B的图像在第一象限内存在切线斜率为正值的点.

故选：B

8．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为，要使其容积最大，则其高应为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】设圆锥底面半径为，求得，由圆锥的体积公式，求得，利用导数求得函数的单调性，即可得到答案.

【详解】如图所示，设圆锥形漏斗底面半径为，高为，则，解得，所以漏斗容积（）．

所以，

令，得或（舍去）．

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以当时，最大．

故选：D．

9．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由题意，在上恒成立，只需满足即可求解.

【详解】解：因为，所以，

因为函数在上单调递减，

所以在上恒成立，

只需满足，即，解得．

故选：A.

10．第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京市和河北省张家口市举行.现要安排五名志愿者去三个场馆参加活动，每名志愿者只能去一个场馆.且每个场馆最少安排一名志愿者，则不同的分配方法有（       ）

A．60种 B．90种 C．150种 D．180种

【答案】C

【分析】先将5人分成3组，分1人、1人、3人和1人、2人、2人两种情况，再将三组分到3个小区即可.

【详解】解：将5人安排到3个不同的小区从事防控防疫志愿者服务，要求每人只能在一个小区服务，每个小区至少有一名志愿者，则有：

（1）这3个小区分别有1人、1人、3人的情况，则有种不同的安排方法；

（2）这3个小区分别有1人、2人、2人的情况，

则有种不同的安排方法；

所以不同的安排方案共有种.

故选：C.

11．已知函数的图像关于直线对称，且当，成立，若，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先得到为偶函数，再构造函数，利用题目条件判断单调性，进而得出大小关系.

【详解】函数的图像关于直线对称，可知函数的图像关于直线对称，即为偶函数，构造，当，，故在上单调递减，且易知为奇函数，故在上单调递减，由，所以.

故选：D.

12．已知函数，若 是函数 的唯一极值点，则实数 的取值范围是 （       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】求出导函数并因式分解得到，再令，进而讨论函数的单调性并求出最小值，然后讨论和两种情况分别求出原函数的极值点个数，最后得到答案.

【详解】由题意，，，记，则，则时，，单调递减，时，，单调递增，所以.

若，则时，，单调递减，时，，单调递增，于是 是函数 的唯一极值点.

若，则，易知，于是时，；

设，，即在上单调递增，所以，则时，，此时，于是且时，.

再结合函数的单调性可知，函数在两个区间内分别存在唯一一个零点，且当时，，单调递减，时，，单调递增，时，，单调递减，时，，单调递增.于是函数 存在3个极值点.

综上所述：.

故选：D.

【点睛】本题难度较大，首先，注意对函数求完导之后要因式分解，题目要求为极值点，则尽量分解出，其次，在讨论函数的零点时可以借助函数的单调性和图象进行分析，这样作为选择题会很快得出答案.

二、填空题

13．函数的导函数，满足关系式，则的值为______．

【答案】

【分析】先对函数求导，然后令可求出的值

【详解】由，得，

令，则.

故答案为：.

14．已知，则的值为_____________．

【答案】41

【分析】令，求得，令，求得，两式相加即可得出答案.

【详解】解：因为，

令，则，①，

令，则，②，

两式相加得，

所以.、

故答案为：41.

15．随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外，现有3个完全相同的“雪容融”，甲､乙､丙3位运动员要与这3个“雪容融”站成一排拍照留念，则有且只有2个“雪容融”相邻的排队方法数为_______．

【答案】

【分析】先对甲、乙、丙3位运动员进行排列，再利用插空法，即可求解.

【详解】由题意，甲、乙、丙3位运动员站成一排，有种不同的排法；

在三位运动员形成的4个空隙中选两个，一个插入2个“雪容融”，一个插入1个“雪容融”，共有种排法.

故答案为：.

16．已知，若图象上存在关于原点对称的点，则m的取值范围是______________.

【答案】

【分析】利用的图象关于原点对称的图象与的图象有交点求解，的图象关于原点对称的图象的解析式，然后由方程有解转化为求函数的值域．

【详解】由题意，的图象关于原点对称的图象与的图象有交点．

设是的图象关于原点对称的图象的任一点，则，在的图象上，因此，，

所以的图象与的图象有交点．

，，

设，，

设，则在时恒成立，在是增函数，

所以，

所以时，，递减，时，，递增，

，时，，

所以．

故答案为：．

【点睛】本题考查函数图象交点问题，解题关键是问题的转化，一个函数的问题利用对称性转化为两个函数图象有交点，即方程有解，再转化为求新函数的值域．

三、解答题

17．函数f(x)＝xlnx﹣a(x﹣1)(a∈R)，已知x＝e是函数f(x)的一个极小值点．

(1)求实数a的值；

(2)求函数f(x)在区间[1，3]上的最值．(其中e为自然对数的底数)

【答案】(1)2；

(2)＝0，＝2﹣e.

【分析】(1)由＝0即可求得a的值，验算即可；

(2)利用的正负判断f(x)在[1，3]上的单调性，根据单调性即可求其最值.

【详解】(1)∵f(x)＝xlnx﹣a(x﹣1)，∴＝lnx＋1﹣a，∵x＝e是函数f(x)的一个极小值点，

∴＝2﹣a＝0，解得：a＝2；

当a＝2时，＝lnx－1，

当0＜x＜e时，＜0，f(x)单调递减，

当x＞e时，＞0，f(x)单调递增，∴x＝e时f(x)的极小值点.

∴a＝2.

(2)由(1)得：f(x)＝xlnx﹣2x＋2，

且f(x)在[1，e)递减，在(e，3]递增，

而f(1)＝0，f(3)＝3ln3﹣4＜0，故＝f(1)＝0，＝f(e)＝2﹣e．

18．某校从学生会宣传部6名成员（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动.设所选3人中女生人数为.

(1)解释=1的意义，并求P(＝1)的概率；

(2)求的概率分布.

【答案】(1)=1指任选三人中，女生有一名，其余两名是男生，P(＝1)＝

(2)分布列见解析

【分析】（1）由题意可得=1指任选三人中，女生有一名，其余两名是男生，从而可求出其概率，

（2）由题意可得的所有可能取值为0,1,2，求出相应的概率，从而可得其分布列

【详解】(1)由题意可得=1指任选三人中，女生有一名，其余两名是男生，

所以P(＝1)＝＝；

(2)的所有可能取值为0,1,2，

依题意得P(＝0)＝＝，P(＝1)＝＝，P(＝2)＝＝.

∴的分布列为：

19．已知函数．

(1)求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积．

(2)对于任意，，证明：若，则．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由函数导数的几何意义求出切线斜率，点斜式求出切线方程，根据切线在坐标轴上的截距求出面积；

（2）设，利用导数求出函数在R上单调递增，可得当时， ，即可证明,

【详解】(1)，所以．

因为，所以切点坐标为，

所以曲线在点处的切线方程为，

即．

所以切线与坐标轴的交点坐标为和，

则所求的三角形面积为．

(2)证明：设，则．

令，则，令，

令

则在上单调递减，在上单调递增，

故，即，

所以在R上单调递增，

所以对于任意，，若，则，

即．

20．如图所示，在直三棱柱ABC­A1B 1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝BC＝2AC＝2.

(1)若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；

(2)在AA1上是否存在一点D，使得二面角B1­-CD­-C1的大小为60°？

【答案】(1)证明见解析

(2)存在

【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面B1CD⊥平面B1C1D；

（2）设，利用向量法，结合二面角的大小列方程，求得的值，由此作出判断.

【详解】(1)如图所示，以点C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．

则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，D(1,0,1)，

即＝(0,2,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,0,1)．

由·＝(0,2,0)·(1,0,1)＝0＋0＋0＝0，得⊥，即C1B1⊥CD.

由·＝(－1,0,1)·(1,0,1)＝－1＋0＋1＝0，得⊥，即DC1⊥CD.

又DC1∩C1B1＝C1，∴CD⊥平面B1C1D.又CD⊂平面B1CD，∴平面B1CD⊥平面B1C1D.

(2)存在．当AD＝AA1时，二面角B1­CD­C1的大小为60°.理由如下：

设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，＝(1,0，a)，＝(0,2,2)，

设平面B1CD的法向量为m＝(x，y，z)，

则⇒令z＝－1，得m＝(a,1，－1)．

又∵＝(0,2,0)为平面C1CD的一个法向量，则＝＝，

解得a＝(负值舍去)，故AD＝＝AA1.

∴在AA1上存在一点D满足题意．

21．已知椭圆的离心率，左焦点为，右焦点为，且椭圆上一动点M到的最远距离为，过的直线l与椭圆C交于A，B两点.

（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

（Ⅱ）当以为直角时，求直线AB的方程；

（Ⅲ）直线l的斜率存在且不为0时，试问x轴上是否存在一点P使得，若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）或；（Ⅲ）存在，（2,0）.

【解析】（Ⅰ）根据椭圆的性质直接解方程求解即可；

（Ⅱ）由题意可知，当k不存在时，不符合题意，设，，故且，进而解得或，进而得直线的斜率与方程；

（Ⅲ）设，，，与椭圆方程联立得，，再根据斜率公式计算化简即可得答案.

【详解】解：（Ⅰ），

，.

（Ⅱ）解法一：

由题意可知，当k不存在时，不符合题意，

设，，

，又，

，或，，

直线AB的方程为或.

解法二：

由题意可知，当k不存在时，不符合题意.

设直线，则，

，得，

，，

，，

直线AB的方程为或.

（Ⅲ）设，，，

，，

，

，，

，，

，

，

，

，.

【点睛】本题考查椭圆的方程求解，直线过定点问题，考查运算能力，化归转化思想，是中档题.

22．已知函数.

(1)讨论的单调性；

(2)证明：当时，.

【答案】(1)见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）分类讨论得到导函数的正负，求出函数的单调性；（2）利用隐零点求解函数的极值，最值，证明出不等式.

【详解】(1)的定义域为，.

当时，，所以在上单调递增.

当时，若，则；若，则.

所以在上单调递增，在上单调递减.

综上所述：当时，在上单调递增

当时，在上单调递增，在上单调递减.

(2)若有，设，；

∴；

令，，则对任意恒成立，

∴在上单调递减；又，，

∴，使得，

即，则，即；

因此，当时，即，单调递增；

当时，，即，单调递减；

故，

，即

又

.

【点睛】函数单调性的求解，要对参数进行分类讨论，要结合题目特征，结合定义域，尽可能的对导函数因式分解，寻找导函数的零点，这是分类讨论的标准.