2021-2022学年山西省临汾市部分学校高二下学期期中联考数学试题（解析版）

2021-2022学年山西省临汾市部分学校高二下学期期中联考数学试题

一、单选题

1．由村去村的道路有4条，由村去村的道路有3条，从村经村去村不同的走法有（       ）

A．7种 B．9种 C．11种 D．12种

【答案】D

【分析】根据分步乘法计数原理，第一步由村去村的道路有4种走法，由村去村的道路有3种走法，一共种走法.

【详解】由分步乘法计数原理知有种不同的走法.

故选：D.

2．展开式中的常数项为（       ）

A．80 B．160 C．320 D．640

【答案】B

【分析】利用二项式定理进行求解.

【详解】因为展开式的通项公式为，

所以令，解得，

即展开式中的常数项为.

故选：B.

3．现有拾圆、贰拾圆、伍拾圆的人民币各1张，一共可以组成的币值有（       ）

A．3种 B．6种 C．7种 D．8种

【答案】C

【分析】根据题意利用分类计数法和组合原理进行解题.

【详解】解：由题意得：

三种币值各取一张，共有种取法，币值分别为拾圆、贰拾圆、伍拾圆；

三种币值取两张，共有种取法，币值分别为叁拾圆、陆拾圆、柒拾圆；

三种币值全取，共有种取法，币值分别为捌拾圆；

一共可以组成的币值有种.

故选：C

4．某高校食堂备有5类不同的菜品，3类不同的饮料，若要对这些菜品和饮料设计一个排序，要求饮料不能相邻，则不同的排法种数为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】先将5类菜品进行全排列，再把3类饮料插入到形成的6个空中进行排列即可.

【详解】先将5类菜品进行全排列，有种排法，再从这5类菜品形成的6个空位中选3个进行排列，有种排法，故不同的排法种数为.

故选：D.

5．某高校外语专家组为评审某校外语系的本科教育水平是否达标，从包含甲、乙两位专家在内的7人中选出4人组成评审委员会，若要求甲、乙至少有1人被选进评审委员会，则组成该评审委员会的不同方式共有（       ）

A．30种 B．15种 C．20种 D．25种

【答案】A

【分析】由题意知，甲、乙至少有1人被选进评市委员会，包括以下三类情形：甲被选进且乙没有被选进、甲没有被选进且乙被选进和甲、乙都被选进，结合分类计算原理，即可求解.

【详解】由题意知，甲、乙至少有1人被选进评市委员会，则包括以下三类情形：

①甲被选进且乙没有被选进，相当于只需再从其余5人中选3人，则有种不同的组成方式；

②甲没有被选进且乙被选进，相当于只需再从其余5人中选3人，则有种不同的组成方式；

③甲、乙都被选进，相当于只需再从其余5人中选2人，则有种不同的组成方式，

根据分类计数原理，可得种不同的组成方式.

故选：A.

6．已知随机变量满足，，则（       ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【分析】由随机变量的期望、方差的性质进行求解即可.

【详解】因为，，

所以，，

即，.

故选：A.

7．已知，则（       ）

A．224 B． C． D．448

【答案】D

【分析】根据二项展开式的项的特点，应将其变形成项所对应的二项式形式，再借助通项求解系数.

【详解】令，得，

则

可化为：，

二项展开式通项为：

所以

故选：D.

8．为支持某地新冠肺炎疫情的防控工作，某医院派出甲、乙等五名医护人员，分别派往，，三个区，每区至少一人，若甲、乙前往区或区，且甲、乙恰好分在同一个区，则不同的安排方法有（       ）

A．12种 B．24种 C．30种 D．48种

【答案】B

【分析】分甲乙和另一人三人一组，剩下两人一人一组以及甲乙一组，另外三人一组两人一组一人按照分组分配问题求解即可.

【详解】若甲、乙和另一人共三人分为一组，则有种安排方法；若甲、乙两人分为一组，另外三人分为两组，一组一人，一组两人，

则有种安排方法，故共有种安排方法．

故选：B.

9．已知随机变量，若函数为偶函数，则（       ）

A．0 B．1 C．2 D．4

【答案】C

【分析】根据函数为偶函数，得到，进而求得的值，即可求解.

【详解】由题意，函数为偶函数，

所以，所以.

故选：C.

10．第24届冬奥会于2022年2月4日在中国北京市和张家口市联合举行．甲、乙等5名志愿者计划到高山滑雪、自由式滑雪、短道速滑和花样滑冰4个比赛区从事志愿者活动，则下列说法错误的有（       ）

A．若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则有60种不同的方案

B．若每个比赛区至少安排1人，则有240种不同的方案

C．安排这5人排成一排拍照，若甲、乙相邻，则有42种不同的站法

D．已知这5人的身高各不相同，若安排5人拍照，前排2人，后排3人，且后排3人中身高最高的站中间，则有40种不同的站法

【答案】C

【分析】对于A，首先对人分组：，，，，然后对除短道速滑赛区外的其他赛区排列即可；

对于B，首先对人分组：，，，，然后对个赛区进行全排列即可；

对于C，运用“捆绑法”将甲、乙看成一个整体，再做全排列即可；

对于D，第一步选个人排前排，第二步剩下的个人排后排，其中最高的在中间，只需对另外进行排列即可.

【详解】若短道速滑赛区必须安排2人，其余各安排1人，则先从5人中任选2人安排在短道速滑赛区，剩余3人在其余三个比赛区全排列即可，故不同的方案有种，A正确；

若每个比赛区至少安排1人，则先将5人按“2，1，1，1”形式分成四组，再分配到四个岗位上，故不同的方案有种，B正确；

若甲，乙相邻，可把2人看成一个整体，与下的3人全排列，有种排法，甲、乙两人相邻有种排法，所以共有种不同的站法，C错误；

前排有种站法，后排3人中最高的站中间有种站法，所以共有种不同的站法，D正确．

故选：C.

11．若，，则下列结论中正确的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

通过赋值判断A，C，结合二项式的展开式的通项公式判断B，条件等式两边求导，再赋值判断D.

【详解】令，可得．又，所以，A错误；

展开式的通项公式为

因为，

所以，B错误；

令，可得，C错误；

对两边同时求导，

得，

令，可得，D正确．

故选：D.

12．长时间玩手机可能会影响视力，据调查，某校大约有32%的学生近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机的时间超过1h，这些人的近视率约为40%．现从每天玩手机的时间不超过1h的学生中任意调查一名学生，则这名学生患近视的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据给定信息，结合全概率公式列式求解作答.

【详解】设“玩手机时间超过1h的学生”“玩手机时间不超过1h的学生”，“任意调查一人，此人患近视”，则，且，互斥，，，，，由，得，解得

故选：A.

二、填空题

13．甲、乙、丙、丁、戊5人到5个景点旅游，每人只去1个景点，设事件为“5个人去的景点各不相同”，事件为“甲独自去1个景点”，则_______．

【答案】

【分析】根据条件概率的计算公式可知，然后分别求解代入计算即可.

【详解】解：由题意得：根据条件概率的计算方法可知：

因为，

所以

故答案为：

14．已知随机变量有三个不同的取值，分别是0，1，，其中，又，，则随机变量方差的最小值为_______．

【答案】0.125

【分析】根据分布列的性质求得，表示出均值，根据方差的公式求得的表达式，结合二次函数的性质求得答案.

【详解】由，，得，

所以随机变量的数学期望，

则方差

当 时，取到最小值，

故答案为：

15．如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个1区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为_______．

【答案】

【分析】利用分类计数原理以及排列数进行计算求解.

【详解】解：由题意得：

若只有2，4区域种的花相同，则有种种法；

若只有3，5区域种的花相同，则有种种法；

若2、4区域种的花相同，3，5种的花也相同，则有种种法，由分类加法计数原理知共有种不同的种法.

故答案为：

三、双空题

16．为了研究不同性别的学生患鼻炎的比例，某调查中心调查了某学校1200名学生，其数据如下表所示．

单位：人

从这1200人中随机选择1人，已知选到的是女生，则她患鼻炎的概率为_______；已知选到的学生患鼻炎，则该学生是女生的概率为_______．

【答案】     0.005    

【分析】根据表格中的数据，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.

【详解】根据表格中的数据，可得女生共有400人，其中患鼻炎的有2人，

所以她患鼻炎的概率为，

根据表格中的数据，可得患有鼻炎的共有52人，其中女生患有鼻炎的有2人，

所以选到的学生患鼻炎，则该学生是女生的概率为.

故答案为：；.

四、解答题

17．某班有5名同学报名参加三个智力竞赛项目．

(1)每人恰好参加一项，每项人数不限，有多少种不同的报名方法？

(2)每项只报1人，且每人至多参加一项，有多少种不同的报名方法？

【答案】(1)

(2)60

【分析】（1）直接利用分步乘法计数原理求解；

（2）由项目选人，利用分步乘法计数原理求解.

【详解】(1)每人都可以从这三个竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有；

(2)每项限报1人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有5种选法，第二个项目有4种选法，第三个项目有3种选法，根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法共有种.

18．某外国语大学的一个社团中有8名同学，其中3人只会俄语，2人只会英语，3人既会俄语又会英语，现从这8人中选派3人到俄罗斯的大学交流访问．

(1)求选派的3人中恰有2人会俄语的概率；

(2)设选派的3人中，既会俄语又会英语的人数为，求的分布列与数学期望．

【答案】(1)

(2)分布列见解析；期望为

【分析】（1）设事件为“选派的3人中恰有2人会俄语”，结合组合数的公式和古典摡型的概率计算公式，即可求解；.

（2）根据题意，得到随机变量可能的取值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解.

【详解】(1)解：由题意，设事件为“选派的3人中恰有2人会俄语”，则.

(2)解：依题意，随机变量可能的取值为0，1，2，3，

可得，，，，

所以随机变量的分布列为：

所以期望为.

19．（1）若，求；

（2）证明，并求的值．

【答案】（1） ；（2）证明见解析，．

【分析】（1）先利用排列数公式求出，再利用组合数的性质和组合数公式进行求解；

（2）先利用组合数公式证明，再利用所证公式进行化简，进而利用二项式系数和公式求值.

【详解】（1）解：因为，

所以，

又，，则，解得，

所以；

（2）证明：因为，

所以

.

20．某市为了了解同学们现阶段的视力情况，现对高三年级学生的视力情况进行了调查，从中随机抽取了名学生的体检表，得到了如表所示的统计数据．

(1)求的值，并估计这些高三学生视力的平均值．（结果精确到，同一组中的数据用该组区间的中点值代替）

(2)年某空军航空大学招生，对考生视力的要求是不低于．若以该样本数据来估计全市高三年级学生的视力，现从全市视力不低于的学生中随机抽取名学生，设这名学生中有资格报考该空军航空大学的人数为，求的分布列与数学期望．

【答案】(1)，这些高三学生视力的平均值约为

(2)分布列见解析，期望为

【分析】（1）根据总人数为可得出关于的等式，可解出的值，在将每组中点值乘以对应组的频率，将所得结果全加可得出这些高三学生视力的平均值；

（2）分析可知，利用二项分布可得出随机变量的分布列，进一步可计算得出的值.

【详解】(1)解：由，得，

这名学生视力的平均值为，

所以估计这些高三学生视力的平均值约为.

(2)解：在视力不低于的学生中，视力不低于的学生所占的比例为，

所以从全市视力不低于的学生中随机抽取名学生，则，

，、、、、，

所以，，

，，

，

的分布列为

所以.

21．某校在“五四青年节”进行文艺汇演，高一、高二、高三分别选送了5，3，2个节目，求在下列条件下不同的安排种数（用具体数字作答）．

(1)若高二的节目互不相邻，高三的节目必须相邻；

(2)由于一些特殊原因，高一的，，，，这5个节目中，必须在其余4个节目前面演出，高二的，，这3个节目中，必须按，，的顺序（可不相邻）出场；

(3)演出结束后，学校安排高一年级的12个班去打扫，，，四个区域的卫生，12个班被平均分成四组，每个区域安排一组，且1，2班必须打扫同一个区域，3，4班也必须打扫同一个区域．

【答案】(1)

(2)

(3)

【分析】（1）利用相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法，结合分步计数原理即可求解；

（2）定序问题用除法即可求解；

（3）安排1，2班与从其他8个班中选出的1个班为一组，有种分法，再安排3，4班与从其他7个班中选出的1个班为一组，有种分法，剩下6个班平均分为两组，然后再分配到，，，四个区域取有种分法，最后根据分步计数原理即可求解.

【详解】(1)解：先排高三的节目，其必须相邻，有种不同的排法，将高三的节目看作一个整体，再与高一的5个节目一起看作6个不同的元素全排列，有种不同的排法，再将高二的3个节目插入6个元素构成的7个空中，有种排法，由分步乘法计数原理可得，共有种不同的排法；

(2)解：高一的5个节目全排列，有种不同的排法，其中必须在其余4个节目前面，有种排法，

高二的3个节目全排列有种不同的排法，三个年级的10个节目全排列有种不同的排法，故符合要求的共有种排法；

(3)解：安排1，2班与从其他8个班中选出的1个班为一组，有种分法，再安排3，4班与从其他7个班中选出的1个班为一组，有种分法，剩下6个班平均分为两组，有种分法，然后这四个组分别去打扫，，，四个区域的卫生，有种分法，所以共有种分法.

22．某市质监部门严把食品质量关，根据质量管理考核指标对本地的600家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家企业，统计其考核成绩（单位：分）并制成如图所示的频率分布直方图．

(1)该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取3家考核成绩不低于92分的企业代表发言，记抽到的企业中考核成绩在区间的企业数为，求的分布列与数学期望；

(2)若该市食品生产企业的考核成绩服从正态分布，其中近似为这50家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替），近似为样本方差，经计算，得，利用该正态分布，估计该市600家食品生产企业中质量管理考核成绩高于95.4分的有多少家？（结果保留整数）

参考数据与公式：，若，则，，．

【答案】(1)分布列见解析；期望为.

(2)家.

【分析】（1）根据频率分布直方图求得考核成绩不低于92分的企业有家，不低于96分的企业有2家，得到的所有可能取值为0，1，2，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解；

（2）求得这50家食品生产企业的考核成绩的平均数，得出随机变量，求得，结合，即可求解.

【详解】(1)解：这50家食品生产企业中考核成绩不低于92分的企业有家，

其中考核成绩不低于96分的企业有2家，所以的所有可能取值为0，1，2，

可得，，，

所以的分布列为

所以期望为.

(2)解：这50家食品生产企业的考核成绩的平均数为：

由题意得考核成绩服从正态分布，所以，

所以，可得，

所以估计该市600家食品生产企业中质量管理考核成绩高于分的有家.