2021-2022学年四川省绵阳市涪城区绵阳南山中学高一上学期数学入学考试试题含解析

2021-2022学年四川省绵阳市涪城区绵阳南山中学高一上学期数学入学考试试题

一、单选题

1．如果，那么两个实数一定是（       ）

A．都等于0 B．一正一负

C．互为相反数 D．不确定

【答案】C

【分析】利用相反数的定义求解即可．

【详解】解：因为，所以a，b两个实数一定是相反数.

故选：C.

2．下列说法中，错误的有（       ）

①绝对值等于它本身的数有两个，是0和1；

②一个有理数的绝对值必为正数；

③4的相反数的绝对值是4；

④任何有理数的绝对值都不是负数.

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【分析】根据绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数解答即可．

【详解】解：绝对值等于它本身的数有0和正数，①错误；

0的绝对值是0，②错误；

4的相反数是−4，−4的绝对值是4，③正确；

任何有理数的绝对值都不是负数，④正确，

故选：B．

3．下列说法中正确的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则或

【答案】D

【分析】ABC三个选项很容易举出反例，D选项根据绝对值的定义可知正确.

【详解】A､如果，那么，但是，故本选项错误；

B､如果，那么，但是，故本选项错误；

C､如果，那么，但是，故本选项错误；

D､根据绝对值的定义可知该选项正确.

故选：D

4．当时钟指向上午分，时针与分针的夹角是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据钟面角的意义，利用钟面上时针、分针旋转过程所成角度的变化关系通过计算即可

【详解】时钟指向上午10：10分，时针与分针相距3+=份，

时钟指向上午10：10分，时针与分针的夹角是×=，

故选：A.

5．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位.在《算法统宗》中记载：“以绳测井，若将绳三折测之，绳多4尺，若将绳四折测之，绳多1尺，绳长井深各几何？”译文：“用绳子测水井深度，如果将绳子折成三等份，井外余绳4尺；如果将绳子折成四等份，井外余绳1尺.问绳长､井深各是多少尺？”设井深为尺，根据题意列方程，正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】由题可得绳长为3（x+4），或绳长为4（x+1），从而可得方程.

【详解】根据将绳三折测之，绳多四尺，则绳长为3（x+4），

根据绳四折测之，绳多一尺，则绳长为4（x+1），

故3（x+4）=4（x+1）.

故选：A.

6．一客轮沿长江从A港顺流到达B港需6小时，从B港逆流到A港需8小时，一天，客轮从A港出发开往港，2小时后，客轮上的一位旅客的帽子不慎落入江中，则帽子漂流到B港需要（       ）小时.

A．48 B．32 C．28 D．24

【答案】B

【分析】设A港到B港的路程为1，由路程÷时间=速度就可以求出顺水速度和逆水速度，进而求出水速，设帽子漂流到B港需要的时间是x小时，根据行程问题的数量关系建立方程求其出其解即可

【详解】解：设A港到B港的路程为1，则顺水速度为，逆水速度为，水流速度为，

设帽子漂流到B港需要的时间是x小时，

由题意得解得：x=32，

故选：B

7．如图钓鱼竿长，露在水面上的鱼线长，钓者想看看鱼钓上的情况，把鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用正弦函数定义求解即可.

【详解】因为，所以.

因为，所以.

，解得：.

故选：B

8．某旅游公司有两种客车，1辆中巴车与4辆小客车一次可以搭载46名乘客，2辆中巴车与3辆小客车一次可以搭载57名乘客，该公司用3辆中巴车与6辆小客车，一次可以搭载乘客（       ）

A．129名 B．120名 C．108名 D．96名

【答案】D

【分析】设每辆中巴车载客x人，每辆小客车载客y人，由此即可列出方程组，即可求出答案.

【详解】设每辆中巴车载客x人，每辆小客车载客y人，

由题意，得解得

则3辆中巴车与6辆小客车一次可以搭载乘客（名），

故选：D.

9．用圆心角为，半径为的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这个纸帽的高是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】先根据弧长公式算出扇形的弧长，即圆锥底面周长，再求出底面圆的半径，然后利用勾股定理求解即可.

【详解】解：圆锥底面周长为；圆锥的底面半径为，

∴这个圆锥形筒的高为

故选：C

10．二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标内的图象大致为（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据二次函数图象可得，从而可判断出一次函数和反比例函数的图象.

【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，∴a>0，

∵对称轴为直线x=>0，

∴b<0，

∵当x=1时，y=a+b+c<0，

∴y=bx+a的图象经过第二四象限，且与y轴的正半轴相交，反比例函数y=图象在第二､四象限，只有D选项图象符合.

故选：D.

11．从四个数中任取两个不同的数（记作）构成一个数组（其中，且将与视为同一个数组），若满足：对于任意的和都有，则的最大值为（       ）

A．10 B．6 C．5 D．4

【答案】C

【分析】由题意可写出则可知对应的数之和相等，即可选出答案.

【详解】由题意知：

∵

可得对应的数之和相等，

∴和不符合题意，可得S的最大值为5.

故选：C.

12．如图，若锐角内接于，点在外（与点在同侧），则下列三个结论：①；②；③中，正确的结论为（       ）

A．①② B．②③ C．①②③ D．①③

【答案】D

【分析】先连接BE，再利用圆周角定理和图中角的关系能得到，最后根据锐角三角函数的增减性即可得到答案

【详解】如图，连接BE，根据圆周角定理，可得，

∵，∴，∴，

根据锐角三角函数的增减性，

可得，，故①正确；

，故②错误；

，故③正确，

故选：D

二、填空题

13．16的平方根与的立方根的和是___________.

【答案】2或

【分析】直接求解平方根和立方根，再求其和

【详解】16的平方根为，的立方根为，

所以16的平方根与的立方根的和是

或，

故答案为：2或

14．点是第二象限内的一个点，且点到两坐标轴的距离之和为6，则点的坐标是___________.

【答案】

【分析】根据题意可得，从而可求出，进而可求得点的坐标

【详解】因为点是第二象限内的一个点，且点P到两坐标轴的距离之和为6，

所以，解得，

所以，，

所以，点P的坐标为.

故答案为：

15．八年级（1）班全体学生参加了学校举办的安全知识竞赛，如图是该班学生竞赛成绩的频数分布直方图（满分为100分，成绩均为整数），若将成绩不低于90分的评为优秀，则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是___________.

【答案】30%

【分析】首先求得总人数，确定优秀的人数，即可求得百分比．

【详解】解：总人数是5+10+20+15=50（人），优秀的人数是：15人，

则该班这次成绩达到优秀的人数占全班人数的百分比是×100%=30%.

故答案为：30%.

16．如图，函数和的图象分别是和.设点在上，轴，交于点轴，交于点，则的面积为___________.

【答案】

【分析】设点，可求得点和点的坐标，从而得到，的长，最后求得的面积

【详解】是反比例函数图象上的点，所以设点

轴，点的纵坐标为，

将点的纵坐标代入反比例函数的解析式得，，

同理可得：

故答案为：

17．如图，在平面直角坐标系中，的半径为1，点为上一动点，过点作直线，垂足为点，则点纵坐标的最大值为___________.

【答案】

【分析】当AC与⊙O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，直线AC交y轴于点D，连结OC，作CHx轴于H，PMx轴于M，DNPM于N，AC为切线，在直角三角形中利用边角关系可得答案.

【详解】当AC与⊙O相切于点C时，P点纵坐标的最大值，如图，直线AC交y轴于点D，连结OC，作CHx轴于H，PMx轴于M，DNPM于N，

∵AC为切线，∴OCAC，

在△AOC中，∵OA=2，OC=1，∴，∠AOC=，

在Rt中，，

在Rt中，，

在Rt中，，

而，

即点纵坐标的最大值为.

故答案为：.

三、双空题

18．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定每户每月用水不超过时，按其本价格收费，超过时，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4､5月份的用水量和水费如下表所示，则用水收费的两种价格为不超过时每立方米收___________元，超过时，则超过的部分每立方米收___________元.

【答案】     2     4

【分析】设不超过6时，收费为x元/，超过6时，收费为y元/，由表格所给数据即可列出方程组，解出即为答案.

【详解】设每户居民每月用水不超过6时，收费为x元/，超过6时，收费为y元/.

由题意，得，解得

故答案为2；4.

四、解答题

19．（1）计算：

（2）化简：.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）根据实数的混合运算法则求解即可，

（2）利用分式的运算法则求解.

【详解】（1）原式

（2）原式

20．端午节期间，扬州某商场为了吸引顾客，开展有奖促销活动，设立了一个可以自由转动的转盘，转盘被分成4个面积相等的扇形，四个扇形区域里分别标有“10元”､“20元”､“30元”､“40元”的字样（如图）.规定：同一日内，顾客在本商场每消费满100元就可以转转盘一次，商场根据转盘指针指向区域所标金额返还相应数额的购物券，某顾客当天消费240元，转了两次转盘.

(1)该顾客最少可得___________元购物券，最多可得___________元购物券.

(2)求该顾客所获购物券金额不低于50元的概率.

【答案】(1)20元；80元

(2)

【分析】（1）用树状图或表格即可列出所有情况，由此即可写出答案；

（2）由树状图或表格可知一共有16种等可能的结果，不低于50元的有10种情况，由此即可求出答案.

【详解】(1)画树状图如下：

如果是列表法，列表如下：

由此可见：该顾客最少可得20元购物券，最多可得80元购物券.

(2)树状图或表格可以看出，一共有16种等可能的结果，该顾客所获购物券金额不低于50元的有10种情况，

所以该顾客所获购物券金额不低于50元的概率为

21．某公司计划从甲､乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销件.已知产销两种产品的有关信息如表：

其中为常数，且

(1)若产销甲､乙两种产品的年利润分别为万元､万元，直接写出与的函数关系式；

(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；

(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由.

【答案】(1)，，

(2)万元，440万元

(3)生产乙产品利润较高，理由见解析

【分析】（1）根据表中的数据直接可得与的函数关系式，

（2）根据函数的单调性可求得产品的最大年利润，

（3）分，和三种情况结合分析求解即可.

【详解】(1)，，

(2)对于，因为，所以当时，取得最大值万元，

对于，所以当时，取得最大值440万元，

(3)①当时，解得，

②当时，解得，

③当时，解得，

∵，

∴当时，生产甲乙两种产品的利润相同.当时，生产甲产品利润比较高.当时，生产乙产品利润较高.

22．如图，在中，弦相交于点，连接，已知.

(1)求证：；

(2)如果的半径为，求的长.

【答案】(1)证明见解析

(2)7

【分析】（1）根据同一圆中等弦与等弧间的关系可得证；

（2）过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA，OC.根据垂径定理可得AF=CG，由直角三角形的判定和正方形的性质可得OF=EF. 设OF=EF=x，由勾股定理可建立方程求解即可.

【详解】(1)证明：∵AD=BC，∴=.∴=，∴AB=CD.

(2)解：如图，过O作OF⊥AD于点F，作OG⊥BC于点G，连接OA，OC.

则AF=FD，BG=CG.

∵AD=BC，∴AF=CG.

在Rt△AOF与Rt△COG中，，∴Rt△AOF≌Rt△COG（HL），∴OF=OG.

又AD⊥CB，∴四边形OFEG是正方形.∴OF=EF.

设OF=EF=x，则AF=FD=x+1，

在Rt△OAF中.由勾股定理得到x2+（x+1）2=52，解得x=3.

则AF=3+1=4，即AE=AF+EF=4+3=7.

23．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图像如图所示.

(1)请写出这个反比例函数的解析式；

(2)蓄电池的电压是多少？

(3)完成下表：

(4)如果以此蓄电池为电源的用电器的限制电流不能超过10，那么用电器可变电阻应控制在什么范围？

【答案】(1)

(2)36

(3)答案见解析

(4)用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内

【分析】（1）根据题意设，然后将点代入可求出的值，从而可得反比例函数的解析式；

（2）由结合解析式可得答案，

（3）根据解析式计算完成表格，

（4）由题意得≤10，解不等式可得结果.

【详解】(1)解：电流是电阻的反比例函数，设，

∵图像经过，∴，解得，∴；

(2)解：蓄电池的电压是.

(3)解：填表如下：

(4)解：，∴，

即用电器可变电阻应控制在3.6欧以上的范围内.

24．例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35时，透光面积最大值约为1.05.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6，利用图3，解答下列问题：

(1)若AB为1，求此时窗户的透光面积？

(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明.

【答案】(1)

(2)现在窗户透光面积的最大值变大，理由见解析

【分析】（1）求出可得；

（2）设，则，设窗户面积为S，可得 ，再由利用二次函数配方可得答案.

【详解】(1)由已知可得： ，则；

(2)设，则，∵，∴，

设窗户面积为S，由已知得：，

当m时，且在的范围内，=，

∴与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大.

25．设抛物线与x轴交于两不同的点（点A在点B的左边），与y轴的交点为点，且.

(1)求m的值和该抛物线的解析式；

(2)若点D为该抛物线上的一点，且横坐标为1，点E为过A点的直线与该抛物线的另一交点.在x轴上是否存在点P，使得以P､B､D为顶点的三角形与相似，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

(3)连结AC､BC，矩形FGHQ的一边FG在线段AB上，顶点H､Q分别在线段AC､BC上，若设F点坐标为，矩形FGHQ的面积为S，当S取最大值时，连接FH并延长至点M，使，若点M不在该抛物线上，求k的取值范围.

【答案】(1)；

(2)存在，或；

(3)且且

【分析】（1）根据抛物线的解析式可知C点坐标为，即，由于，根据射影定理，可求出OB的长，进而可求出B点的坐标，也就求出了m的值，然后将A、B的坐标代入抛物线中即可求出其解析式．

（2）可先根据抛物线的解析式和直线AE的解析式求出E点和D点的坐标，经过求解不难得出，因此本题要分两种情况进行讨论：①；②．可根据对应的相似三角形得出的成比例线段求出OP的长，进而可求出P点的坐标．

（3）由二次函数的性质即可求得H，F的坐标，根据相似三角形的性质，即可求得直线HF与抛物线的交点的横坐标，即可求得对应的k的值，从而确定当不与抛物线相交时k的范围．

【详解】(1)解：令，得，，

，，，，

，

，

将代入，得，解得，

∴抛物线的解析式为.

(2)解：代入，得，

联立方程组，

可得（不合题意舍去），，.

过E作EH⊥x轴于H，则，

，.

过D作DF⊥x轴于F，则，

，，，

，.

则点P只能在点B的左侧，有以下两种情况：

①若，则，∴，

∴，∴.

②若，则，∴，

∴，∴.

综合①､②，得点P的坐标为：或.

(3)解：∵HQ∥AB，∴，∴HQ：AB=CR：CO，即：设HG=x，则

解得：，∴矩形的面积

当时，面积取得最大值.则H，R，Q的纵坐标是.则

设直线AC的解析式是根据题意得：，解得：

则AC的解析式是：，在解析式中，令，解得：

则H的坐标是，F的坐标是.则HF=.

设直线FH的解析式是根据题意得：解得：，

则直线FH的解析式是.解方程组：，解得：.

当直线与抛物线相交时，k=或.

则k的范围是：k>0且且.