2021-2022学年安徽省六安中学高二上学期期中数学（文）试题（解析版）

2021-2022学年安徽省六安中学高二上学期期中数学（文）试题

一、单选题

1．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（       ）

A．至少有一个白球与都是红球 B．恰好有一个白球与都是红球

C．至少有一个白球与都是白球 D．至少有一个白球与至少一个红球

【答案】B

【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.

【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；

对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，

所以两个事件互斥而不对立，故B正确；

对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；

对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.

故选：B.

2．某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率折线图，则符合这一结果的试验可能是（       ）

A．抛一枚硬币，出现正面朝上

B．掷一个正方体的骰子，出现3点朝上

C．从一个装有2个红球1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球

D．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃

【答案】C

【分析】依次计算4个选项的概率即可判断.

【详解】A选项：硬币正面朝上的概率为，A错误；

B选项：3点朝上的概率为，B错误；

C选项：取到的是黑球的概率为，C正确；

D选项：花色是红桃的概率为，D错误.

故选：C.

3．已知方程表示的圆中，当圆面积最小时，此时 （       ）

A．-1 B．0 C．1 D．2

【答案】B

【分析】根据圆的半径最小时圆的面积最小，然后考察圆的半径即可.

【详解】由，得，易知当，圆的半径最小，即圆的面积最小.

故选：B

4．已知，，向量与的夹角，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由向量夹角的坐标表示直接计算可得.

【详解】因为向量与的夹角，所以

又，解得.

故选：B

5．已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（       ）

A．与是共线向量 B．与向量方向相同的单位向量是

C．与夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是

【答案】C

【分析】根据共线向量、单位向量、向量夹角、法向量等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.

【详解】，不存在实数，使，所以与不共线，A选项错误.

向量方向相同的单位向量是，B选项错误.

，所以与夹角的余弦值是，C选项正确.

，所以不是平面的法向量，D选项错误.

故选：C

6．《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用列举法求出抛掷三枚古钱出现的基本事件共有8种，其中出现两枚正面、一枚反面的共有3种，由此能计算出两枚正面、一枚反面的概率.

【详解】抛掷三枚古钱出现的基本事件共有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反8种，其中出现两枚正面、一枚反面的共有3种，故抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为：.

故选：B.

7．如图，四边形为正方形，平面，，，则与所成角的余弦值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】作出直线与直线所成角，进而计算出所成角的余弦值.

【详解】由于平面，所以，

由于，所以平面.

设是的中点，连接，

由于，所以四边形是平行四边形，

所以，

由于，所以，

所以四边形是平行四边形，

所以，

所以是直线与所成角，

设，

所以，

所以.

故选：D

8．若是空间的一个基底，且，则叫在基底下的坐标.已知在基底下的坐标为，则在另一组基底下的坐标为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用空间向量的基本定理列方程，化简求得正确答案.

【详解】依题意，

设，

即，

所以，

所以在另一组基底下的坐标为.

故选：B

9．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别为的中点，点在线段上，，若，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据空间向量基本定理求解，即用表示出即可得．

【详解】由题意，

又，

所以，．

故选：C．

10．已知，点为轴上一动点，则的最大值是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求出点关于轴的对称点的坐标，，当三点共线时，取得最大值，由此可得．

【详解】由已知点关于轴的对称点为，

，直线方程为，令得，

所以直线与轴交点为，

，当且仅当是与轴交点时等号成立．

故选：A．

11．已知两直线和的交点为，则过两点的直线方程为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据两直线和的交点列方程，对比后求得直线的方程.

【详解】依题意两直线和的交点为，

所以在直线上，

所以过两点所在直线方程为，

故选：B

12．在棱长为2的正方体中，点为线段的中点，则点到直线的距离为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】由题，利用空间内垂直关系，先求出、，接着用余弦定理求出，再用算出高即可.

【详解】

如图，点为线段的中点，连接，于，由正方体的性质，易得，平面，因为平面，平面，所以，.

因为，，所以 ，

，同理可得，

对于，，

所以，

故选：B

二、填空题

13．已知三点共线，则=____ .

【答案】

【分析】列方程来求得.

【详解】依题意：三点共线，

所以，即.

故答案为：

14．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_____.

【答案】

【分析】先求得，然后求得两平行直线间的距离.

【详解】由于直线与直线平行，

所以，

直线即，

所以两平行直线间的距离为.

故答案为：

15．已知直线，若 ,，则不经过第一象限的概率为________．

【答案】

【分析】由题列举包含的基本事件，再根据不经过第一象限得，进而利用古典概型公式求出不经过第一象限的概率．

【详解】解：直线，若，，

包含的基本事件有，共6种，

不经过第一象限，即不经过第一象限，

，，即，故有两种基本事件，

满足不经过第一象限的有：，共2个，

不经过第一象限的概率为．

故答案为：．

16．正三棱柱的所有棱长都为2，则到平面的距离是______.

【答案】

【分析】将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，由等体积法求解

【详解】由题意得，到平面的距离，即点到平面的距离，

在三棱锥中，

由等体积法得：，

为到平面的距离，为到平面的距离，

故答案为：

三、解答题

17．已知的三个顶点，，，求：

(1)边所在的直线方程；

(2)的面积.

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）由两点坐标求出直线斜率，写出点斜式方程，化为一般式；

（2）求出边的长，再由点到直线距离公式求出边上的高，然后可得三角形面积．

【详解】(1)，直线方程为，即．

(2)，

边上的高为，

所以．

18．甲有大小相同的两张卡片，标有数字2、4；乙有大小相同的卡片四张，分别标有1、2、3、4．

(1)求乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率；

(2)甲、乙分别取出一张卡，比较数字，数字小者获胜，求乙获胜的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.

（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】(1)乙随机抽取的两张卡片，基本事件为，

其中和为偶数的事件为：，

所以乙随机抽取的两张卡片的数字之和为偶数的概率为

(2)甲、乙分别取出一张卡，基本事件为，

其中乙的数字小的事件为：，

所以乙获胜的概率为.

 (1)求恰好答对一个问题的概率；

(2)求至少答对一个问题的概率．

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.

（2）根据相互独立事件概率计算公式，计算出所求概率.

【详解】(1)恰好答对一个问题的概率为

(2)至少答对一个问题的概率为.

20．如图，和所在平面垂直，且,，.求：

(1)点到平面的距离；

(2)直线与平面所成角的正弦值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用等体积法求得到平面的距离.

（2）求得到平面的距离，进而求得直线与平面所成角的正弦值.

【详解】(1)，即，

由于和所在平面垂直，且交线为，所以平面.

所以，

所以，

，

，

，

设到平面的距离为，

,

.

(2)设到平面的距离为，

，

，

设直线与平面所成角为，则.

21．在平面直角坐标系中，曲线与两坐标轴的交点都在圆上.

(1)求圆的方程；

(2)已知为坐标原点，点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求得曲线与两坐标轴的交点坐标，利用待定系数法求得圆的方程.

（2）利用代入法求得的轨迹方程.

【详解】(1)由，

令，解得或；令，得，

所以圆过.

设圆的方程为，

，解得，

所以圆的方程为.

(2)设，则，

将的坐标代入圆的方程得，

即.

22．如图，在四棱锥中，底面满足平面，且.

(1)证明：平面；

(2)求平面与平面夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）结合线面垂直的判定定理来证得平面.

（2）判断出平面与平面所成的角，进而可求得平面与平面夹角的余弦值.

【详解】(1)由于平面，所以，，，

由于，

所以平面.

(2)由（1）得平面，所以，

由于，所以，则平面，则，

由于平面平面，所以平面，

同理可以证得平面.

设平面与平面的交线为，

根据线面平行的性质定理可知：，

所以，所以是平面与平面的夹角，

在中，，所以三角形是等腰直角三角形，所以，

所以.