专题08：平面直角坐标系-2021-2022学年下学期七年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

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专题08：平面直角坐标系
一、单选题
1．中国象棋在我国有着三千多年的历史，如图是一局象棋残局，若表示棋子“馬”和“車”的点的坐标分别为，，则表示棋子“炮”的点的坐标为（     ）．

A．(1，2) B．（3，2） C．（1，3） D．（﹣1，4）
【答案】C
【解析】根据棋子“馬”和“車”的点的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得出答案．
【详解】解：由题意，建立平面直角坐标系如下：

则表示棋子“炮”的点的坐标为，
故选：C．
【点评】本题考查了点坐标，正确建立平面直角坐标系是解题关键．
2．在平面直角坐标系中，点M（2，－1）在（            ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【解析】根据各象限内点的坐标特点及M的坐标，即可判定．
【详解】解：，，
点M在第四象限，
故选：D．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标特点，熟记各象限内点的坐标的符号是解决本题的关键．
3．下列各点中，在第四象限的点是（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根据各象限内点的坐标特征对各选项分析判断即可得解．
【详解】解：A、在x轴负半轴上，故本选项错误；
B、在第二象限，故本选项错误；
C、在第四象限，故本选项正确；
D、在第三象限，故本选项错误．
故选：C．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
4．已知点与点在同一条平行于轴的直线上，且到轴的距离等于4，则点的坐标是（       ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【解析】根据平行于轴的直线上的点的纵坐标相等求出，再根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值求出，然后写出点的坐标即可．
【详解】解：点与点在同一条平行于轴的直线上，
，
到轴的距离等于4，
，
点的坐标为或．
故选：C．
【点评】本题考查了点的坐标，主要利用了平行于轴的直线上点的坐标特征，点到轴的距离等于横坐标的绝对值．
5．如图是北京地铁部分线路图．若崇文门站的坐标为，北海北站的坐标为，则复兴门站的坐标为（     ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据已知点坐标确定直角坐标系，即可得到答案．
【详解】由题意可建立如图所示平面直角坐标系，

则复兴门站的坐标为．
故选：．
【点评】此题考查了平面直角坐标系中点坐标特点，由点坐标确定直角坐标系，由坐标系得到点坐标，属于基础题型．
6．如图，A、B两点的坐标分别为A（－2，－2）、B（4，－2），则点C的坐标为（       ）

A．（2，2） B．（0，0） C．（0，2） D．（4，5）
【答案】B
【解析】根据A、B两点的坐标建立平面直角坐标系即可得到C点坐标．
【详解】解：∵A点坐标为（-2，-2），B点坐标为（4，-2），
∴可以建立如下图所示平面直角坐标系，
∴点C的坐标为（0，0），
故选B．

【点评】本题主要考查了写出坐标系中点的坐标，解题的关键在于能够根据题意建立正确的平面直角坐标系．
7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点，规定以下两种变换：①f(m，n)=(m，-n)，如f(2，1)=(2，-1)；②g(m，n)=(-m，-n)，如g(2，1)=(-2，-1)．按照以上变换有：f[g(3，4)]=f(-3，-4)=(-3，4)，那么g[f(-3，2)]等于（　　）
A．(3，2) B．(3，-2) C．(-3，2) D．(-3，-2)
【答案】A
【解析】根据题目中规定将点的坐标进行变换即可．
【详解】解：．
故选：A．
【点评】本题考查点的坐标的规律，正确理解题意是解题关键．
8．直角平坐标面内，如果点在第四象限，那么点所在的象限是（       ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】根据点在第四象限，可得a的符号，进而可得-a、1-a的符号，据此可判断其所在的象限．
【详解】解：∵点在第四象限，
∴，
解得
∴，
∴在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（-，+）；第三象限（-，-）；第四象限（+，-）．
9．平面直角坐标系中，点，，，若AC∥x轴，则线段BC的长度最小时点C的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】首先确定点C位于平行与x的直线上，再根据垂线段最短可知点C的位置，进而得出答案．
【详解】因为轴，
所以点C（x，2）．
点B到直线AC的所有连线中垂线段最短，即当轴时，线段BC最短，
则点C的坐标是（3，2）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，根据垂线段最短确定点C的位置是解题的关键．
10．已知点在第四象限，且到轴的距离为，则点的坐标为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据第四象限内点的纵坐标是负数，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，列方程求出a的值，然后求解即可．
【详解】解：∵点在第四象限，且到x轴的距离为2，
∴，
解得，
∴，
，
∴点P的坐标为（4，-2）．
故选：A．
【点评】本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值是解题的关键．
11．平面直角坐标系中，点，，经过点的直线与轴平行，如果点是直线上的一个动点，那么当线段的长度最短时，点的坐标为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】根据经过点的直线轴，可知点的纵坐标与点的纵坐标相等，可设点的坐标，根据点到直线垂线段最短，当时，点的横坐标与点的横坐标相等，即可得出答案．
【详解】解：如右图所示：

轴，点是直线上的一个动点，点，
设点，
当时，的长度最短，点，
，
点的坐标为．
故选：C．
【点评】本题主要考查平面直角坐标系中点坐标的确定及垂线段最短，解题的关键是数形结合，掌握平面直角坐标系中确定点坐标的方法．
12．如图，长方形的各边分别平行于轴、轴，物体甲和物体乙由点同时出发，沿长方形的边做环绕运动，物体甲按逆时针方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动则两个物体运动后的第2021次相遇地点的坐标是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据两个物体运动速度和矩形周长，得到两个物体的相遇时间间隔，进而得到两个点相遇的位置规律．
【详解】解：由已知，矩形周长为12，
∵甲、乙速度分别为1单位/秒，2单位/秒
则两个物体每次相遇时间间隔为秒，
则两个物体相遇点依次为（-1，1）、（-1，-1）、（2，0），
∵2021=3×673+2，
∴第2021次两个物体相遇位置为（-1，-1），
故选：A．
【点评】本题为平面直角坐标系内的动点坐标规律探究题，解答关键是找到两个物体相遇的位置的变化规律．
二、填空题
13．在平面直角坐标系中，点、点N到x轴的距离相等，且MN平行于y轴，则N的坐标为______．
【答案】
【解析】根据题意可得点M与点N横坐标相等，纵坐标互为相反数，写出点N的坐标即可．
【详解】∵点与点N到x轴的距离相等，且轴，
则点M与点N横坐标相等，纵坐标互为相反数，
故点N坐标为：．
故答案为：．
【点评】本题考查了坐标与图形，平行于坐标轴的点的坐标特征，解决本题的关键是熟练掌握坐标系中点的坐标特征．
14．若点在x轴上，则点在第_______象限．
【答案】二
【解析】根据点在x轴上可得m-2=0可得m的值，然后再确定Q点坐标，最后根据各象限的坐标特点解答即可．
【详解】解：∵P在x轴上，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∴Q位于第二象限．
故答案为：二．
【点评】本题主要考查了坐标系内的点，掌握“x轴上的点纵坐标为零”是解答本题的关键．
15．教材在第七章复习题的“拓广探索”中，曾让同学们探索发现：在平面直角坐标系中，线段中点的横坐标（纵坐标）分别等于对应线段的两个端点的横坐标（纵坐标）和的一半．例如：点、点，则线段的中点的坐标为.请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，点，，若线段的中点恰好在轴上，且到轴的距离是2，则______
【答案】或19
【解析】根据线段的中点坐标公式即可得求出、的值，从而可得到答案．
【详解】解：点，，
中点，，
中点恰好位于轴上，且到轴的距离是2，
，
解得：或，
或19；
故答案为：或19．
【点评】本题考查坐标与图形性质，中点坐标公式，解题的关键是根据线段的中点坐标公式求出、的值．
16．在平面直角坐标系中，已知不同两点与，且轴，，则的值为________．
【答案】或
【解析】，则AB两点纵坐标相等，即可解出m,再根据AB=4解出n，最后求出m+n的值．
【详解】∵
∴m+1=2
∴m=1
∵AB=4 又有可能A在B左边，也可能B在A左边．
∴m+1-(m+n)=4或m+n-( m+1)=4，
∴n=-3或5．
∴m+n=-2或6．
故答案为-2或6．
【点评】本题考查由坐标的特点求坐标中参数，通过已知条件建立一元一次方程的等量关系，进而一一解出两个未知数是本题的关键．
三、解答题
17．在平面直角坐标系xoy中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），B（﹣4，4），C（3，﹣3）．

(1)画出△ABC；
(2)画出△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得到的△A1B1C1，并求出平移后图形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)图见解析，7
【解析】（1）根据A，B，C三点坐标描出各点，顺次连接各点即可；
（2）根据图形平移的性质画出△A1B1C1，利用正方形的面积减去三个三角形的面积及矩形的面积即可．
(1)
如图：

(2)
如图，△A1B1C1面积=7×7-×2×4-×3×5-×7×7-2×3
=49-4--6
=7．
【点评】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质和网格图中求面积的方法是解答此题的关键．
18．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．

(1)直接写出点C，点D的坐标为C______   D______；
(2)求出四边形ABDC的面积；
(3)在x轴上是否存在一点F，使得的面积是面积的4倍，若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)8
(3)存在，或
【解析】（1）根据平行四边形性质和已知坐标即可写出C，D坐标；
（2）AB为底，CO为高，再按公式求面积即可；
（3）先写出两个三角形的公式表达式，发现CD为FB四倍时符合题意，进而求出符合条件的两个F点．
【详解】解：(1)，．
(2)∵，，，
∴，．
．
(3)存在．
∵，，
∴．
∵，，
又，
∴．
∵，点F在x轴上，
∴或．
【点评】本题考查平行四边形性质和平面直角坐标系相关计算、和三角形面积求法，掌握这些知识是本题关键．
19．已知平面直角坐标系中一点
（1）当点P在轴上时，求出点P的坐标；
（2）当点在过点A（—4，—3）、且与轴平行的直线上时，求出点的坐标；
（3）当点到两坐标轴的距离相等时，求出的值．
【答案】（1）点P的坐标为（0，9）；（2）点P的坐标为（-6，-3）；（3）或
【解析】（1）根据在y轴上点的坐标特征：横坐标为0进行求解即可；
（2）根据点P（m-4，2m+1）在过点A（-4，-3），且与x轴平行的直线上，即点P（m-4，2m+1）在直线y=-3上，由此求解即可；
（3）根据当点P（m-4，2m+1）到两坐标轴的距离相，可以得到，由此求解即可．
【详解】解：（1）∵点P（m-4，2m+1）在y轴上，
∴m-4=0，
∴m=4，
∴点P的坐标为（0，9）；
（2）点P（m-4，2m+1）在过点A（-4，-3），且与x轴平行的直线上，
∴点P（m-4，2m+1）在直线y=-3上，
∴2m+1=-3，
∴m=-2，
∴点P的坐标为（-6，-3）；
（3）∵当点P（m-4，2m+1）到两坐标轴的距离相等时，
∴，
∴或，
∴或．
【点评】本题主要考查了解一元一次方程，点到坐标轴的距离，在y轴上点的坐标特征，平行与x轴的直线的特征，解题的关键在于熟练掌握相关知识进行求解．
20．如图，已知高铁站的坐标为，博物馆的坐标为．
（1）请根据题目条件画出平面直角坐标系；
（2）写出体育场、市场、超市的坐标；
（3）顺次连接超市、医院、高铁站所在的点，得到一个三角形，求出这个三角形的面积

【答案】（1）见解析；（2）体育场，市场，超市；（3）
【解析】（1）由所给的条件可知坐标原点是在医院的位置，从而可作图；
（2）根据（1）写出相应的坐标即可；
（3）所求的三角形的面积可看作是长方形的面积减去相应的三个三角形的面积，从而可求解．
【详解】解：（1）∵高铁站的坐标为（3，2），博物馆的坐标为（0，3），
∴坐标原点是在医院的位置，如图所示：

（2）体育场的坐标为（−2，5），市场的坐标为（5，5），超市的坐标为（5，−1）；
（3）三角形面积为：．
【点评】本题主要考查三角形的面积，坐标确定位置，解答的关键是建立正确的平面直角坐标系．
21．如图所示在平面直角坐标系中，方格纸中每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，已知点，，．

（1）在所给的直角坐标系中画出；
（2）把向右平移3个单位，再向上平移4个单位得到，画出．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）利用点、、的坐标描点即可；
（2）利用点平移的坐标变换特征写出、、的坐标，然后描点即可．
【详解】解：（1）如图，为所作；
（2）如图，△为所作．

【点评】本题考查了作图平移变换，解题的关键是作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
22．如图，每个小正方形网格的边长表示50m，A同学上学时从家中出发，先向东走250m，再向北走50m就到达学校．
（1）以学校为坐标原点O，向东为x轴正方向，向北为y轴正方向，在图中建立直角坐标系．
（2）在你所建的直角坐标系中，如果C同学家的坐标为(﹣150，100)，请在图中描出表示C同学家的点；
（3）直接写出B同学家的坐标，画出三角形BOC并求三角形BOC的面积．

【答案】（1）建立平面直角坐标系见详解；（2）点C位置见详解；（3）B同学家的坐标是（200，150），△BOC见详解，S△BOC=．
【解析】（1）先计算250÷50=5,50÷50=1，由点A向右移动5个单位建立y轴，向上移动1个单位建立x轴，如图所示以学校为坐标原点O；
（2）由C同学家的坐标为(﹣150，100)，利用除法计算-150÷50=-3,100÷50=2，利用平移即可得点C；
（3）根据平面直角坐标系直接可得出点B坐标，画图如图所示，利用长方形面积减去三个三角形面积即可求出△BOC的面积．
【详解】解:（1）∵250÷50=5,50÷50=1，由点A向右移动5个单位建立y轴，向上移动1个单位建立x轴，如图所示以学校为坐标原点O；
（2）如果C同学家的坐标为(﹣150，100)，
∵-150÷50=-3,100÷50=2，
∴由原点向左移动3个单位，再向上移动2个单位得点C；
（3）B同学家的坐标是（200，150），

△BOC如图所示，
S△BOC=S长方形EFGB-S△ECB-S△CFO-S△BGO=7×3-=21=．
【点评】本题考查了建立平面直角坐标系，平面内的点与有序实数对一一对应，利用割补法求三角形面积，掌握建立平面直角坐标系，平面内的点与有序实数对一一对应，利用割补法求三角形面积，记住平面内特殊位置的点的坐标特征是解题关键．
23．如图在平面直角坐标系中（单位长度为1cm），已知点A（0，m），N（n，0），且＋＝ 0．

(1)求m，n的值；
(2)若点E是第一象限内的一点，且EN⊥轴，点E到轴的距离为4，过点E作轴的平行线，与轴交于点A，点P从点E处出发，以每秒2cm的速度沿直线向左运动，点Q从原点O同时出发，以每秒1cm的速度沿轴向右运动，设点Q的运动时间为t秒，请解答下列问题：
①t为何值时，AP＝OQ？
②若某一时刻以A，O，Q，P为顶点的四边形的面积是10cm2，求出此时t的值和点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①t＝2秒；②t的值为2或，点P的坐标分别为（4，4）和（，4）
【解析】（1）根据平方根和绝对值的性质得出，解方程组即可；
（2）①AP＝OQ，AP=6-2t，OQ=t，得到6－2t＝t，解出方程即可；②分成点P在轴左侧和点P在轴左侧两种情况进行讨论，列出关于t的方程，进而求出点P的坐标．
(1)
由题意得：
解得：
(2)
①由（1）得：AE＝ON＝6，AO＝EN＝4
∵AP＝OQ，AP=6-2t，OQ=t，
∴6－2t＝t
∴t＝2   
所以当t＝2秒时，AP＝OQ
②当点P在轴右侧时：

解得＝1
∴6－2t＝4
∴此时点P的坐标为（4，4）
当点P在轴左侧时：

解得
∴6－2t＝
∴此时点P的坐标为（，4）
∴t的值为2或，此时点P的坐标分别为（4，4）和（，4）
【点评】本题考查了坐标与图形性质，梯形的面积，难度适中．运用数形结合与方程思想是解题的关键．
24．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接．
（1）若，求线段的长度；
（2）若且．
①当点在直线上时，求的值；
②当点不在直线上时，连接，，记的面积为．若，求的值．
【答案】（1）4；（2）①1；②，
【解析】（1）由题意可得，，由此可知点是由点沿轴正方向平移4个单位得到，即可求的长；
（2）先根据题意初步判断出点A、B的相对位置关系，再由此画出相应图形，延长交轴于点，设，则，分别过点，作轴的垂线，垂足为，，根据，列出方程可得，
①当点在直线上时，即，，三点共线，则点即为点，由此可得a的值；
②当点不在直线上时，不论点在的上方或下方，均有的面积，由此可得，进而可求得的值．
【详解】解：（1）∵，
∴，，
∴点是由点沿轴正方向平移4个单位得到，
∴线段的长是．
（2）∵，
∴．
由得点在点下方．
延长交轴于点，
由于，都在轴右侧，
∴点在点下方．
设，则．
分别过点，作轴的垂线，垂足为，，

∴，，
∴，，，，．
由，
得，
，
即．
①当点在直线上时，即，，三点共线，
∴点即为点，
∴，
∴．
②当点不在直线上时，
不论点在的上方或下方，均有的面积，
∴


．
∵，
∴，
即，
∴当时，点的坐标为或，
∴当时，；
当时，；
综上所述，的值是，．
【点评】本题考查了坐标与图形，利用割补法求ABO的面积是解题的关键．