甘肃省兰州市第四片区2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题

这是一份甘肃省兰州市第四片区2020-2021学年高二上学期期末考试 数学（理）试题，共6页。

（试题满分 150分 考试时间 120分钟）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上对应区域，答在试卷上不得分.
卷I（选择题）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题5分 ，共计60分. ）
1. 命题“若，则”的逆否命题是
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
2. 命题“，”的否定是（ ）
A.，B.
C.，D.
3. 双曲线的实轴长是（ ）
A.B.C.D.
若点在平面内，且满足 （点为空间任意一点），则抛物线的准线方程是（ ）
A.B.C.D.
5. 命题“设、、，若，则”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ）
A.个B.个C.个D.个
6. 已知命题：函数的最小值为；命题：在中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ）
A. B. C.D.
7. 已知，为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为，与双曲线相交于点，且＝，则该双曲线的离心率为 （ ）
A. B. C. D.
8. 若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为，则抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
9. 设向量，，则“”是“”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
10. 命题对任意，的否定是（ ）
A.对任意，B.存在，
C.对任意，D.存在，
11. “若且，则”的否命题是（ ）
A.若且，则
B.若或，则
C.若且，则
D.若或，则

12. 下列命题中错误的个数是（ ）
①命题“若，则”的否命题是“若，则”
②命题，使，则￢，使
③若且为假命题，则、均为假命题
④“”是函数为偶函数的充要条件．
A.B.C.D.
卷II（非选择题）
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题5分 ，共计20分. ）

13. 设，，则“”是“且” 的________条件．
14. 设变量、满足约束条件则的最大值为________．
15. 满足约束条件 的点所在平面区域的面积为________．
16. 设命题：函数的定义域为，若是真命题，则实数的取值范围________．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，17题 10 分 ，其它题12分，共计70分 . ）
17. 若，，求证：．
18. 已知椭圆：的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为.
求椭圆的方程；
设直线：与椭圆交于，两点，若以为直径的圆经过椭圆的右顶点，求的值.
已知，：，若是的充分条件，则实数的取值范围是．
20. ，.
求不等式的解集；
若对一切，均有成立，求实数的取值范围．
21. 某工厂生产的某种产品，当年产量在吨至吨之间时，年生产总成本（万元）与年产量（吨）之间的关系可近似地表示成，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．
22. 已知椭圆，一组平行直线的斜率是．
这组直线何时与椭圆相交？
当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．
高二理科数学参考答案
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题5 分 ，共计60分 ）
1.C
2.D
3.C
4.A
5.B
6.A
7.A
8.A
9.B
10.B
11.D
12.C
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题5 分 ，共计20分 ）
13.必要不充分条件
14.
15.
16.
三、 解答题 （本题共计 6 小题，共计70分 ）
17.证明：左式
右式．
∴ ．
18.解：由题意，可得，即.
又椭圆的离心率为，即，
所以，，
所以，
所以椭圆的方程为.
由消去得.
设，，
由韦达定理得，.
因为以为直径的圆过椭圆右顶点，
所以.
由，，
得.
将，代入上式，
得，
即，
解得或.
\
19.解：，：．
又是的充分条件，即，它的等价命题是．
所以解得．
20.解：由，得，
即，解得．
所以不等式的解集为；
因为，
当时，成立，
则成立，
即,
所以对一切，均有不等式成立．
而
（当时等号成立）．
所以实数的取值范围是．
21.解：当年产量在吨至吨之间时，年生产总成本（万元）与年产量（吨）之间的关系
可近似地表示成，
可得平均成本为：，
当且仅当即时取等号，
年产量为吨时，每吨的平均成本最低，最低为万元．
22.解：设一组平行直线的方程为，
代入椭圆方程，可得：
，
即为.
由判别式大于，可得：
，
解得，
则这组平行直线的纵截距在区间内时与椭圆相交.
证明：由直线和椭圆方程联立，
可得：，
即有，
截得弦的中点为，
由
消去，可得．
则这些直线被椭圆截得的线段的中点在直线上．