2022-2023学年山西省大同市高二上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年山西省大同市高二上学期期中数学试题

一、单选题

1．已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（    ）

A．α⊥β B．α∥β

C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对

【答案】B

【分析】由法向量的坐标可判断法向量的关系，进而确定平面α和平面β的位置关系.

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴

故选：B.

2．椭圆和具有（ ）

A．相同的离心率 B．相同的焦点

C．相同的顶点 D．相同的长、短轴

【答案】A

【详解】试题分析：第一个椭圆的焦点，第二个椭圆的焦点为；

第一个椭圆的顶点，第二个椭圆的顶点；

第一个椭圆的长轴长为，短轴长为，第二个椭圆的长轴长为，短轴长为；

第一个椭圆的离心率为；将第二个椭圆方程化为标准式：

故离心率为，故两椭圆的离心率相同.

【解析】椭圆的离心率.

3．直线与圆相切，则

A．-2或12 B．2或-12 C．-2或-12 D．2或12

【答案】D

【详解】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D.

【解析】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用.

4．已知点，.若过点的直线l与线段相交，则直线的斜率k的取值范围是（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】D

【详解】由已知直线恒过定点，如图．

若与线段相交，则，∵，，∴，故选D.

5．如图所示，空间四边形中，，点M在上，且，N为中点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】结合空间向量的线性运算即可求出结果.

【详解】,

故选：B.

6．设抛物线上的三个点到该抛物线的焦点距离分别为．若的最大值为3，则的值为（    ）

A． B．2 C．3 D．

【答案】C

【解析】根据抛物线的定义直接分析可得到抛物线的焦点距离最大,再根据焦半径公式求解即可.

【详解】根据抛物线的定义可得到抛物线的焦点距离最大为.故.

故选：C

【点睛】本题主要考查了抛物线的定义性质,属于基础题型.

7．设和为双曲线的两个焦点，若点，是等腰直角三角形的三个顶点，则双曲线的渐近线方程是

A． B． C． D．

【答案】C

【详解】若，设，则，是等腰直角三角形的三个顶点，，，，即，双曲线的渐近线方程为，即为，故选C.

8．鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】建立空间直角坐标系，表示出对应点的坐标，然后利用空间几何点到直线的距离公式即可完成求解.

【详解】

因为，且是直角三角形，所以.以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，所以，，，，则，.故点到直线的距离.

故点到直线的距离是.

二、多选题

9．（多选）设，圆与圆的位置关系不可能是（    ）

A．内切 B．相交 C．外离 D．外切

【答案】CD

【分析】计算两圆的圆心距及半径之和，由两圆位置关系求解即可.

【详解】两圆的圆心距，两圆的半径之和为，

因为，

所以两圆不可能外切或外离，

故选：CD

10．若方程所表示的曲线为,则下面四个命题中错误的是

A．若为椭圆,则 B．若为双曲线,则或

C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则

【答案】AD

【分析】就的不同取值范围分类讨论可得曲线表示的可能的类型.

【详解】若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；

若，则方程可变形为，它表示焦点在轴上的双曲线；

若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；

若，则，故方程表示焦点在轴上的椭圆；

若，方程即为，它表示圆，

综上，选AD.

【点睛】一般地，方程为双曲线方程等价于，若，则焦点在轴上，若，则焦点在轴上；方程为椭圆方程等价于且，若，焦点在轴上，若，则焦点在轴上；若，则方程为圆的方程.

11．若实数x，y满足，则（    ）

A．的最大值为 B．的最小值为

C．的最大值为 D．的最小值为

【答案】CD

【分析】确定的圆心和半径，明确为圆上的点与定点连线的斜率，数形结合，利用圆心到直线的距离等于半径，结合的几何意义即可确定答案.

【详解】由题意可得方程为圆心是 ，半径为1的圆，

则为圆上的点与定点连线的斜率，

由于直线和没有交点，

故设过点的斜率存在的直线为 ，即 ，

当直线与圆相切时，圆心到该直线的距离，即 ，

可得，解得 ，

所以 ，即最大值为，最小值为

故选：

12．已知是椭圆上一点，椭圆的左､右焦点分别为，且，则（    ）

A．的周长为 B．

C．点到轴的距离为 D．

【答案】BCD

【分析】A．根据椭圆定义分析的周长并判断；

B．根据椭圆定义以及已知条件先求解出的值，结合三角形的面积公式求解出并判断；

C．根据三角形等面积法求解出点到轴的距离并判断；

D．根据向量数量积运算以及的值求解出结果并判断.

【详解】A．因为，

所以，故错误；

B．因为，，

所以，

所以，所以，故正确；

C．设点到轴的距离为，

所以，所以，故正确；

D．因为，故正确；

故选：BCD.

三、填空题

13．直线、的斜率、是关于k的方程的两根，若，则实数______．

【答案】

【分析】依题意，利用韦达定理得到方程，解得即可；

【详解】解：因为，所以，又、是关于k的方程的两根，

所以，解得；

故答案为：

14．已知，则__________．

【答案】

【详解】因为，

所以,

所以．

答案：

15．已知双曲线被直线截得的弦AB，弦的中点为，则直线AB的斜率为______.

【答案】1

【分析】设出，点坐标，根据点差法即可求得斜率的值.

【详解】设，，显然，

则有，，

两式作差可得，，即，

又弦的中点为，则，，代入可得，

即，所以直线AB的斜率为1.

此时直线方程为，即，

联立直线与双曲线方程可得，，，即直线与双曲线相交，所以直线AB的斜率为1满足条件.

故答案为：1.

16．如图，在梯形ABCD中，，，，，将沿对角线BD折起，设折起后点的位置为，并且平面平面BCD.则下面四个命题中正确的是______.（把正确命题的序号都填上）

①；②三棱锥的体积为；③；④平面平面.

【答案】③④

【分析】根据空间几何中的垂直关系即可进行证明与判断.

【详解】

若，由已知平面平面BCD， 且平面与平面交线为.

如图过作的垂线，垂足为,易知平面，又因为平面，

所以，，与平面，

可得：平面，又因为平面，所以与已知矛盾，

故不成立.

所以①错误.

三棱锥的体积，

故②错误.

在中，，所以，同理在中，

，又因为，在中满足，故，

所以③正确.

，，平面，平面，

所以平面，平面，所以，平面平面.

所以④正确.

故答案为：③④

【点睛】1. 空间几何中垂直关系为重点考察内容，也是直观想象核心素养的直接体现.

2.线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定和性质是解决此类问题的关键.

3.注意通过现有的垂直关系和可证明的垂直关系，利用直角三角形来减少运算量.

，

四、解答题

17．已知，，为平面内的一个动点，且满足.

(1)求点的轨迹方程；

(2)若直线为，求直线被曲线截得的弦的长度.

【答案】(1)

(2)

【分析】(1)首先设点，利用两点间距离表示，化简求轨迹方程；

（2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解.

【详解】（1）由题意可设点的坐标为，由及两点间的距离公式可得

，整理得.

（2）由（1）可知，曲线

圆心到直线的距离，

所以弦的长度.

18．如图.在正方体中，E为的中点．

(1)求证：平面ACE；

(2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见详解

(2)

【分析】（1）连连接BD与AC交于点O，根据中位线定理可知，然后根据线面平行的判定定理可得.

（2）建立空间直角坐标系，计算，平面的一个法向量，然后根据空间向量的夹角公式计算即可.

【详解】（1）如图所示：

，

连接BD与AC交于点O，

因为O，E为中点，

所以,又平面，平面，

所以平面；

（2）建立如图所示的空间直角坐标系

令，所以

设平面的一个法向量为

所以，令

所以，

所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值

19．已知点，椭圆的离心率为，是椭圆的右焦点，直线的斜率为2，为坐标原点.

（1）求的方程；

（2）设过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两、，且，求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）根据离心率和斜率公式可解得，从而可得椭圆的标准方程；

（2）联立直线与椭圆方程，根据弦长公式求出弦长，结合已知弦长列方程可解得结果.

【详解】（1）由离心率，则，设，

则直线的斜率，则，，

，

∴椭圆的方程为；

（2）由题意得直线，设，，

则，整理得：，

，即，

∴，，

∴

，

即，

解得：或（舍去），

∴，

【点睛】关键点点睛：根据弦长公式求出弦长是本题解题关键.

20．如图，在三棱锥中，侧面是等边三角形，，.

(1)证明：平面平面；

(2)若 ，则在棱上是否存在动点，使得平面与平面所成二面角的大小为 .

【答案】(1)证明见解析；

(2)存在.M为靠近P三等分点

【分析】（1）取的中点，连接 ，证明平面，根据面面垂直的判定定理即可证明结论；

（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，设，求得平面的法向量，利用向量的夹角公式求得 ，即可求得答案

根据线面

【详解】（1）证明：取 的中点，连接 ，

因为为等边三角形，所以，

在中，有，

又因为，所以 ，

所以，即，

又因为，平面，所以平面，

又因为平面 ，所以平面平面.

（2）不妨设，在中，，所以，

在底面内作于点，则 两两垂直，

以点为原点，所在的直线为轴， 所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，

所以，，，，

设，

则，

设平面的法向量为，

所以 ，

令，可得，，所以，

可取平面ABC的一个法向量为，

所以，

整理可得，即，解得或（舍去）.

所以，所以当时，二面角的大小为 .

21．已知抛物线C：（）上的一点到它的焦点的距离为.

（1）求p的值.

（2）过点（）作曲线C的切线，切点分别为P，Q.求证：直线过定点.

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【分析】（1）根据抛物线的定义列方程可得结果；

（2）设过N的直线：，代入得，．根据判别式等于0，得，代入可得，设，的斜率分别为，，则．，，根据点斜式可得直线的方程，结合，可得结论.

【详解】（1）曲线C上点M到焦点的距离等于它到准线的距离．

∴，∴，∴．

（2）依题意，过点N的抛物线切线的斜率存在，

故可设过N的直线：，代入得，．

因为直线与曲线C相切，则得，即．

所以，代入并化简得，解得，

设，的斜率分别为，，则．

所以，，

当时，直线的方程：．

即：．

．

即：．

．

．

．

∴直线过定点．

当时，即，

则所在的直线为.过点

综上可得，直线过定点.

【点睛】本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与抛物线相切的问题，考查了直线方程的点斜式，考查了直线过定点问题，考查了运算求解能力，属于中档题.

22．已知双曲线的左、右焦点分别为，其离心率为，且过点

（1）求双曲线的方程

（2）过的两条相互垂直的交双曲线于和，分别为的中点，连接，过坐标原点作的垂线，垂足为，是否存在定点，使得为定值，若存在，求此定点.若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在，.

【分析】（1）首先根据题意得到，再解方程组即可；

（2）首先当直线和其中一条没有斜率时，点为，直线MN的方程为，当直线和都有斜率时，设直线的方程为：，联立方程组，利用韦达定理得到，，同理得到，，从而得到直线的方程为，恒过，根据得到点的运动轨迹是以点为圆心，

以直径的圆，从而得到存在定点，使得为定值.

【详解】（1）由题可知：

，

双曲线的方程是.

（2）存在定点，使得为定值，理由如下：

由题意可知，若直线和其中一条没有斜率，则点为，

直线MN的方程为，

当直线和都有斜率时，

因为点，设直线的方程为：

设，，，

联立方程组得：

所以，，

故，

设直线的方程为：

设，，，

同理可得，，

故

所以，

所以直线的方程为，

化简得：，可知直线过定点

又因为，所以点的运动轨迹是以点为圆心，

以直径的圆，

所以存在定点，使得为定值.

【点睛】方法点睛：

（1）解答直线与双曲线题目时，常用把两个曲线方程联立，得到关于的一元二次方程，利用根系关系，结合已知条件建立有关参变量的等量关系；

（2）涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率不存在的特殊情况.