专题07：实数-2021-2022学年下学期七年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

专题07：实数

一、单选题

1．已知面积为12的正方形的边长为x，那么x的范围是（       ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先根据正方形的面积公式得到，再由，得到，则．

【详解】解：由题意得，

∵，

∴，

∴，

故选C．

【点评】本题主要考查了无理数的估算，正确得到是解题的关键．

2．下列语句中正确的是（       ）．

A．1的任何次方根都是1

B．数轴上的每一个点都有一个有理数与它对应

C．无理数都是带根号的数

D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数

【答案】D

【解析】根据有理数的乘方、数轴与实数的关系、无理数的定义及相反数的定义判断即可．

【详解】A．1的平方根是，故A错误；

B．数轴上的每一个点都有一个实数与之对应，故B错误；

C．是无理数，但不带根号，故C错误；

D．互为相反数的两个数的立方根也互为相反数，故D正确．

故选D．

【点评】此题考查有理数的乘方、数轴与实数的关系、无理数的定义及相反数的定义解决本题的关键是熟练掌握有关概论及性质．

3．下列各数为无理数的是（        ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【详解】A．是分数，属于有理数，，故本选项不合题意；

B．是整数，是有理数，故本选项不符合题意；

C．是无理数，故本选项符合题意；

D．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；

故选：C．

【点评】本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0），等有这样规律的数．

4．在实数中，无理数有（       ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】A

【解析】先化简再根据无限不循环的小数是无理数，逐一分析即可．

【详解】解：

实数中，无理数有

故选A

【点评】本题考查的是无理数的含义，算术平方根与立方根的含义，掌握“无理数的定义”是解本题的关键．

5．下列实数中的无理数是（       ）

A． B．0.23 C．0 D．0.525225222……(5之间2的数量依次多一个)

【答案】D

【解析】根据无理数的定义进行判断．

【详解】解:A、，有理数；

B、0.23小数，有理数；

C、0是整数，有理数；

D、0.525225222……(5之间2的数量依次多一个)是无限不循环小数，是无理数；

故选：D．

【点评】本题考查无理数的定义，无限不循环小数是无理数．

6．如图，数轴上点表示的数可能是（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据点P在数轴上的位置可知点P表示的数的范围，据此即可求解

【详解】解：由点P在数轴上的位置可知点P表示的数在3—4之间

，，，

点表示的数可能是

故选：C．

【点评】本题考查了无理数的估算和数轴，熟练掌握无理数的估算是解决本题的关键．

7．在，，，，，中，无理数个数有（       ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【解析】首先根据二次根式的化简，把能化简的二次根式化简，再判定即可．

【详解】解：，，

故无理数有：，，，共个，

故选：C．

【点评】此题主要考查了无理数的定义．注意带根号的数与无理数的区别：带根号的数不一定是无理数，带根号且开方开不尽的数一定是无理数．

8．如图，点A，B，C在数轴上，且点A是BC的中点．点A，B表示的数分别为-1，，则点C表示的数为（          ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】设点C所表示的数为x，根据题意列出方程，即可求出x的值.

【详解】解：设点C所表示的数为x，

根据题意，得，

∴，

∴点C表示的数为.

故选：D.

【点评】本题考查了实数与数轴的知识，根据条件点B，C到点A的距离相等列出方程是解题的关键.

9．数轴上表示1，的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】根据数轴上两点之间的距离计算、对称的性质即可解决．

【详解】根据对称的性质得：AC=AB

设点C表示的数为a，则

解得：

故选：C．

【点评】本题考查了数轴上两点之间的距离，图形对称的性质，关键是由对称的性质得到AC=AB．

10．规定表示不超过的最大整数，例如，，，则下列结论：①；②若，则的取值范围是；③当时，的值为1或2．

其中正确结论有（       ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

【答案】C

【解析】根据取整函数的定义及公式即可作出判断．

【详解】解：取，则，，

，

①错误，

由公式可得当时，有，

②正确，

由可得，

若，则，，

有，

若，则，，

有，

若，则，

有，

③正确，

正确的有②③，

故选：C．

【点评】本题考查了取整函数，解题的关键是要正确理解取整函数的定义，以及式子的应用，这个式子在取整函数中经常用到．

11．对于实数a、b，定义min{a，b}的含义为：当a＜b时，min{a，b}＝a；当a＞b时，min{a，b}＝b，例如：min{1，﹣2}＝﹣2．已知min{，a}＝a，min{，b}＝，且a和b为两个连续正整数，则2a﹣b的值为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】根据新定义求出a，b的范围，进而求得a、b值，然后再代入求出2a﹣b的值即可．

【详解】解：∵min{，a}＝a，min{，b}＝．

∴a＜，b＞．

∵a，b是两个连续的正整数．

∴a＝5，b＝6．

∴2a﹣b＝2×5﹣6＝4．

故选：D．

【点评】本题考查新定义下的实数运算、代数式求值、无理数的估算，理解新定义，正确求出a、b是解答的关键．

12．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（       ）

A． B． C．2 D．3

【答案】A

【解析】根据计算程序图计算即可．

【详解】解：∵当x=64时，，，2是有理数，

∴当x=2时，算术平方根为是无理数，

∴y=，

故选：A．

【点评】此题考查计算程序的应用，正确理解计算程序图的计算步骤，会正确计算数的算术平方根及立方根，能正确判断有理数及无理数是解题的关键．

二、填空题

13．比较大小：3.14________（填“＞”、“=”或“＜”）．

【答案】＜

【解析】首先比较出两个数的平方的大小关系，然后根据：两个正数，平方大的这个数也大，判断出它们的大小关系即可．

【详解】解：∵，

，

．

故答案为：<．

【点评】题主要考查了实数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：两个正数，平方大的这个数也大．

14．写出一个大于1且小于3的无理数是___________．

【答案】（不唯一）

【解析】根据算术平方根的性质可以把1和3写成带根号的形式，再进一步写出一个被开方数介于两者之间的数即可．

【详解】解：∵1＝，3＝，

∴写出一个大于1且小于3的无理数是．

故答案为：（本题答案不唯一）．

【点评】此题考查了无理数大小的估算，熟悉算术平方根的性质是解答此题的关键．

15．设一列数，，，，……中任意三个相邻数之和都是50，已知，，则______．

【答案】15

【解析】根据题意求出的值，可得（n为正整数），即可求出的值．

【详解】解：∵一列数，，，，……中任意三个相邻数之和都是50，

∵

则

解得

故答案为：15．

【点评】此题考查了与实数运算有关的规律题，解题的关键是能够找出与实数运算有关的规律并求解．

16．若[x]表示不超过x的最大整数．如[π]＝3，[4]＝4，[﹣2.4]＝﹣3．则下列结论：

①[﹣x]＝﹣[x]；

②若[x]＝n，则x的取值范围是n≤x＜n+1；

③x＝﹣2.75是方程4x﹣[x]+5＝0的一个解；

④当﹣1＜x＜1时，[1+x]+[1﹣x]的值为1或2．

其中正确的结论有 ___（写出所有正确结论的序号）．

【答案】②④

【解析】根据若表示不超过的最大整数，①取验证；②根据定义分析；③直接将代入，看左边是否等于右边；④以0为分界点，分情况讨论．

【详解】解：①当x＝2.5时，[﹣2.5]＝﹣3，﹣[2.5]＝﹣2，

∴此时[﹣x]与﹣[x]两者不相等，故①不符合题意；

②若[x]＝n，

∵[x]表示不超过x的最大整数，

∴x的取值范围是n≤x＜n+1，故②符合题意；

③将x＝﹣2.75代入4x﹣[x]+5，得：

4×（﹣2.75）﹣（﹣3）+5＝﹣3≠0，故③不符合题意；

④当﹣1＜x＜1时，

若﹣1＜x＜0，[1+x]+[1﹣x]＝0+1＝1，

若x＝0，[1+x]+[1﹣x]＝1+1＝2，

若0＜x＜1，[1+x]+[1﹣x]＝1+0＝1；故④符合题意；

故答案为：②④．

【点评】本题主要考查取整函数的定义，是一个新定义类型的题，解题关键是准确理解定义求解．

三、解答题

17．计算：

(1)（）2+﹣

(2)﹣|1﹣|+．

【答案】(1)﹣10

(2)﹣2+

【解析】（1）原式利用算术平方根及立方根定义计算即可得到结果；

（2）原式利用立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，合并即可得到结果．

(1)

解：原式=9﹣4﹣15=﹣10；

(2)

解：原式=﹣1﹣2+﹣+1+=﹣2+．

【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

18．阅读下列材料：

∵，

∴，

∴的整数部分为3，小数部分为．

请你观察上述的规律后试解下面的问题：如果的整数部分为，的小数部分为，求的值．

【答案】a+b的值为25+．

【解析】由9π≈28.26，可得其整数部分a=28，由27＜28＜64，可求得的小数部分，继而可得a+b的值．

【详解】解：∵9π≈28.26，

∴a=28，

∵27＜28＜64，

∴，

∴3＜＜4，

∴b=-3，

∴a+b=28+-3=25+，

∴a+b的值为25+．

【点评】本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意估算出a，b的值是解答此题的关键．

19．阅读下列材料，解答问题：

我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，它的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于1＜＜2，所以的整数部分为1，小数部分为﹣1．根据以上的内容，解答下面的问题：如果的小数部分为a，的整数部分为b，求：a+b﹣的值．

【答案】3

【解析】先求出的整数部分，进而得出小数部分，即a的值，再通过计算得出的整数部分，最后代入计算即可．

【详解】解：，

的整数部分为2，小数部分为．

，

的整数部分为5，

．

【点评】本题主要考查无理数的估算问题，解题的关键在于能够正确与表示求解无理数的整数与小数部分．

20．阅读下面的文字，解答问题．

大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但是由于12，所以的整数部分为1．将减去其整数部分1，差就是小数部分．根据以上的内容，解答下面的问题：

（1）的整数部分是，小数部分是；

（2）若设（2）整数部分是x，小数部分是y，分别求出x与y的值．

【答案】（1）2，；（2）x＝3，y=

【解析】（1）仿照例子找出在哪两个整数之间即可得解；

（2）仿照例子找出整数部分和小数部分后即可得出x与y的值

【详解】（1）解：∵，

∴的整数部分为2，小数部分为；

（2）解：∵

∴

由题意得x＝3，y3．

【点评】本题考查了无理数的估算，熟悉无理数的大小估算是解题的关键．

21．已知的立方根是3，的算术平方根是4，是的整数部分．

（1）求，，的值．

（2）求的平方根．

【答案】（1）a=12，b=5，c=3；（2）±1

【解析】（1）利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值；

（2）将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可．

【详解】解：（1）∵2a+3的立方根是3，

∴2a+3=27，

解得a=12，

∵a+b-1的算术平方根是4，

∴a+b-1=16，

解得b=5，

∵3＜＜4，

∴的整数部分是3，

∴c=3，

综上所述：a=12，b=5，c=3；

（2）∵a=12，b=5，c=3．

∴a-4b+3c=12-20+9=1，

∵1的平方根是±1

∴a-4b+3c的平方根是±1．

【点评】本题考查了算术平方根，平方根，立方根，估算无理数的大小等知识点，易错点是一个正数的平方根有两个，它们是互为相反数．

22．（1）．

（2）已知2a﹣1的算术平方根是3，3a＋b﹣9的立方根是2，c是的整数部分，求a＋2b＋c的值．

【答案】（1）4；（2）13

【解析】（1）根据算术平方根、绝对值和立方根性质进行化简，最后合并同类项；

（2）根据算术平方根，立方根的定义求a，b结果，因为c是的整数部分，所以c＝4，最后求a＋2b＋c的值．

【详解】（1）原式＝5﹣（2﹣）﹣3＋3

＝5﹣2＋﹣3＋3

＝4．

（2）根据题意，可得2a−1＝9，3a＋b−9＝8；

故a＝5，b＝2；

∵，

∴c＝4.

则a＋2b＋c＝13．

【点评】本题考查了算术平方根，立方根，绝对值的性质，以及实数的估算，综合掌握数的开方运算，算术平方根和立方根的定义以及绝对值的性质是解题关键．

23．阅读材料：

，即，，

的整数部分为2，的小数部分为．

解决问题：

（1）填空：的小数部分是______；

（2）已知是的整数部分，是的小数部分，求的立方根．

【答案】（1）．（2）的立方根．

【解析】（1）根据求无理数的取值范围，进而得实数小数部分；

（2）由得的值，得的值，再进行相应的计算．

【详解】解：（1），

的整数部分是2，

小数部分是．

故答案为：．

（2），

．

，

，

，

的立方根．

【点评】本题考查了实数的整数部分及小数部分，解题的关键是掌握无理数的取值范围，从而求出整数部分和小数部分，求出结果是求立方根的关键．

24．阅读材料：求的值．

解：设①，将等式①的两边同乘以2，

得②，

用②－①得，

即．

即．

请仿照此法计算：

（1）请直接填写的值为______；

（2）求值；

（3）请直接写出的值．

【答案】（1）15；（2）；（3）．

【解析】（1）先计算乘方，即可求出答案；

（2）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；

（3）根据题目中的运算法则进行计算，即可求出答案；

【详解】解：（1）；

故答案为：15；

（2）设①，把等式①两边同时乘以5，得

②，

由②①，得：，

∴，

∴；

（3）设①，

把等式①乘以10，得：

②，

把①+②，得：，

∴，

∴，

∴

．

【点评】本题考查了数字的变化规律，熟练掌握运算法则，熟练运用有理数乘法，以及运用消项的思想是解题的关键．