2021-2022学年安徽省六安中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版）

这是一份2021-2022学年安徽省六安中学高二上学期期中数学（理）试题（解析版），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年安徽省六安中学高二上学期期中数学（理）试题一、单选题1．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（       ）A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球【答案】B【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B正确；对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.故选：B.2．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（       ）A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．掷一个正方体的骰子，出现3点朝上C．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃【答案】C【分析】依次计算4个选项的概率即可判断.【详解】A选项：硬币正面朝上的概率为，A错误；B选项：3点朝上的概率为，B错误；C选项：取到的是黑球的概率为，C正确；D选项：花色是红桃的概率为，D错误.故选：C.A． B． C． D．【答案】A【分析】结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.【详解】依题意，至少答对一个问题的概率是.故选：A4．已知，，向量与的夹角，则（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由向量夹角的坐标表示直接计算可得.【详解】因为向量与的夹角，所以又，解得.故选：B5．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（       ）A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是【答案】C【分析】根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】，不存在实数，使，所以与不共线，A选项错误.向量方向相同的单位向量是，B选项错误.，所以与夹角的余弦值是，C选项正确.，所以不是平面的法向量，D选项错误.故选：C6．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用列举法求出抛掷三枚古钱出现的基本事件共有8种，其中出现两枚正面、一枚反面的共有3种，由此能计算出两枚正面、一枚反面的概率.【详解】抛掷三枚古钱出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8种，其中出现两枚正面、一枚反面的共有3种，故抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为：.故选：B.7．如图，四边形为正方形，平面，，，则直线与直线所成角的余弦值是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出直线与直线所成的角，进而求得所成角的余弦值.【详解】由于平面，所以，由于，所以平面.设是的中点，连接，由于，所以四边形是平行四边形，所以，由于，所以，所以四边形是平行四边形，所以，所以是直线与直线所成角，设，所以，所以.故选：D8．若是空间的一个基底，且，则叫在基底下的坐标.已知在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用空间向量的基本定理列方程，化简求得正确答案.【详解】依题意，设，即，所以，所以在另一组基底下的坐标为.故选：B9．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据空间向量基本定理求解，即用表示出即可得．【详解】由题意，又，所以，．故选：C．10．在棱长为2的正方体中，点为线段的中点，则点到直线的距离为（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题，利用空间内垂直关系，先求出、，接着用余弦定理求出，再用算出高即可.【详解】如图，点为线段的中点，连接，于，由正方体的性质，易得，平面，因为平面，平面，所以，.因为，，所以 ，，同理可得，对于，，所以，故选：B11．直线分别交轴和于点，为直线上一点，则的最大值是（       ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】先求得两点的坐标，求得关于对称点的坐标，根据三点共线求得的最大值.【详解】依题意可知，关于直线的对称点为，，即求的最大值，，当三点共线，即与原点重合时，取得最大值为，也即的最大值是.故选：A12．正三棱柱的所有棱长都为2.则到平面的距离是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得到平面的距离.【详解】设分别是的中点，连接，根据正三棱柱的几何性质可知两两相互垂直，建立如图所示空间直角坐标系，，，设平面的法向量为，则，故可设.由于平面平面，所以平面.所以到平面的距离即到平面的距离，即.故选：B二、填空题13．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_____.【答案】【分析】先求得的值，然后求得两平行直线间的距离.【详解】由于直线与直线平行，所以，直线，即，所以两平行直线间的距离为.故答案为：14．已知方程所表示的圆中，当圆面积最小时，直线的倾斜角= ________.【答案】【分析】化简为圆的标准方程，然后可得，然后可求倾斜角【详解】方程所表示的圆为，可得当时面积最小，所以直线为，倾斜角为故答案为：15．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为_________ .【答案】【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.【详解】依题意两直线和的交点为，所以在直线上，所以过两点所在直线方程为.故答案为：16．已知是空间单位向量，，若空间向量满足，，则的最大值是_______.【答案】【分析】由列方程，利用已知条件化简，结合基本不等式求得的最大值.【详解】依题意是空间单位向量，且，，，，，当且仅当时等号成立，所以，所以.故答案为：三、解答题17．已知的三个顶点，，，求：(1)边所在的直线方程；(2)的面积.【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由两点坐标求出直线斜率，写出点斜式方程，化为一般式；（2）求出边的长，再由点到直线距离公式求出边上的高，然后可得三角形面积．【详解】(1)，直线方程为，即．(2)，边上的高为，所以．18．2021年广东新高考将实行“”模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共选六科参加高考.其中偏理方向是二选一时选物理，偏文方向是二选一时选历史，对后四科选择没有限定.（1）小明随机选课，求他选择偏理方向及生物学科的概率；（2）小明、小吴同时随机选课，约定选择偏理方向及生物学科，求他们选课相同的概率.【答案】（1）；（2）【分析】（1）利用列举法,列举出偏理方向和偏文方向的所有情况,即可求得小明选择偏理方向且选择了生物学科的概率.（2）利用列举法,列举出两个人选择偏理方向且带有生物学科的所有可能,即可求得两人选课相同的概率.【详解】（1）由题意知,选六科参加高考有偏理方向：（物,政,地）、（物,政,化）、（物,政,生）、（物,地,化）、（物,地,生）、（物,化,生）六种选择；偏文方向有：（史,政,地）、（史,政,化）、（史,政,生）、（史,地,化）、（史,地,生）、（史,化,生）六种选择.由以上可知共有12种选课模式.小明选择偏理方向又选择生物的概率为.（2）小明选择偏理且有生物学科的可能有：（物,政,生）、（物,地,生）、（物,化,生）三种选择,同样小吴也是三种选择；两人选课模式有：[（物,政,生）,（物,政,生）]、[（物,政,生）,（物,地,生]、[（物,政,生）,（物,化,生）]、[（物,地,生）,（物,政,生）]、[（物,地,生）,（物,地,生）[（物,地,生）,（物,化,生）]、[（物,化,生）,（物,政,生）]、[（物,化, 生）,（物,地,生）[（物,化,生）,（物,化,生）]由以上可知共有9种选课法,两人选课相同有三种,所以两人选课相同的概率.【点睛】本题考查了古典概型概率的求法,利用列举法写出所有可能即可求解,属于基础题.19．如图，和所在平面垂直，且,，.求：(1)点到平面的距离；(2)直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等体积法求得到平面的距离.（2）求得到平面的距离，进而求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)，即，由于和所在平面垂直，且交线为，所以平面.所以，所以，，，，设到平面的距离为，,.(2)设到平面的距离为，，，设直线与平面所成角为，则.20．在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.(1)求圆的方程；(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）求得曲线与两坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求得圆的方程.（2）利用代入法求得的轨迹方程.【详解】(1)由，令，解得或；令，得，所以圆过.设圆的方程为，，解得，所以圆的方程为.(2)设，则，将的坐标代入圆的方程得，即.21．如图，在四棱锥中，底面满足平面，且.(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）结合线面垂直的判定定理来证得平面.（2）判断出平面与平面所成的角，进而可求得平面与平面夹角的余弦值.【详解】(1)由于平面，所以，，，由于，所以平面.(2)由（1）得平面，所以，由于，所以，则平面，则，由于平面平面，所以平面，同理可以证得平面.设平面与平面的交线为，根据线面平行的性质定理可知：，所以，所以是平面与平面的夹角，在中，，所以三角形是等腰直角三角形，所以，所以.22．本着健康、低碳的生活理念,租自行车骑游的人越来越多.某自行车租车点的收费标准是：每车每次租车时间不超过两小时免费,超过两小时的部分每小时收费标准为2元(不足1小时的部分按1小时计算).有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游(各租一车一次),设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为;两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，两人租车时间都不会超过四小时.(1)求出甲、乙两人所付租车费用相同的概率；(2)求甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率.【答案】(1)(2)【分析】（1）结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求的概率.（2）结合相互独立事件概率计算公式，计算出所求的概率.【详解】(1)甲、乙两人所付租车费用相同的概率为(2)甲、乙两人所付的租车费用之和为4元的概率为：.