2021-2022学年四川省内江市第六中学高一下学期入学考试数学试题含解析

2021-2022学年四川省内江市第六中学高一下学期入学考试数学试题

一、单选题

1．已知，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据补集的定义，直接计算即得.

【详解】集合，，

根据集合的补集，可知.

故选：B.

2．已知幂函数经过点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】把点代入幂函数解析式，即可确定幂函数，再去求解即可解决.

【详解】设幂函数，则有，可得

故，则

故选：C

3．函数（且）的图象恒过定点（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据过定点，即得.

【详解】因为在函数中，

当时，恒有 ,

函数的图象恒过定点.

故选：B.

4．神学家阿奎那说：“愉快的感觉来自恰当的比例”，当折扇的张角为时给人们带来好的视觉效果.现有一张角为，半径为4的扇形，则该扇形的面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据扇形面积公式即可求解.

【详解】由题意得，扇形的面积为.

故选：C.

5．已知函数，则函数的递减区间是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】利用整体带入法即可求出结果.

【详解】由的单调递减区间为,

所以，即，

函数的递减区间是.

故选：A.

6．下列函数中，既是奇函数又是减函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据奇函数的定义，结合函数的单调性进行判断即可.

【详解】A：因为，，不是奇函数，不符合题意；

B：设，因为，，所以该函数为奇函数，且在上是减函数，符合题意；

C：设，因为，所以该函数是奇函数，

当时，，显然此时二次函数单调递增；

当时，，显然此时二次函数单调递增，因此函数是实数集上的增函数，不符合题意；

D： 因为，函数，为偶函数，不符合题意.

故选：B.

7．已知函数，则函数的图象大致为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合的定义域，再代入特殊值判断即可.

【详解】由题意得，，故，因此的定义域为，因此AB错误，当时，，故C错误，因此选D.

故选：D.

8．设，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据对数函数与指数函数的性质判断．

【详解】，，，所以

故选：B．

9．已知第三象限角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据任意角三角函数的定义即可求解.

【详解】由题意得，，解得，

又为第三象限角，

所以，

故，

所以，

故选：D.

10．已知函数，则函数的零点个数是（       ）

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】D

【分析】令，根据分别求出函数的零点或零点所在区间，再作出函数的图象，根据数形结合即可求出函数的零点个数；

【详解】令．

①当时，，则函数在上单调递增，

由于，由零点存在定理可知，存在，使得；

②当时，，由，解得．

作出函数，直线的图象如下图所示：

由图象可知，直线与函数的图象有两个交点；

直线与函数的图象有两个交点；直线与函数的图象有且只有一个交点．综上所述，函数的零点个数为5．

故选：D．

11．已知实数，，满足（其中为自然对数的底数），则下列关系中不可能成立的是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据指数函数、对数函数图象，作出不同的，分析即可得答案.

【详解】由题意得，且.

分别作出的图象，如图，

易得的图象关于直线对称，

直线与图象的交点的横坐标分别为，

数形结合可得，，均可能成立，不可能成立，

故选：A

【点睛】解题的关键是熟练掌握指数函数、对数函数的图象与性质，作图求解，考查数形结合的能力，属中档题.

二、多选题

12．某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1％，而这种溶液最初的杂质含量为2％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为（参考数据：，）

A．6 B．9 C．8 D．7

【答案】BC

【分析】因为每过滤一次杂质含量减少,所以每过滤一次杂志剩余量为原来的,由此列式可解得.

【详解】设经过次过滤，产品达到市场要求，则 ，即，由 ，即 ，得 ，

故选BC．

【点睛】本题考查了指数不等式的解法,属于基础题.

三、填空题

13．函数的对称中心为__________．

【答案】

【分析】解方程，由此可解得函数的对称中心坐标.

【详解】令，解得，

所以函数的对称中心为.

故答案为：.

【点睛】本题考查正切型函数对称中心坐标的求解，考查计算能力，属于基础题.

14．已知关于的不等式的解集是空集，则实数的取值范围是_______．

【答案】

【详解】试题分析：由题意知恒成立，当时，不等式化为，显然恒成立；当时，则，即，综上实数的取值范围是，故答案填.

【解析】1、二次不等式；2、极端不等式恒成立.

【思路点晴】本题是一个关于二次不等式以及极端不等式恒成立的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路及切入点是：将不等式的解集是空集的问题，转化为不等式恒成立的问题，在此应特别注意二次项的系数是否为零的问题，因此需要对其进行讨论，再结合二次函数的图象以及判别式，即可求得实数的取值范围.

15．已知函数在上单调递减，则的取值范围为______.

【答案】

【分析】由的单调递减区间包含可计算 的取值范围.

【详解】 在 上单调递减

令 得

令得

故答案为：

16．方程正实数解的个数是___________.

【答案】1

【分析】先证，再把改写为，，可得，再由在R上递减，又时，即时，有，可得原方程的解有且只有一个.

【详解】先证，可令，

两边取b为底的对数，可得，，

则，可得，即

则即为，，

可得，由于，在R上递减，

可得在R上递减，又时，即时，有，

则原方程的解有且只有一个.

故答案为：1.

四、解答题

17．已知全集,集合

(1)求;

(2)若,且,求实数的取值范围.

【答案】(1);(2).

【详解】分析：(1)先解指数不等式得集合B，再根据补集以及交集定义求结果，(2)根据得，再根据数轴确定实数的取值范围.

详解：(1)由,得: .

 由则: ，

所以: ，

(2)由: ,

又，

当时：，

当时：，

综上可得：，即.

点睛：将两个集合之间的关系准确转化为参数所满足的条件时，应注意子集与真子集的区别，此类问题多与不等式(组)的解集相关．确定参数所满足的条件时，一定要把端点值代入进行验证，否则易产生增解或漏解．

18．已知，．

(1)求；

(2)求值的值．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据同角三角函数之间的关系求解即可；

（2）先用诱导公式化简代数式，整理后再计算即可.

【详解】(1)方法1：由，可知，       

由，得，

所以，则，

所以．       

方法2：由已知得，可知，

于是有，，

所以．

(2)

，       

．

19．已知函数，（，为自然对数的底数）．

(1)判断函数的单调性与奇偶性并说明理由；

(2)是否存在实数t，使不等式对一切都成立？若存在，求出t；若不存在，请说明理由．

【答案】(1)增函数，奇函数，理由见解析

(2)存在，

【分析】（1）根据指数函数的性质判断函数的单调性，再根据奇偶性的定义判断函数的奇偶性；

（2）根据函数的奇偶性与单调性可得对一切都成立，即对一切都成立，在根据二次函数的性质求出，最后解二次不等式即可；

【详解】(1)解：因为与都是R上的增函数，所以在上是增函数；

设且，所以

，

因为且，所以，即，，所以，即，所以在上单调递增；

又因为的定义域为，且，所以是奇函数．

(2)解：由（1）可知在R上是增函数和奇函数，若对一切都成立，则对一切都成立，得对一切都成立，即对一切都成立，

因为，即，

所以，即恒成立，解得．

20．已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为．

(1)求函数的解析式；

(2)求函数的对称中心及在上的减区间；

(3)若方程在内有两个不相同的解，求实数的取值范围．

【答案】(1)；

(2)对称中心；减区间：，；

(3)或.

【分析】（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式；

（2）由（1）函数解析式，利用整体法求函数的对称中心及单调区间；

（3）设，将方程转化为函数与公共点问题.

【详解】(1)解：角的终边经过点，,

,

,

由时，的最小值为，

得，即，,

，

(2)解：令，即，即，所以函数的对称中心为，

令，得，

又因为，

所以在上的减区间为，

(3)解：，

，

，

设，

问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根．

，，

作出曲线，与直线的图象．

时，；时，；时，．

当或时，直线与曲线有且只有一个公共点．

的取值范围是：或．

21．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元，若该项目不获利，国家将给予补偿．

(1)当时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损；

(2)该项目每月处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最低．

【答案】(1)不能，5000元；

(2)400吨.

【分析】（1）根据条件可得当时，设该项目获利为S，则，然后可得答案；

（2）然后分别求出每段上的最小值作比较即可.

【详解】(1)当时，设该项目获利为S，

则；

当时，，此时该项目不会获利；

当时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．

(2)由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：

则：①当时，，∴当时，取得最小值240；

②当时，，当且仅当，即时，取得最小值200；

∵，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．

22．对于函数，，，如果存在实数a，b使得，那么称为，的生成函数.

(1)设， ，，，生成函数.若不等式在上有解，求实数的取值范围；

(2)设函数，，是否能够生成一个函数.且同时满足：①是偶函数；②在区间上的最小值为，若能够求函数的解析式，否则说明理由.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意新定义得到的解析式，然后将问题转化为在上有解，利用换元法转化为二次函数求解最值即可；

（2）利用待定系数法设，根据，得到对任意恒成立，从而得到，再利用换元法以及对勾函数进行分析求解，即可得到答案．

【详解】(1)解：由题意可得，， ，，，

所以，

不等式在上有解，

等价于在上有解，

令，则，

由在上单调递减，

所以当时，取得最大值，故．

(2)解：设，则．

由，得，

整理得，即，即对任意恒成立，

所以．

所以

．

设，

令，则，

由对勾函数的性质可知在单调递减，上单调递增，

∴在单调递增，

∴，且当时取到“”．

∴，

又在区间的最小值为，

∴，且，此时，．

所以．