2021-2022学年四川省内江市第六中学高一下学期第一次月考数学（理）试题含解析

2021-2022学年四川省内江市第六中学高一下学期第一次月考数学（理）试题

一、单选题

1．设向量 =（3，k)， =（－1，3），已知，则k=（       ）

A．2 B．1 C．－2 D．－1

【答案】B

【分析】根据向量数量积坐标运算与垂直定义即可求解．

【详解】因为，则，解得

故选：B

2．的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式，化简原式，即可求解.

【详解】由三角函数的诱导公式和两角和的正弦公式，可得：

.

故选：A.

3．在△ABC中，点D在边BC上，且，E是AD的中点，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用向量的线性运算即得.

【详解】因为，

所以．

因为是的中点，

所以，

则．

故选：D．

4．我国古代数学家赵爽的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为θ，那么（       ）

A．5 B． C． D．

【答案】A

【分析】先求得直角三角形的直角边，由此求得，进而求得.

【详解】由题意可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为1，

设图中直角三角形较短的直角边长为，可得出直角三角形较长的直角边长为，

由勾股定理可得，解得，，

所以，因此，.

故选：A

5．如图所示，在平面直角坐标系中，角和角均以为始边，终边分别为射线和，射线，与单位圆的交点分别为，．若，则的值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由三角函数定义得，由诱导公式得，再由两角差的余弦公式可求值．

【详解】由题知，，，，，

则，

故选：C．

【点睛】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式和两角差的余弦公式，解题关键是掌握两角差的余弦公式．

6．已知，若是方程的两根，则（       ）

A．或 B． C． D．

【答案】C

【解析】根据韦达定理可得的和与积关系, 再根据判断的范围.再代入两角和的正切公式求解,判断的大小即可.

【详解】因为是方程的两根可得

.所以均为正数,又,故

所以.又.故.

故选：C

【点睛】本题主要考查了两角和的正切公式的运用,包括根据正切值范围求解角度范围的方法等.属于中等题型.

7．点是所在平面上一点，满足，则的形状是（       ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等边三角形

【答案】B

【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.

【详解】点是所在平面上一点，满足，

则，可得，即，

等式两边平方并化简得，，

因此，是直角三角形.

故选：B.

【点睛】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算，也考查了模长公式应用，是中等题．

8．已知是边长为的正三角形，为线段上一点（包含端点），则的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】以线段的中点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，设点，则，利用平面向量数量积的坐标运算，并结合二次函数的基本性质可求得的取值范围.

【详解】取线段的中点，连接，则，

以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

设，则，、，，，

故.

故选：A.

9．已知，，，则＝（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由已知，结合同角平方关系可求cos()、sin()，然后根据，由两角差的余弦展开可求值．

【详解】∵，

∴，．

∵，

∴，则cos()＝，

∵，

∴sin()＝．

＝cos()cos()+sin()sin()

＝．

故选：C．

10．已知向量，将向量绕坐标原点O逆时针旋转角得到向量（），则下列说法不正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】由题意得到四边形OACB为菱形，且，由两边之和大于第三边判断A选项，利用余弦定理求出B选项，利用模的平方求出模的范围，判断C选项，利用数量积为0判断D选项.

【详解】由题意得：，四边形OACB为菱形，且，由两边之和大于第三边，可得：，A正确；

因为，所以，故，所以，B正确；

，则，，则，故，C错误；

，故，D正确.

故选：C

11．在平面直角坐标系xOy中，P（x，y）（xy≠0）是角α终边上一点，P与原点O之间距离为r，比值叫做角α的正割，记作secα；比值叫做角α的余割，记作cscα；比值叫做角α的余切，记作cotα．四名同学计算同一个角β的不同三角函数值如下：甲：；乙：；丙：；丁：．

如果只有一名同学的结果是错误的，则错误的同学是（       ）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】D

【分析】当甲错误时，乙一定正确，从而推导出丙、丁均错误，与题意不符，故甲一定正确；再由丙丁必有一个错误，得到乙一定正确，由此利用三角函数的定义能求出结果．

【详解】解：当甲：错误时，乙：正确，

此时，r＝5k，y＝3k，则|x|＝4k，（k＞0），

或，

∴丙：不正确，丁：不正确，故错误的同学不是甲；

甲：，从而r＝5k，x＝﹣4k，|y|＝3k，（k＞0），

此时，乙：；丙：；丁：必有两个正确，一个错误，

∵丙和丁应该同号，∴乙正确，丙和丁中必有一个正确，一个错误，

∴y＝3k＞0，x＝﹣4k＜0，，

故丙正确，丁错误，

综上错误的同学是丁．

故选：D．

12．已知向量，满足，，若，且，则的最大值为（       ）

A．3 B．2 C． D．

【答案】D

【分析】令，，根据题意作出图形，结合图形将已知条件转化，得到，然后数形结合求的最大值.

【详解】如图:令，，则，故.

因为，所以，记的中点为，所以点在以为直径的圆上.

设，连接，因为，所以点在直线上.

因为，所以，即，所以.

结合图形可知，当时，即取得最大值，且.

故选：D

【点睛】思路点睛：向量中有关最值的求解思路：一是形化，利用向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题；二是数化，利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值、不等式的解集、方程有解等问题.

二、填空题

13．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则________．

【答案】.

【分析】根据向量与共线，设，得到，列出方程组，即可求解.

【详解】由题意，向量与向量

因为向量与共线，可设，即，

则，解得.

故答案为：.

14．已知，，则 ________.

【答案】

【分析】根据题中条件，同角三角函数基本关系，得到，再由两角差的正弦公式，即可得出结果.

【详解】∵，，

∴，，

即，，

两式相加可得：，

即，所以.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查根据三角恒等变换求三角函数值，熟记同角三角函数基本关系，以及两角差的正弦公式即可，属于常考题型.

15．如图，在等腰中，已知，，、分别是边、的点，且，，其中且，若线段、的中点分别为、，则的最小值是________．

【答案】

【分析】直接利用向量的数量积和向量的线性运算的应用和模的运算的应用整理成关于以为变量的二次函数的形式，进一步利用二次函数的性质的应用求出结果．

【详解】在等腰中，∵，，

∴；

∵、分别是边、的点，

∴，，

∴，

∴，

∵，∴，

∴，

其中，，即，

∴当时，取得最小值，

∴的最小值是．

故答案为：．

16．已知函数的图象的相邻两个对称轴之间的距离为，且恒有，若存在成立，则的取值范围为__________．

【答案】

【分析】根据两角和的正弦公式，辅助角公式，化简可得解析式，根据题意，求得周期，可得值，根据，结合正弦型函数的性质，可求得a值，根据x的范围，求得的范围，可得的最值，结合题意，分析即可得b的范围.

【详解】由题设，，，

由相邻两个对称轴之间的距离为，故，

又，即，

故，解得．

，

当时，，此时的最大值为，最小值为，

若存在，，使成立，

则只需，

，故的取值范围为

三、解答题

17．已知向量，，其中，．

(1)求；

(2)求在方向上的投影．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据题意，求得，结合数量积的坐标运算，即可求解；

（2）根据在方向上的投影的计算公式，即可求得在方向上的投影．

【详解】(1)解：由题意，向量，，其中，，

可得，所以.

(2)解：因为在方向上的投影为，

又因为，所以在方向上的投影为．

18．（1）已知非零向量满足，且，求与的夹角．

（2）四边形为平行四边形，，，若点M，N满足，，求的值．

【答案】（1）（2）9

【解析】（1）由，再结合向量的数量积运算即可得解；

（2）由向量的线性运算可得，再结合向量的数量积运算即可得解；

【详解】解：（1）因为，所以，

又，则，

则．

又，

所以．

（2）∵，∴，，

∴．

【点睛】本题考查了向量的数量积运算，重点考查了向量的夹角及向量的线性运算，属基础题.

19．已知向量.

(1)若，求的值；

(2)记求的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）直接利用向量平行得到，即可求出角x；

（2）整理出=，直接求值域.

【详解】(1)∵向量，

由可得：，

即.

∵

∴

(2)由=

∵，

∴

∴f（x）的取值范围为

20．化简下列各式：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）将67°写成，结合两角和的正弦、正切公式，即可求解；

（2）切化弦，结合辅助角公式，两角和的正弦公式运算即可求解；．

（3）将改成，改成的形式，结合两角和的正弦公式即可求解．

【详解】(1)解：原式=

．

(2)解：原式

．

(3)解：原式

．

21．如图所示，ABCD是一块边长为7米的正方形铁皮，其中ATN是一半径为6米的扇形，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用．工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在BC与CD上的长方形铁皮，其中P是弧TN上一点．设，长方形的面积为S平方米．

（1）求关于的函数解析式；

（2）求的最大值．

【答案】（1）；（2）平方米．

【分析】（1），将用表示，易得到关于的函数解析式．

（2）由（1）可知是关于的三角函数，通过换元转化为一元二次函数求解最值，注意换元后定义域也一同变换．

【详解】（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，

由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知，，

由，可得，，

，，

故S关于的函数解析式为

．

（2）令，可得

，即，

．

又由，可得，

故，

关于t的表达式为,

又由，

可知当时，S取最大值，最大值为平方米．

【点睛】此题考查三角函数最值问题，关键点在对式子灵活换元处理，换元后新函数的定义域一同改变，属于一般题目．

22．已知，，其中，，且函数在处取得最大值．

(1)求的最小值，并求出此时函数的解析式和最小正周期；

(2)在（1）的条件下，先将的图像上的所有点向右平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，得到函数的图像．若在区间上，方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围；

(3)在（1）的条件下，已知点是函数图像上的任意一点，点为函数图像上的一点，点，且满足，求的解集．

【答案】(1)的最小值为1，此时，

(2)

(3)

【分析】（1）根据向量的数量积的运算，化简函数，结合在处取得最大值，求得的值，得到函数的解析式和最小整数周期；

（2）根据三角函数的图象变换，求得，把方程有两个不相等的实数根转化为的图象与直线有两个交点，结合图象列出不等式，即可求解；

（3）设，，根据，求得，结合，即可求解.

【详解】(1)解：因为，

所以

，

因为在处取得最大值，所以，

即，当时的最小值为1，

此时，其中

(2)解：将的图像上的所有的点向右平移个单位，

可得函数，

再把所得图像上所有的点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），

得到的函数，然后将所得图像上所有的点向下平移个单位，

得到函数，

又由，则，

当时，即时，可得；

当时，即时，可得；

当时，即时，可得，

方程有两个不相等的实数根

等价于的图象与直线有两个交点，

如图所示，则满足，解得，即实数的取值范围是.

(3)解：设，因为点，且满足，

所以，所以，

因为点为函数图像上的一点

所以即

因为，所以

所以，所以

所以原不等式的解集为.