安徽省六安市示范高中2021-2022学年高三上学期教学质量检测数学（理）扫描版含解析

 皖西联考理科数学试参考答案

一、选择题

1.   B

【详解】因为，所以，，故选：B

 2．A

【详解】, 又

，故选:A.

3.C

【详解】由得，①又，得，②

由①②得，，.故选：C.

4．D

 【详解】由空间中线线，线面，面面间的位置关系判断知C正确。

5．B

 【详解】由题意得干支纪年法，60年为一循环，因为，所以经历了1个60年循环，又经历了26年，则“十天干”中的“辛”过了26年后为“乙”，“十二地支”中的“丑”过了26年后为“卯”，故选：B

6．D

【详解】解：满足约束条件的平面区域，如图所示：

可知，，，∵，，∴，

令，即， 作出直线，由图可知，当平移直线经过点时，得目标函数有最小值，

当平移直线经过点时，目标函数有最大值2．

∴的取值范围是.故选：D.

7.A

【详解】易知，，即在上是奇函数且单增函数，所以原不等式转化为，即即，故选：A

8．D

 【详解】因为双曲线的方程化为，所以，，则，解得，因为，所以，

故选：D

9．C

【详解】三视图可得原几何体为如图所示的三棱锥A－BCD，

长方体的高为2，底面正方形边长为3，

∴该几何体的最长棱为AD＝．

故选：C

10.B

 【详解】

方法1：由知，圆心到直线的距离为，即，即，则“”是“”的必要不充分条件。

方法2:设，联立，化为，

，解得，，

因为，所以，，

，，解得，符合，则“”是“”的必要不充分条件。故选：B.

11.A

【详解】，因为，

所以，

又因为函数在内恰有个极值点和4个零点，

由图像得：解得：，所以实数的取值范围是.

故选：A.

12.B

由题意得：，对于①易判断，故①正确；

对于②：作差易得大于0或结合①由对勾函数单调性知②不正确；对于③： ③不正确； 或者由 ，③不正确；

对于④构造函数，已知在上单增，又   ，故④正确 所以①④正确，答案选B

二、填空题

13.    -1    .  14.    5    .  15.   .     16.  .

13．

 【详解】由题意得，则在方向上的投影为.故答案为：.

14.  5

【详解】圆的圆心为，由抛物线过圆心，可得，得，所以抛物线方程为：，准线方程为：，到抛物线焦点的距离为： ,     故答案为：5

 15．

 【详解】，由正弦定理得：，即,所以，即,因为，所以，故，因为，所以,∵的外接圆面积为，∴的外接圆半径为1

∴由正弦定理得：，解得：

由余弦定理得：，则

由基本不等式得：，当且仅当时等号成立

所以，解得：，周长的最大值是

故答案为：

16．

【详解】由题意知：到底面的高，

又四棱锥的外接球球心到底面的距离为，

若外接球半径为，∵底面的中心为，

∴面且，

∴与不可能在面的两侧，可得如下示意图，

∴在垂直于且与球心距离为2的平面与的外接球的交线上，如上图以O'P为半径的圆上，而，∴，故的轨迹长度为.

故答案为：.

三、解答题

 17.（满分12）【详解】：

（1）由得，两式相减得： 2分

 方法1：同除得，即，                    4分

又由 令，

所以数列是以2为首项，1为等差的等差数列。                        6分

 方法2：4分

又由 ，令，

所以数列是以2为首项，1为公差的等差数列。                  6分

（2）由（1）知

所以                            7分

                           8分

               10分

                                                                                                            12分

18.（满分12）【详解】（1）∵曲线在点处的切线垂直于直线，

又直线的斜率为1，函数的导数为，            2分 

∴，               ∴.                           4分 

 （2）∵，

 ①当时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，

则函数在区间上的最小值为.                          6分 

②当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，在区间上，此时函数在区间上单调递增，则函数在区间上的最小值为.                                         8分 

③当，即时，在区间上，此时函数在区间上单调递减，则函数在区间上的最小值.                      10分 

综上所述，当时，函数在区间上的最小值为，当时，函数在区间上的最小值为.                                12分 

19.（满分12）【详解】 （1） 如图所示：

连接与交于点O，因为为菱形，故，

又平面，故，由，故平面，    2分

取的中点M，连接，注意到为的中位线，故，且，

因此，且，故为平行四边形，即，     4分

因此平面，而平面，故平面平面．       5分

若建立空间直角坐标系（略）做法酌情给分

（2）以为坐标原点，OD,OC,OM分别为x，y，z轴正半轴，建立空间直角坐标系，

   设，则则， 6分

  由（1）可知平面，因此平面的一个法向量为，而，由与平面所成角为，得，

即，得；                                8分

 则，设平面的一个法向量为，

则得令，故．

设平面的一个法向量，则得

令，则                             10分

所以，注意到二面角为钝二面角，

故二面角的余弦值为．                  12分

若用传统法（略）酌情给分                                

20.（满分12）

【详解】（1）   由题意得    ①                                     ②            2分

由①②得③，由②③得，                    3分所以椭圆方程为                                           4分

(2)假设能构成等腰直角,其中B(0, 1),由题意可知，直角边不可能

垂直或平行于轴，故可设边所在直线的方程为(不妨设)  5分

联立直线方程和椭圆方程得：，得                    7分

，用代替上式中的,得,                                  9分

得，

即,， 11分

故存在三个满足题设条件的内接等腰直角三角形                        12分

21.（满分12）【详解】

（1）当 ， 1分

令 ，

易知在上单调递增，，

所以 在有唯一零点，即在有唯一零点， 3分

所以当时，，时

所以在上存在唯一的极值点。                              4分

（2）由条件整理得：对 恒成立，                5分

 令 ，                          6分

令                     7分

在上有唯一零点，且，所以当时，，时， ，          9分

 得 ，令，易知在单增，故，得，                   11分

                                                                            12分

22.（满分10）【详解】

（1）曲线的直角坐标方程:                                2分，

曲线的直角坐标方程:;                             4分，

（2）曲线的极坐标方程为:                               6分

由得，                                     8分  

                                            10分

23.（满分12）【详解】

（1）当时，不等式转化为，                       1分

当时，得： ，故无解；                                      2分

当时解得 ， ；                           3分

当时得恒成立，                                     4分

综上：原不等式解集为                                           5分

（2） 由题意得：对任意恒成立，即对任意恒成立，                                                          7分

又，于是，                      9分

故的取值范围是                                              10分