2021-2022学年四川省仪陇马鞍中学校高二下学期第一次月考数学（理）试题含解析

2021-2022学年四川省仪陇马鞍中学校高二下学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．抛物线的准线方程是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】利用抛物线的准线方程为即可得出．

【详解】由抛物线，可得准线方程，即．

故选：C．

2．在长方体中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的正切值为

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求出夹角余弦，再利用同角三角函数的关系可求所成角的正切值.

【详解】

以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，

,

设异面直线与所成角为，

则，

，

，

异面直线与所成角正切值为，故选A.

【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.

3．双曲线（7＜λ＜9）的焦点坐标为

A．（±4，0） B．（±，0）

C．（0，±4） D．（0，±）

【答案】B

【详解】试题分析：∵双曲线（7＜λ＜9）

∴9-λ＞0且7-λ＜0，方程化为

由此可得：双曲线焦点在x轴，且

∴双曲线的焦点坐标为

故选B

【解析】双曲线的标准方程．

4．如图，南北方向的公路，地在公路正东处，地在北偏东方向处，河流沿岸曲线上任意一点到公路和到地距离相等．现要在曲线上某处建一座码头，向，两地运货物，经测算，从到，修建公路的费用都为万元，那么，修建这两条公路的总费用最低是（    ）

A．万元 B．万元 C．万元 D．万元

【答案】C

【分析】依题意知曲线是以A为焦点、为准线的抛物线，利用抛物线的定义求的最小值，即可求解.

【详解】根据抛物线的定义知：

欲求从到A，修建公路的费用最低，即求的最小值，设点 到直线的距离为，且，即求的最小值，即为点到直线的距离．

因地在A地东偏北300方向km处，

∴到点A的水平距离为3（km），

∴到直线距离为：3+2=5（km），

那么修建这两条公路的总费用最低为：（万元）．

故选：C．

5．圆锥曲线的离心率，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先根据离心率判断曲线为双曲线，根据双曲线的离心率列方程，解方程求得的值.

【详解】由于曲线的离心率为，所以曲线为双曲线.故，方程化为，所以，解得.

故选B.

【点睛】本小题主要考查根据圆锥曲线的离心率求参数，考查椭圆、双曲线离心率的特征，属于基础题.

6．已知椭圆与双曲线有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】设椭圆的方程为，求出即得解.

【详解】由题得双曲线的焦点为，

所以椭圆的焦点为，

设椭圆的方程为，

所以.

所以椭圆的标准方程为.

故选：B

7．过点与抛物线只有一个公共点的直线有 (    )

A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条

【答案】C

【详解】因为点在抛物线外面，与抛物线只有一个交点的直线有2条切线，1条和对称轴平行，故3条．

8．已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】由题意知c＝3，故a2＋5＝9，解得a＝2，故该双曲线的离心率e＝＝．

9．已知直线与双曲线交于A､B两点，以AB为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F，若的面积为4a2，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】设双曲线的左焦点为，则可得四边形为矩形，由双曲线的定义和勾股定理结合三角形面积可得，即可求出离心率.

【详解】设双曲线的左焦点为，根据双曲线和圆的对称性，圆过双曲线的左右焦点，如图，连接，则四边形为矩形，

则可得，，

所以，

又因为，

所以，得，

所以.

故选：D.

【点睛】关键点睛：本题考查双曲线离心率的求解，解题的关键是正确利用焦点三角形的性质列出关于的齐次方程式，即可求出离心率.

10．椭圆上一点到左焦点的距离是2，是的中点，是坐标原点，则的值为

A．4 B．8 C．3 D．2

【答案】A

【详解】 根据椭圆的定义得，

 由于中，是的中点，

 根据中位线定理得，故选A．

11．已知分别为双曲线的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点，使得点到直线的距离为，则该双曲线的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据已知条件可知点到过且平行于渐近线的直线的距离大于，由此可构造不等式求得的范围，根据可求得结果.

【详解】

由双曲线方程可知：双曲线的一条渐近线为，焦点，，

过点作该渐近线的平行线，则该直线方程为：，即；

若双曲线右支上存在点，使得点到直线的距离为，则只需点到直线的距离大于，

即，，

双曲线离心率，即双曲线离心率的取值范围为.

故选：B.

12．设双曲线=1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为

A． B．5 C． D．

【答案】D

【详解】双曲线＝1的一条渐近线设为y＝x，由方程组消去y，得x2－x＋1＝0，由题意知该方程有唯一解，所以Δ＝－4＝0，所以e＝＝＝＝.

二、填空题

13．若椭圆 的焦点在轴上，则的取值范围为_______．

【答案】

【分析】根据题意，列出不等式，即可求解.

【详解】由题意，椭圆的焦点在轴上，

可得，解得，

所以的取值范围为.

故答案为：.

14．双曲线的一条渐近线为，则_____

【答案】4

【分析】利用双曲线渐近线方程即可.

【详解】由题知，且双曲线的焦点在轴上，

所以，

因为双曲线的一条渐近线为，

所以，

故答案为：4.

15．过抛物线焦点且斜率为1的直线与此抛物线相交于两点，则_______.

【答案】8

【分析】先根据抛物线方程求得抛物线的焦点坐标，进而根据点斜式求得直线的方程与抛物线方程联立，消去，根据韦达定理求得的值，进而根据抛物线的定义可知，求得答案.

【详解】抛物线的焦点为，且斜率为1，则直线的方程为，

代入抛物线方程得，设

，

根据抛物线的定义可知.

故答案为：8.

16．如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为_______．

【答案】

【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，即可得p值．

【详解】设A，B在准线上的射影分别为A′，B′，则|BC|＝4|BB′|，且

由于|BC|＝4|BB′|，故|AC|＝4|AA′|＝24，从而即

故，即p＝ ，

故答案为．

【点睛】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．

三、解答题

17．（1）求焦点在x轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；

（2）求与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线标准方程．

【答案】椭圆的标准方程为；双曲线的标准方程为：．

【分析】设出椭圆的标准方程，根据2a，2c所表示的几何意义求得a，c的值，再根据椭圆 ，求得b2的值，进而可得到椭圆的标准方程；

先求得双曲线的焦点，可设所求双曲线的方程为，将点代入双曲线方程，结合双曲线，解方程可得a，b，进而可得双曲线的方程．

【详解】设椭圆标准方程为，则

焦距为4，长轴长为6，

，，，椭圆标准方程为；

双曲线双曲线的焦点为，

设双曲线的方程为，

可得，

将点代入双曲线方程可得，，

解得，，

即有所求双曲线的方程为：．

【点睛】本题考查了椭圆的简单性质与椭圆标准方程的求法，考查了双曲线的方程的求法，考查了运算能力；求椭圆或双曲线的标准方程的一般步骤：先设出标准方程，再根据已知条件代入方程求解.

18．已知双曲线中，，虚轴长为.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)过点，倾斜角为的直线与双曲线交于、两点，为坐标原点，求的面积.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由已知条件可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可求得双曲线的标准方程；

（2）将直线的方程与双曲线的方程联立，求出点、的横坐标，即可求得的面积.

【详解】（1）解：由已知条件可得，解得，

因此，双曲线的标准方程为.

（2）解：由题意可知，直线的方程为，设点、，

联立，可得，解得，，

因此，.

19．如图，四棱锥中，底面是正方形，，，且，E为中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）由，，即：，又因为，，即：，所以平面.

（2）通过建立空间直角坐标系，运用向量法即可求出二面角的正弦值.

【详解】解：（1）∵底面是正方形，

，又，，平面，.

同理可得，又，平面.

（2）建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设底面正方形的边长为2，

则，，，.

设是平面的法向量，则

又，，令，则，

得.

设是平面的法向量，则

又，，令，

是平面的一个法向量，

则，

∴二面角的正弦值为.

【点睛】本题主要考查线面垂直及二面角的知识，属于中档题目.

20．如图，斜率为k的直线l与抛物线y2＝4x交于A、B两点，直线PM垂直平分弦AB，且分别交AB、x轴于M、P，已知P(4，0).

(1)求M点的横坐标；

(2) 求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【分析】（1）设，，，，，，运用点差法和直线的斜率公式和中点坐标公式，解方程可得所求坐标；

（2）设直线即，与抛物线联立，运用韦达定理和弦长公式，以及点到直线的距离公式，化简整理，运用导数判断单调性，可得最大值．

【详解】解：（1）设，，，，，，

则，，，

，

而，

由得，即；

（2）设直线即，

与抛物线联立得，

则，，

所以，

而到直线的距离为，

所以，

又由于，

所以，

令，则且，

所以，

令，

则，

当，，当时，，

故，

即面积的最大值为8．

【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB＝BC＝2AD＝4，四边形EDCF为矩形，DE＝2，平面EDCF⊥平面ABCD．

(1)求证：DF∥平面ABE；

(2)求平面ABE与平面BEF所成二面角的正弦值；

(3)若点P在线段EF上，且直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，求线段AP的长．

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)6.

【分析】（1）由DE⊥CD，及面面垂直的性质定理得线面垂直，取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立如图所求的空间直角坐标系，得出各点坐标，求出平面的一个法向量，由法向量与的方向向量垂直，再由不在平面内可证线面平行；

（2）求出平面ABE与平面BEF的法向量，由法向量的夹角正弦值得二面角正弦值；

（3）点P在线段EF上，由，用表示出点坐标，由与平面BEF方向向量的夹角的余弦值的绝对值等于，求出，从而可得线段长．

【详解】(1)证明：∵四边形EDCF为矩形，∴DE⊥CD，

又平面EDCF⊥平面ABCD，平面EDCF∩平面ABCD＝CD，

∴ED⊥平面ABCD．

取D为原点，DA所在直线为x轴，DE所在直线为z轴建立空间直角坐标系，

如图，则A(2，0，0)，B(2，4，0)，C(﹣2，4，0)，E(0，0，2)，F(﹣2，4，2)，

设平面ABE的法向量＝(x，y，z)，

∵＝(﹣2，﹣4，2)，＝(0，4，0)，

由，取z＝1，得＝(1，0，1)，

又＝(﹣2，4，2)，∴＝﹣2+0+2＝0，

则⊥，又∵DF⊄平面ABE，∴DF∥平面ABE．

(2)解：设平面BEF的法向量＝(a，b，c)，

∵＝(﹣2，﹣4，2)，＝(﹣2，4，0)

由，取b＝1，可得＝(2，1，4)，

∴cos＜＞＝，

∴sin＜＞＝，

即平面ABE与平面BEF所成二面角的正弦值为．

(3)解：∵平面BEF的法向量＝(2，1，4)，

点P在线段EF上，设P(m，n，t)，，则(m，n，t﹣2)＝(﹣2λ，4λ，0)，

解得P(﹣2λ，4λ，2)，∴＝(﹣2λ﹣2，4λ，2)，

∵直线AP与平面BEF所成角的正弦值为，

∴＝，

解得λ＝1，

∴线段AP的长为|．

【点睛】本题考查用空间向量法证明线面平行，求二面角，直线与平面所成的角，从而求得空间线段长，解题关键是建立空间直角坐标系．考查了空间想象能力与运算求解能力．

22．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，离心率为，点P为椭圆上一点．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率为k1，直线BN的斜率为k2，若k1＝2k2，求直线l斜率的值．

【答案】（1）＋＝1；（2）.

【分析】(1)由椭圆的离心率,和点P在椭圆上求出椭圆的标准方程;

(2) 由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1, 设M(x1，y1)，N(x2，y2), 联立方程组消去y,再将k1＝2k2用坐标表示,利用点在椭圆上和韦达定理求出直线l的斜率.

【详解】(1)因为椭圆的离心率为，所以a＝2c.

又因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

又因为点P为椭圆上一点，所以＋＝1，解得c＝1.

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2) 由椭圆的对称性可知直线l的斜率一定存在，设其方程为y＝kx＋1.

设M(x1，y1)，N(x2，y2)．

联立方程组

消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.

所以由根与系数关系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.

因为k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.

即＝.　①

又因为M(x1，y1)，N(x2，y2)在椭圆上，

所以＝ (4－)，＝ (4－)．　②

将②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.

所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.

解得k＝或k＝，又因为k>1，所以k＝.

【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,考查椭圆的标准方程和椭圆的几何性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.