专题01：相交线-2021-2022学年下学期七年级数学期末复习备考一本通（人教版&全国通用）

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专题01：相交线
1．下列说法：
①若，则a与b互为相反数；②在方位示意图中，北偏东方向与西偏北方向形成夹角；③将无限循环小数0.1333…化成分数是；④10条直线两两相交最多有55个交点，其中正确的结论是（       ）．
A．①② B．①③ C．②④ D．①③④
【答案】B
【解析】①∵a≠0，去分母得到b=-a，a+b=0，a与b互为相反数；
②北偏东 40° 方向与西偏北40° 方向形成 90° 夹角；
③将无限循环小数0.1333…化成分数是；
④ 10条直线两两相交最多有交点 45个交点．
【详解】①若=−1 ，则b=-a，a+b=0，a与b互为相反数，正确；
②在方位示意图中，北偏东 40° 方向与西偏北40° 方向形成 90° 夹角，故错误；
③将无限循环小数0.1333…化成分数是 0.1+0.0333…=，正确；
④ 10条直线两两相交最多有交点个交点，故错误．
故选B
【点评】本题考查了相反数，方位角，无限循环小数化成分数，直线两两相交最多交点个数．解题的关键是熟练掌握分式有意义的隐含条件去分母，熟悉方位角概念，无限循环小数化成分数的原理，直线两两相交，交点不重合，交点个数计算方法．
2．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥CD，OF平分∠BOD，∠AOE＝24°，∠COF的度数是（       ）

A．146° B．147° C．157° D．136°
【答案】B
【解析】欲求∠COF，需求∠DOF．由OE⊥CD，得∠EOD＝90°，故求得∠BOD＝66°．由OF平分∠BOD，故∠DOF＝＝33°．
【详解】解：∵OE⊥CD，
∴∠EOD＝90°．
∴∠BOD＝180°﹣∠AOE﹣∠DOE＝66°．
又∵OF平分∠BOD，
∴∠DOF＝＝33°．
∴∠COF＝180°﹣∠DOF＝180°﹣33°＝147°．
故选：B．
【点评】本题主要考查垂直的定义、角平分线的定义以及邻补角的性质，熟练掌握垂直的定义、角平分线的定义以及邻补角的性质是解决本题的关键．
3．、、是直线上的三点，是直线外一点，且，，．由此可知，点到直线的距离是（       ）
A． B．不小于 C．不大于 D．在与之间
【答案】C
【解析】根据“直线外一点到直线上各点的所有连线中，垂线段最短”进行解答．
【详解】解：∵直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，
∴点P到直线l的距离≤PA，
即点P到直线l的距离不大于5cm，
∴点P到直线l的距离不可能是在6cm与8cm之间．
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．
4．如图，两条直线a，b相交，若2∠3＝3∠1，则以下各角度数正确的是（　　）

A．∠1＝72° B．∠2＝120° C．∠3＝144° D．∠4＝36°
【答案】A
【解析】先根据邻补角的定义可得，从而可求出的度数，再根据对顶角相等分别求出的度数，由此即可得出答案．
【详解】解：，
，
解得，
，
由对顶角相等得：，，
观察四个选项可知，只有选项A正确，
故选：A．
【点评】本题考查了邻补角、对顶角相等，熟练掌握邻补角的定义是解题关键．
5．如图，直线AB和CD交于点O，EO⊥AB，垂足为O，若∠EOC＝35°，则∠AOD的度数为（　　）

A．115° B．125° C．135° D．140°
【答案】B
【解析】根据图形求得∠COB=∠COE+∠BOE=125°；然后根据对顶角相等即可求得∠AOD的度数．
【详解】解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB=90°．
又∵∠EOC=35°，
∴∠COB=∠EOC+∠BOE=125°．
∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴∠AOD=125°．
故选B．
【点评】本题主要考查了垂线、对顶角、邻补角等知识点．正确理解相关概念是解答本题的关键．
6．点P为直线外一点：点A、B、C为直线上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线的距离是   (       )
A．2 cm B．4 cm C．5 cm D．不超过2 cm
【答案】D
【解析】根据直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短，因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，可得三条线段的最短的线段，点P到直线l的距离应该不超过这条线段的长，据此判断即可．
【详解】解：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短；
因为PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，
所以三条线段的最短的是2 cm，
所以点P到直线l的距离不超过2 cm．
故选：D．
【点评】此题主要考查了点到直线的距离的含义以及特征，考查了分析推理能力的应用，解答此题的关键是要明确：连接直线外一点P与直线上任意点，所得线段中垂线段最短．
7．如图，直线与相交于点O，与互余，，则的度数是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】直接利用互余的定义以及结合平角的定义得出∠AOC以及∠EOC的度数，进而得出答案．
【详解】解：∵∠1与∠2互余，
∴，
∴°，
∵，
∴°，
∴．
故选：A
【点评】此题主要考查了邻补角以及余角，正确掌握相关定义是解题关键．
8．下列图形中，与是同旁内角的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】根据同旁内角的定义去判断
【详解】∵A选项中的两个角，符合同旁内角的定义，
∴选项A正确；
∵B选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，
∴选项B错误；
∵C选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，
∴选项C错误；
∵D选项中的两个角，不符合同旁内角的定义，
∴选项D错误；
故选A．
【点评】本题考查了同旁内角的定义，结合图形准确判断是解题的关键．
9．如图，和相交于点，则下列结论正确的是（     ）

A．∠1=∠2 B．∠2=∠3
C．∠3=∠4 D．∠1=∠5
【答案】A
【解析】根据对顶角的定义、平行线的性质判断即可．
【详解】解：、与是对顶角，
，本选项说法正确；
、与不平行，
，本选项说法错误；
、与不平行，
，本选项说法错误；
、与不平行，
，本选项说法错误；
答案：．
【点评】此题考查对顶角的定义、平行线的性质，正确理解图形中各角的位置关系是解题的关键．
10．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是（　　）

A．3 B．2.5 C．2.4 D．2
【答案】C
【解析】当PC⊥AB时，PC的值最小，利用面积法求解即可．
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
此时：△ABC的面积＝•AB•PC＝•AC•BC，
∴5PC＝3×4，
∴PC＝2.4，
故选：C．
【点评】本题主要考查了垂线段最短和三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．
11．如图所示，结论中正确的是（       ）

A．和是内错角 B．和是同旁内角
C．和是同位角 D．和是同旁内角
【答案】D
【解析】根据同位角、内错角、同旁内角的意义结合图形进行判断即可．
【详解】解：如图，与并不属于同位角、内错角或同旁内角，因此选项A不符合题意；
与是直线与直线被直线所截的同位角，因此选项B不符合题意；
与是直线与直线被直线所截的内错角，因此选项C不符合题意；
与是直线与直线被直线所截的同旁内角，因此选项D符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查同位角、内错角、同旁内角的意义，掌握同位角、内错角、同旁内角的意义是正确判断的前提，判断两个角是由哪两条直线被第三条直线所截所得到的角是判断的关键．
12．在同一平面内，若与的两边分别垂直，且比的3倍少，则的度数为（     ）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【解析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因比的3倍少，所以可设是x度，利用方程即可解决问题．
【详解】解：设是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：

，

解得，，
故，
②两个角互补时，如图2：
，
所以，

故的度数为：或
故选：．
【点评】此题主要考查了考查了垂线，本题需仔细分析题意，利用方程即可解决问题．关键是得到与数量关系．
13．如图，直线，相交于点，，则__°．

【答案】62
【解析】先求出∠DOB的值，然后根据对顶角相等求解即可．
【详解】解：，
，
，
，
故答案为62．
【点评】本题考查了角的和差，对顶角相等，正确识图是解答本题的关键．
14．一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，且其中一个角为50°，则另一个角的度数是______________．
【答案】50°或130°
【解析】此题可以通过两个图形得出这两个角的关系相等或互补．
【详解】如图：

图1中，根据垂直的量相等的角都等于90°，对顶角相等，
∴∠1=∠2=50°，
图2中，同样根据垂直的量相等的角都等于90°，根据四边形的内角和等于360°，∴∠1+∠2=360°-90°-90°=180°．
∴∠2=130°
故答案为：50°或130°．
【点评】本题考查了垂线的定义．解题的关键是明确四边形的内角和等于360°，三角形的内角和等于180°，对顶角相等的性质．也可以熟记结论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，那么这两个角的关系是相等或互补，
15．如图，要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：________．

【答案】垂线段最短
【解析】根据垂线段的性质解答即可．
【详解】解：要把池中的水引到D处，可过D点引DC⊥AB于C，然后沿DC开渠，可使所开渠道最短，试说明设计的依据：垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【点评】本题主要考查了垂线段的性质，直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．
16．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，OF⊥CD于点O，若∠AOE=65°，则∠BOF的度数是_____________．

【答案】40°##40度
【解析】根据角平分线的定义得出∠AOD=2∠AOE=2×65°=130°，由邻补角定义求出∠BOD=180°−∠AOD=180°−130°=50°，再根据垂直定义即可求出∠BOF的度数．
【详解】解：∵OE平分∠AOD，∠AOE=65°，
∴∠AOD=2∠AOE=2×65°=130°，
∵A、O、B三点共线，
∴∠BOD=180°−∠AOD=180°−130°=50°，
∵OF⊥CD于点O，
∴∠FOC=∠DOF=90°，
∴∠BOF=∠DOF−∠BOD=90°-50°=40°，
故答案为：40°．
【点评】本题考查了垂线、邻补角、角平分线的定义，解题的关键是弄清各个角之间的数量关系．
17．如图，AB与CD相交于点O，若∠DOE＝90°，∠BOE＝43°，则∠AOC＝_____°．

【答案】47°
【解析】由∠DOE=90°，得∠BOD与∠BOE互余，已知∠BOE=43°，可求∠BOD，再利用对顶角相等求∠AOC．
【详解】解：∵∠DOE=90°，∠BOE=43°，
∴∠BOD=90°-∠BOE=90°-43°=47°，
又∵∠AOC与∠BOD是对顶角，
∴∠AOC=∠BOD=47°，
故答案为：47°．
【点评】本题考查了对顶角、邻补角的定义，熟记对顶角、邻补角的定义是解题的关键．
18．直线，垂足为点，直线经过点，若锐角，则__________（用含的代数式表示）.
【答案】
【解析】由题意∠AOF可能为锐角或∠AOF也可能为钝角，故需讨论这两种情况．
【详解】解：由题意，需讨论一下两种情况：
如图1，

∵AB⊥CD，
∴∠AOC＝90°．
∴∠AOF＝180°−∠AOC−∠COE＝180°−90°−m°＝90°−m°．
②如图2．

∵AB⊥CD，
∴∠AOD＝90°．
∵∠COE与∠DOF是对顶角，
∴∠COE＝∠DOF＝m°．
∴∠AOF＝∠AOD＋∠DOF＝90°＋m°．
综上：∠AOF＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查垂直的定义以及角的和差关系，熟练掌握垂直的定义以及角的和差关系是解决本题的关键．
19．已知：如图，平面上有A、B、C、D四个点，根据下列语句画出图形

(1)画射线AC；
(2)连接AB、BC、BD，线段BD与射线AC交于点O；
(3)①在线段AC上作一条线段CF，使得CF＝AC－BD；
②观察图形，我们发现线段AB＋BC＞AC，得出这个结论的依据是什么？
③∠AOB与∠DOC相等吗？说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)①见解析；②两点之间，线段最短；③相等，理由见解析
【解析】(1) 连接A、C两点间的线段并将C端延长即可；
(2)分别连接A、B，B、C和B、D两点间的线段，取线段BD与射线AC的交点为O；
(3)①作一条线段等于已知线段即可；
②根据线段的性质作答即可；
③同角的补角相等，依此解答即可．
【详解】（1）如图，射线即为所求；


（2）解：如图，线段AB、BC、BD即为所求；
（3）①如图，以A为圆心，以BD为半径画弧交AC于点F，FC即为所求；

②两点之间，线段最短；
③相等，理由如下：
∵∠AOB＋∠AOD＝180°，∠DOC＋∠AOD＝180°
∴∠AOB＝∠DOC．
【点评】本题考查了尺规作图、线段的性质，补角的性质，.熟练掌握这些基础知识是解题的关键．
20．如图已知点P在的边上．


(1)利用三角板根据要求画图：（要求标上相应字母）
①过点P作线段，垂足为点C；
②过点P作直线，垂足为点P交于点D；
(2)结合所画图形写出与相等的所有角．
(3)如果，则______度．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)∠PDO、∠BDM
(3)30.6
【解析】（1）根据要求利用三角板作图即可；
（2）根据对顶角相等和互余的性质可求得；
（3）根据互余的性质求解即可．
(1)
解：如图所示：

(2)
解：∵，
∴
∵
∴
∴与相等的角为．
(3)
解：∵，
∴
∴．
故答案为：30.6．
【点评】本题考查了作直线的垂线以及互余的性质和度、分、秒的转化，解题的关键是正确作图和掌握互余的性质．
21．如图，直线AB和直线CD交于O点，，

(1)若，求的度数．
(2)作，证明：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【解析】（1）根据EO⊥AB，可得∠EOB=∠EOC+∠COB=90°，再根据2∠EOC=∠COB，即可求出的度数．
（2）根据EO⊥AB，FO⊥CD，可得∠EOC+∠COB=∠EOF+∠EOC=90°，即可得证∠COB=∠EOF．
(1)
解：∵EO⊥AB   
∴∠EOB=∠EOC+∠COB=90°
∵2∠EOC=∠COB       
∴3∠EOC=90°
∴∠EOC=30°
∴∠AOD=∠COB=2∠EOC=60°
(2)
证明：∵EO⊥AB，FO⊥CD
∴∠EOC+∠COB=∠EOF+∠EOC=90°
∴∠COB=∠EOF
【点评】此题考查了角度的计算以及证明，解题的关键是掌握垂直的定义以及性质、对顶角相等．
22．直角三角板的直角顶点在直线上，平分．

(1)在图1中，若，求；
(2)在图1中，若，________（用含的式子表示）；
(3)将图1中的三角板绕顶点旋转至图2的位置，探究：写出和的度数之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)．理由见解析
【解析】（1）由∠BCE=40°和平角的定义可得∠BCD=180°-40°=140°，利用CF平分∠BCD，可得∠BCF=70°，用∠ACB-∠BCF，结论可得；
（2）利用（1）的解答方法解答即可；
（3）先求出，再根据角平分线的定义表示出∠BCF，然后根据∠ACF=∠ACB-∠BCF求解即可．
(1)
解：∵，，
∴，，
又平分，
∴，
∴；
(2)
解：∵，，
∴，，
又平分，
∴，
∴；
(3)
，理由如下：
∵点在上，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
即：．
【点评】本题考查了角平分线的定义，直角的定义，平角的定义．利用平角的定义计算出它的邻补角是解题的关键．
23．将一个含有60°角的三角尺ABC的直角边BC放在直线MN上，其中∠ABC＝90°，∠BAC＝60°．点D是直线MN上任意一点，连接AD，在∠BAD外作∠EAD，使∠EAD＝∠BAD．
（1）如图，当点D落在线段BC上时，若∠BAD＝18°，求∠CAE的度数；
（2）当点E落在直线AC上时，直接写出∠BAD的度数；
（3）当∠CAE：∠BAD＝7：4时，直接写出写∠BAD的度数．

【答案】（1）；（2）；（3）的值为：或.
【解析】（1）先求解再利用角的和差关系可得答案；
（2）分两种情况讨论，当落在的下方时，如图，当落在的上方时，如图，再结合已知条件可得答案；
（3）分两种情况讨论，如图，当落在的内部时，如图，当落在的外部时，再利用角的和差倍分关系可得答案.
【详解】解：（1） ∠BAD＝18°，∠EAD＝∠BAD，




（2）当落在的下方时，如图，


当落在的上方时，如图，


而

（3）当落在的内部时，如图，

∠CAE：∠BAD＝7：4,

当落在的外部时，如图，
∠CAE：∠BAD＝7：4,

设则


解得：

综上：的值为：或.
【点评】本题考查的是角的和差倍分关系，周角的含义，邻补角的含义，三角形中的角度问题，一元一次方程的应用，根据题干信息画出符合题意的图形，再进行分类讨论是解本题的关键.
24．已知点O为直线AB上一点，将直角三角板MON按如图所示放置，且直角顶点在O处，在内部作射线OC，且OC恰好平分．

（1）若，求的度数；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）48°；（2）45°．
【解析】（1）先根据余角的定义求出∠MOC，再根据角平分线的定义求出∠BOM，然后根据∠AOM=180°-∠BOM计算即可；
（2）根据角的倍分关系以及角平分线的定义即可求解；
【详解】解：（1）∵∠MON=90°，∠CON=24°，
∴∠MOC=90°-∠CON=66°，
∵OC平分∠MOB，
∴∠BOM=2∠MOC=132°，
∴∠AOM=180°-∠BOM=48°；
（2）∵∠BON=2∠NOC，OC平分∠MOB，
∴∠MOC=∠BOC=3∠NOC，
∵∠MOC+∠NOC=∠MON=90°，
∴3∠NOC+∠NOC=90°，
∴4∠NOC=90°，
∴∠BON=2∠NOC=45°，
∴∠AOM=180°-∠MON-∠BON=180°-90°-45°=45°；
【点评】本题考查了角平分线的意义、互补、互余的意义，正确表示各个角，理清各个角之间的关系是得出正确结论的关键．
25．如图，直线AB与CD相交于点O，OC平分∠BOE，OF⊥CD，垂足为点O．
（1）写出∠AOF的一个余角和一个补角．
（2）若∠BOE＝60°，求∠AOD的度数．
（3）∠AOF与∠EOF相等吗？说明理由．

【答案】（1）∠AOF的余角是：∠COE或∠BOC或∠AOD；∠AOF的补角是∠BOF；（2）30°；（3）∠AOF=∠EOF，理由见解析
【解析】（1）由OC⊥CD，可得∠DOF=90°，则∠AOF+∠AOD=90°，由对顶角相等得∠BOC=∠AOD，则∠AOF+∠BOC=90°，由OC平分∠BOE，可得∠COE=∠BOC，∠AOF+∠COE=90°；由∠AOF+∠BOF=180°，可得∠AOF的补角是∠BOF；
（2）由OC平分∠BOE，∠BOE=60°，可得∠BOC=30°，再由∠AOD=∠BOC，即可得到∠AOD=30°；
（3）由（1）可得∠AOD=∠BOC=∠COE，再由OF⊥OC，得到∠DOF=∠COF=90°，则∠AOD+∠AOF=∠EOF+∠COE=90°，即可推出∠AOF=∠EOF．
【详解】解：（1）∵OC⊥CD，
∴∠DOF=90°，
∴∠AOF+∠AOD=90°，
又∵∠BOC=∠AOD，
∴∠AOF+∠BOC=90°，
∵OC平分∠BOE，
∴∠COE=∠BOC，
∴∠AOF+∠COE=90°；
∴∠AOF的余角是，∠COE，∠BOC，∠AOD；
∵∠AOF+∠BOF=180°，
∴∠AOF的补角是∠BOF；
（2）∵OC平分∠BOE，∠BOE=60°，
∴∠BOC=30°，
又∵∠AOD=∠BOC，
∴∠AOD=30°；
（3）∠AOF=∠EOF，理由如下：
由（1）可得∠AOD=∠BOC=∠COE，
∵OF⊥OC，
∴∠DOF=∠COF=90°，
∴∠AOD+∠AOF=∠EOF+∠COE=90°，
∴∠AOF=∠EOF．
【点评】本题主要考查了与余角、补角有关的计算，等角的余角相等，垂线的定义，解题的关键在于熟知余角与补角的定义：如果两个角的相加的度数为90度，那么这两个角互余，如果两个角相加的度数为180度，那么这两个角互补．
26．已知直线AB和CD交于点O，∠AOC＝α，∠BOE＝90°，OF平分∠AOD．

（1）当α＝30°时，则∠EOC＝_________°；∠FOD＝_________°．
（2）当α＝60°时，射线OE′从OE开始以12°/秒的速度绕点O逆时针转动，同时射线OF′从OF开始以8°/秒的速度绕点O顺时针转动，当射线OE′转动一周时射线OF′也停止转动，求经过多少秒射线OE′与射线OF′第一次重合？
（3）在（2）的条件下，射线OE′在转动一周的过程中，当∠E′OF′＝90°时，请直接写出射线OE′转动的时间为_________秒．
【答案】（1）60，75；（2）秒；（3）3或12或21或30
【解析】（1）根据题意利用互余和互补的定义可得：∠EOC与∠FOD的度数．
（2）由题意先根据，得出∠EOF=150°，则射线OE'、OF'第一次重合时，其OE'运动的度数+OF'运动的度数=150，列式解出即可；
（3）根据题意分两种情况在直线OE的左边和右边，进而根据其夹角列4个方程可得时间．
【详解】解：（1）∵∠BOE=90°，
∴∠AOE=90°，
∵∠AOC=α＝30°，
∴∠EOC=90°-30°=60°，
∠AOD=180°-30°=150°，
∵OF平分∠AOD，
∴∠FOD=∠AOD=×150°=75°；
故答案为：60，75；
（2）当，．
设当射线与射线重合时至少需要t秒，
可得，解得：；
答：当射线与射线重合时至少需要秒；
（3）设射线转动的时间为t秒，
由题意得：或或或，
解得：或12或21或30．
答：射线转动的时间为3或12或21或30秒．
【点评】本题考查对顶角相等，邻补角互补的定义，角平分线的定义，角的计算，第三问有难度，熟记相关性质是解题的关键，注意要分情况讨论．