2021-2022学年湖南省邵阳市新邵县第二中学高一下学期入校分班考试数学试题含解析

2021-2022学年湖南省邵阳市新邵县第二中学高一下学期入校分班考试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】化简集合，再求交集.

【详解】因为，所以．

故选：A

2．命题“，”的否定是（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【分析】将全称命题否定为特称命题即可

【详解】命题“”的否定是，

故选：C

3．下列各组函数是同一函数的是（       ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】D

【分析】看定义域是否相同，对应法则是否一致，进行判断.

【详解】定义域为，与定义域为R，故定义域不同，A错误；

定义域为R，定义域为，故定义域不同，B错误；

定义域为，定义域为，定义域不同，C错误；

与定义域相同，对应法则一致，故为同一函数，D正确.

故选：D

4．将函数的图象向左平移个单位后与的图象重合，则（          ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】利用三角函数的图象变换可求得函数的解析式.

【详解】由已知可得.

故选：C.

5．函数的零点所在的大致区间是（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】计算区间端点处函数值，根据零点存在定理确定．

【详解】，

由，则在上单调递增.

所以函数的零点所在的大致区间是

故选：B

6．已知，，，则（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用对数函数的运算求出，再利用指数函数的单调性比较大小得到答案.

【详解】，，

因为，所以，

所以.

故选：D.

7．已知，均为锐角，，，则（       ）

A． B．或

C． D．

【答案】A

【分析】先利用同角的三角函数的基本关系式可求的值，再利用两角差的正弦可求的值.

【详解】因为，均为锐角，故，

因为，，

所以，，

所以

.

故选：A.

8．已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】将问题转化为函数和函数的图象有两个不同的交点求解.

【详解】解：因为函数有两个不同的零点，

所以函数和函数的图象有两个不同的交点，

作出函数和函数的图象，如图所示：

由图象知：，

解得，

故选：D．

二、多选题

9．已知集合，，若，则x的可能取值为（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】BC

【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.

【详解】由题意，集合，，且

根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得或．

故选：BC.

10．下列命题为真命题的有（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若则

【答案】BD

【分析】以不等式性质4判断选项A；以不等式性质7判断选项B；以求差法判断选项C、D.

【详解】选项A:当时，，判断错误；

选项B: 推导符合不等式性质，判断正确；

选项C: ，由，

可知,，则，即.判断错误；

选项D: 由，

可知,又有则，即，判断正确.

故选：BD

11．函数，，的部分图象如图所示，则下列结论正确的是　　

A．的最小正周期为2

B．把图象上所有点向右平移个单位长度后得到函数的图象

C．在区间，上单调递减

D．是图象的一个对称中心

【答案】CD

【分析】根据函数的部分图象求出、、和的值，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确．

【详解】解：由函数的部分图象知，

，，

解得，所以，选项错误；

由，得，

所以，，，

所以，函数．

图象上所有点向右平移个单位长度，

得的图象，

所以，选项错误；

，时，，，

所以函数单调递减，选项正确；

因为，

所以是图象的一个对称中心，选项正确．

故选：．

12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，，当时，；③.则下列选项成立的是（       ）

A． B．若，则

C．若，则 D．，，使得

【答案】CD

【分析】根据题中的条件确定函数的奇偶性和单调性，再逐项验证即可得出答案.

【详解】根据题中条件知，函数为R上的偶函数；

根据题中条件知，函数在上单调递增.

根据函数的单调性得，，选项A错误；

是R上的偶函数，且在上单调递增

时， ，解得，选项B错误；

或

解得或，即 时，，选项C正确；

根据偶函数的单调性可得，函数在上单调递减

在R上有最小值，故选项D正确.

故选：CD.

三、填空题

13．求值：___________．

【答案】0.5

【分析】应用诱导公式、差角正弦公式化简求值即可.

【详解】.

故答案为：.

14．不等式的解是___________.

【答案】

【分析】将分式不等式化为，则有即可求解集.

【详解】由题设，，

∴，可得，

原不等式的解集为.

故答案为：.

15．若，，，则的最小值为___________.

【答案】3

【分析】利用基本不等式常值代换即可求解.

【详解】因为，，，

所以，

当且仅当，即时，等号成立，

所以的最小值为3，

故答案为：3

四、双空题

16．设函数________．若函数有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是________．

【答案】     -0.5    

【分析】由可得，从而可求出的值，先求出每段函数的值域，然后由有最小值，且无最大值，可得，从而可求得实数的取值范围

【详解】因为

所以，，

解得，

当时，，

当时，，

因为函数有最小值，且无最大值，

所以，解得，

所以实数的取值范围是，

故答案为：，

五、解答题

17．求值：

(1)；

(2)．

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）利用指数幂的运算性质和根式和指数幂的互化公式计算即可．

（2）利用对数的运算性质计算即可求得结果.

（1）原式．

（2）原式．

18．已知集合，.

(1)当时，求，；

(2)若，求实数的取值范围.

【答案】(1)，

(2)

【分析】（1）求出结合，进而求出交集与并集；（2）根据集合交集的结果得到集合的包含关系，进而分类讨论，求出实数的取值范围.

（1）当时，可得集合，，所以，.

（2）由，可得，

①当时，可得，解得：；

②当时，则满足，解得：，

综上：实数的取值范围是.

19．（1）化简：；

（2）已知，求的值．

【答案】（1） ；（2） ．

【分析】（1）根据诱导公式和同角的基本关系化简，即可得到结果；

（2）根据同角的基本关系，原式变形为，再分子分母同时除以，可知原式为，再将带入，即可求出结果.

【详解】解：（1）原式;

（2）原式.

20．已知函数.

(1)求函数的最大值，并求取最大值时的取值集合；

(2)求函数的单调区间.

【答案】(1)函数的最大值为5 ，的取值集合为

(2)单调增区间， ；单调减区间，

【分析】（1）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得函数的最大值及取得最值时相应的 的取值集合；

（2）令，，求得的范围，从而可得函数的单调区间．

（1）当时，取得最大值为，此时,即，所以函数的最大值为5 ，的取值集合为.

（2）由，可得，由，可得，所以单调增区间， ；单调减区间，.

21．设.

(1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；

(2)解关于x的不等式.

【答案】(1)

(2)答案见解析

【分析】（1）不等式转化为对一切实数成立，列不等式即可求解；

（2）不等式转化为，对a进行分类讨论求解即可.

（1）由题意可得对一切实数成立，当时，不满足题意；当时，得.所以实数a的取值范围为.

（2）由题意可得，当时，不等式可化为，所以不等式的解集为，当时，，当时，，①当，解集，②当，解集为或，③当，解集为或.综上所述，当，不等式的解集为或，当，不等式的解集为，当，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.

22．已知函数的定义域为，对任意的，都有，且当时，．

(1)求证：是奇函数；

(2)判断在上的单调性，并加以证明；

(3)解关于的不等式，其中常数．

【答案】(1)证明见解析

(2)减函数，证明见解析

(3)答案见解析

【分析】（1）令，得，令，得，

可得答案；

（2）令，则，且，由（1）知，可得答案；

（3）不等式等价为，

即，利用单调性不等式等价为，讨论解不等式即可.

（1）∵对一切都有，令，得：，∴，令，得，∴，∴是奇函数.

（2）减函数，证明如下：∵对一切都有，当时，．令，则，且，由（1）知，，∴．∴在R上是减函数.

（3），，则不等式等价为，即，∵在R上是减函数，∴不等式等价为，即，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为.