专题10：二元一次方程组-2021-2022学年下学期七年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

专题10：二元一次方程组

一、单选题

1．已知方程组的解满足x+y＝3，则k的值为（       ）

A．k＝-8 B．k＝2 C．k＝8 D．k＝﹣2

【答案】C

【解析】方程组两方程相减表示出x+y，代入已知方程计算即可求出k的值．

【详解】解：，

②-①得：，

即，

代入x+y=3得：k-2=6，

解得：k=8，

故选：C．

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

2．下列方程中，属于二元一次方程的是（       ）

A．2x﹣1＝3 B．x＋y﹣z＝1 C．2x﹣3＝y D．

【答案】C

【解析】根据二元一次方程的定义：含有2个未知数，未知数的次数是1的整式方程判断即可．

【详解】解：A选项是一元一次方程，不符合题意；

B选项是三元一次方程，不符合题意；

C选项是二元一次方程，符合题意；

D选项是分式方程，不符合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了二元一次方程，利用二元一次方程组的定义是解题关键．

3．已知是方程x－my＝13的一个解，那么常数m的值是（       ）

A．5 B．－5 C．3 D．－3

【答案】A

【解析】把，代入方程x－my＝13，可得关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值．

【详解】解：将代入x－my＝13，

得3+2m＝13，

解得m＝5．

故选：A．

【点评】本题考查二元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键．

4．已知一个二元一次方程组的解是，则这个方程组可以是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】把x与y的值代入方程组检验即可．

【详解】解：解：A、方程组不是二元一次方程组，不符合题意；

B、把x=1，y=-2代入，不符合题意；

C、把x=1，y=-2代入，不符合题意，

D、把x=1，y=-2代入，符合题意．

故选：D．

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．

5．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（　　）

A．± B． C．±2 D．2

【答案】B

【解析】先：把代入方程组，可得，

解可求m、n的值，最后把m、n的值代入所求二次根式计算即可．

【详解】解：把代入二元一次方程组得：

，

解得：，

则＝＝2，

∴2的算术平方根为，

故选：B．

【点评】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握加减消元的思想．

6．若方程是关于的二元一次方程，则的值是（        ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】D

【解析】依据二元一次方程的定义求解即可．

【详解】∵程2xa-1+y=1是关于x、y的二元一次方程，

∴a-1=1．

解得：a=2．

故选：D．

【点评】本题主要考查的是二元一次方程的定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程．

7．下列等式中，是二元一次方程的是（       ）

A．xy＝1 B．y＝3x﹣1 C． D．x2+x﹣3＝0

【答案】B

【解析】根据二元一次方程的定义逐一判断即可．

【详解】解：A中的项数是2次，故选项不符合题意；

B中是二元一次方程，故选项符合题意；

C中是分式方程，故选项不符合题意；

 D中最高次数为2且只含一个未知数，是一元二次方程，故选项不符合题意；

故选：B．

【点评】本题考查了二元一次方程的定义．解题的关键在于熟练掌握二元一次方程的定义：方程两边都是整式；含有两个未知数；并且含有未知数的项的最高次数都是一次的方程叫做二元一次方程．

8．如果是方程组的解，则a、b的值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意知，将代入中，计算求解即可．

【详解】解：由题意知，将代入得，

解得

故选C．

【点评】本题考查了方程组的解与解二元一次方程组．解题的关键在于正确的计算．

9．若是方程的解，则m等于（       ）

A． B．1 C．2 D．5

【答案】D

【解析】把方程的解代入，得到关于m的一元一次方程，解关于m的一元一次方程即可．

【详解】解：把代入得：，解得：，故D正确．

故选：D．

【点评】本题主要考查了二元一次方程的解，把代入二元一次方程得到关于m的一元一次方程是解题的关键．

10．下列属于二元一次方程组的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的整式方程叫做二元一次方程可以直接选出答案．

【详解】解：A. ，是三元一次方程组，不符合题意，

B. ，不是二元一次方程组，不符合题意，

C. ，不是二元一次方程组，不符合题意，

D. ，是二元一次方程组，符合题意，

故选D

【点评】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．

11．下列方程中，是二元一次方程的是（   ）

A．+3y=1 B．x+= 2 C．3x+y=2z D．2x+5=8xy

【答案】A

【解析】根据二元一次方程的特征：①含有两个未知数；②未知数的最高次数为一次；③整式方程，逐项判定即可．

【详解】解：根据二元一次方程的特征可知：

A、含有两个未知数与，与的次数均为一次，并且是一个整式方程，故该选项符合题意；

B、含有两个未知数与，而在分母上，是一个分式方程，故该选项不符合题意；

C、含有三个未知数、与，、与的次数均为一次，是一个整式方程，则该方程为三元一次方程，故该选项不符合题意；

D、含有两个未知数与，的次数为一次、项的次数为二次，是一个整式方程，则该方程为二元二次方程，故该选项不符合题意；

故选：A．

【点评】本题考查二元一次方程的判断，熟练掌握二元一次方程结构特征是解决问题的关键．

12．方程在正整数范围内的解有（       ）

A．1个 B．3个 C．4个 D．无数个

【答案】B

【解析】二元一次方程有无数组解，但它的正整数解是有数的，首先用其中一个未知数表示另一个未知数，然后可给定y一个正整数的值，计算x的值即可．

【详解】解：∵方程可变形为x=7−2y，

∴当y=1时，x=5；当y=2时，x=3；当y=3时，x=1，

∴方程x+2y=7的正整数解有：，，，

故选：B．

【点评】本题考查了二元一次方程，二元一次方程有无数组解，确定二元一次方程的特殊解，解题的关键是用其中一个未知数表示另一个未知数．

二、填空题

13．若关于x、y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为_______．

【答案】2

【解析】先解二元一次方程组，得，再根据二元一次方程的解得定义解决此题．

【详解】解：将x+y=5k记作①式，x-y=9k记作②式．

①+②，得2x=14k．

∴x=7k．

①-②，得2y=-4k．

∴y=-2k．

∴关于x、y的二元一次方程组的解是．

∴x-2y=7k-2×（-2k）=11k=22．

∴k=2．

故答案为：2．

【点评】本题主要考查解二元一次方程组、二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程组的解法、二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．

14．若是二元一次方程2x＋3y＝k的一个解，则k的值是__________．

【答案】11

【解析】把解代入方程计算即可．

【详解】∵是二元一次方程2x＋3y＝k的一个解，

∴2×4+3×1=k，

解得k=11，

故答案为：11．

【点评】本题考查了二元一次方程的解即使方程左右两边相等的一组未知数的值，正确理解解的定义是解题的关键．

15．若方程组的解中，则等于____．

【答案】2021

【解析】直接将两个方程相加可得x+y=k-1，再由得含k的方程，解之即可．

【详解】解：由得x+y=k-1，

∵

∴k-1=2020

解得k=2021

故答案为：2021．

【点评】本题考查了根据条件等式求方程组中所含的参数，解题的关键是恰当运用数学中的整体思想．

16．若是方程的一个解，则______．

【答案】7

【解析】把方程的解代入得3a+b=1，从而确定9a+3b=3，整体代入计算即可．

【详解】∵是方程的一个解，

∴3a+b=1，

∴9a+3b=3，

∴7，

故答案为：7．

【点评】本题考查了二元一次方程解的定义即使得二元一次方程左右相等的一组未知数的值，熟练掌握定义，灵活变形计算是解题的关键．

三、解答题

17．已知方程组的正确解是小马虎因抄错C，解得，请求出A，B，C的值．

【答案】

【解析】将x与y的两对值代入原方程组中的第一个方程求出A,B的值，将x与y的第一对值代入方程组的第二个方程求出C的值，即可确定所求的值．

【详解】解：由题意得，

由②得C＝1，

①×3+③得14A＝28，

解得A＝2，

把A＝2代入①得B＝3．

所以．

【点评】此题考查了二元一次方程组的解，关键是明白二元一次方程的解的定义以及方程组的解法．

18．已知某商店的一支圆珠笔比一支铅笔贵1元，三支圆珠笔与两支铅笔共卖18元，求

(1)一支圆珠笔多少元？

(2)在这家商店用14元恰好买这两种笔共多少支？

【答案】(1)4；

(2)4；

【解析】（1）设一支圆珠笔为元，则一支铅笔为元，根据题意列出方程求解即可；

（2）设14元购买支圆珠笔和支铅笔，列出表达式，根据、的奇偶性即可判断．

(1)

解：设一支圆珠笔为元，则一支铅笔为元，

由题意得，，

解得，

答：一支圆珠笔4元．

(2)

设14元购买支圆珠笔和支铅笔，

则，一定为偶数，a是非负整数

∴，，

∴．

故答案为：4．

【点评】本题考查一元一次方程的应用，理清题意，列出方程是解题的关键．

19．已知二元一次方程3x＋2y＝18．

(1)用关于x的代数式表示y．

(2)写出此方程的非负整数解．

【答案】(1)y＝

(2)非负整数解为，，

【解析】（1）先将含x的项移到等式右边，再两边都除以2即可得；

（2）取x＝0，2，4，6分别得到y的值即可．

(1)

解：∵3x＋2y＝18，

∴2y＝18−3x，

∴y＝；

(2)

解：当x＝0时，y＝9；

当x＝2时，y＝6；

当x＝4时，y＝3；

当x＝6时，y＝0

∴非负整数解为，，．

【点评】此题考查的是二元一次方程的解，能够用一个未知数表示另一个未知数是解决此题关键．

20．我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：x＝m×n（m，n是正整数，且n≤m），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称m×n是x的最佳分解，并规定：．例如：18可分解成1×18，2×9或3×6，因为18－1＞9－2＞6－3，所以3×6是18的最佳分解，所以．

(1)填空：；；

(2)一个两位正整数t（t＝10a＋b，1≤a≤b≤9，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值．

【答案】(1)，1

(2)39，28，17；的最大值为

【解析】（1）根据6＝1×6＝2×3，可得；根据16＝1×16＝2×8＝4×4，可得，即可求解；

（2）根据题意可得，从而得到b－a＝6，进而得到t＝39，28，17，即可求解．

(1)

解：∵6＝1×6＝2×3，6－1＝5，3－2＝1，

∴；

∵16＝1×16＝2×8＝4×4，16－1＝15，8－2＝6，4－4＝0，

∴；

故答案为：，1；

(2)

解：∵t＝10a＋b，交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，

∴，

∴b－a＝6，

∵1≤a≤b≤9，a，b为正整数，

∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，

∴t＝39，28，17，

∵39＝1×39＝3×13，39－1＝38，13－3＝10，

∴；

∵28＝1×28＝2×14＝4×7，28－1＝27，14－2＝12，7－4＝3，

∴；

∵17＝1×17，

∴；

∵，

∴的最大值是．

【点评】本题考查了有理数的应用，二元一次方程的应用，明确题意，理解新定义是解题的关键．

21．（1）若在方程2x-y=的解中，x，y互为相反数，求xy的值．

（2）已知是方程组的解，求m+n的值．

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）根据互为相反数把解代入方程得2x+x=，解一元一次方程，解得x=，再求xy的值．

（2）把解代入方程组求出二元一次方程组的解再求m+n即可．

【详解】（1）∵x，y互为相反数，

∴y=-x，

将y=-x代入方程2x-y=中，

得2x+x=，

解得x=，

∴y=．

∴xy=．

（2）∵是方程组的解，

∴

解得

∴m+n=-1．

【点评】本题考查互为相反数，二元一次方程组的解，解一元一次方程，代数式的值，掌握互为相反数，二元一次方程组的解，解一元一次方程，代数式的值是解题关键．

22．已知关于x、y的二元一次方程组的解是．求a-b的值．

【答案】

【解析】把代入方程组求得、的值，即可求得的值．

【详解】把代入二元一次方程组得：，

解得：

∴.

【点评】本题考查了二元一次方程组的解：同时满足二元一次方程组的两个方程的未知数的值叫二元一次方程组的解．

23．若方程组是二元一次方程组，求a的值．

【答案】a=﹣3

【解析】根据了二元一次方程组的定义，可得且a﹣3≠0，解出即可

【详解】解：∵方程组是二元一次方程组，

∴且a﹣3≠0，

∴a=﹣3．

【点评】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握含有两个未知数，且未知数的次数都是1的整式方程是二元一次方程，而由两个二元一次方程组成的方程组就是二元一次方程组是解题的关键．

24．为庆祝伟大的中国共产党成立100周年，某校德育处举行了以“学史明理，学史增信，学史崇德，学史力行”为主题的党史知识竟赛．竟赛共有50道题，满分100分，每答对一题得2分，答错扣1分，不答得0分．

(1)小芳同学只有一道题没有作答，最后她的总得分为86分，则她答对了多少道题？

(2)若规定参赛者总得分90分及以上才可以被评为“学党史小达人”，小敏同学的得分正好符合评奖的最低控制分数从而被评为“学党史小达人”，则她答对了多少道题？

【答案】(1)45道

(2)46道

【解析】（1）设她答对了x道题，根据总得分=2×答对题目数-1×答错题目数，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；

（2）设她答对了y道题，z道题不答，根据题意列出方程，求出整数解即可．

【小题1】

解：设她答对了x道题，则答错了（50-1-x）道题，

依题意得：，

解得：，

∴她答对了45道题；

【小题2】

设她答对了y道题，z道题不答，

依题意得：，

∴，

∴，

当z=1时，y=，舍去；

当z=2时，y=46，

∴她答对了46道题，才能正好符合评奖的最低控制分数．

【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是理解得分规则，找准等量关系，正确列出方程．