2021-2022学年河南省洛阳市洛龙区九年级（下）期中数学试卷(解析版)

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2021-2022学年河南省洛阳市洛龙区九年级（下）期中数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 的相反数是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 月日洛阳市在个城市区开展全员核酸检测，某企业接到任务加班加点生产，于日凌晨完成本次核酸检测需要的万支核酸提取试剂和病毒采样管，可满足万人次的大规模核酸采样需要．将数据“万”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5. 下列调查中，最适合采用抽样调查的是(    )

A. 对乘坐某航班的乘客进行安检
B. 对“神舟十一号”飞船发射前零部件质量情况的调查
C. 对某校九年级三班学生视力情况的调查
D. 对某市场上某一品牌手机使用寿命的调查

6. 当时，关于的一元二次方程的根的情况为(    )

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定

7. 如图，已知平行四边形的顶点，，点在轴负半轴上，平分交于，则点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 对于题目“一段抛物线与直线有唯一公共点．若为整数，确定所有的值”甲的结果是，乙的结果是或，则(    )

A. 甲的结果正确 B. 乙的结果正确
C. 甲、乙的结果合在一起才正确 D. 甲、乙的结果合在一起也不正确

9. 如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，，，点是边的中点，点是边上一动点，设，图是关于的函数图象，其中是图象上的最低点．那么的值为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 计算：______．
12. 已知，是抛物线上两点，该抛物线的顶点坐标是______．
13. 如图，在菱形中，，垂足为，点、分别为、边的中点，连接交于点，若，，则的值为______．

14. 如图，在每个小正方形的边长均为的网格图中，一段圆弧经过格点，，，格点，的连线交圆弧于点，则图中阴影部分面积为______．

15. 如图，矩形中，，，点是上一点且，点是上一点且，将矩形折叠，使点和点重合，折痕分别与、交于点，则的长为______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. ，求的值；
    解方程．
17. 月日是世界读书日，某校鼓励师生利用课余时间广泛阅读．该校文学社甲乙两名同学为了更好的了解全校学生课外阅读情况，分别随机调查了名学生每周用于课外阅读的时间，将收集到的数据进行了整理，部分信息如下：
    数据收集：甲同学从全校随机抽取名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下单位：分钟：
    ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    乙同学从八年级随机抽取名学生，进行了每周用于课外阅读时间的调查，数据如下单位：分钟：
    ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．
    数据描述：将阅读时间分为四个等级：，，，．
    甲同学按下表整理样本数据：

乙同学绘制扇形统计图如图；
分析数据：样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：

根据以上信息，回答下列问题：
______，______，______，______；______度；
甲乙两名同学中，哪名同学随机调查的数据能较好地反映出该校学生每周用于课外阅读时间情况，并简要说明另一名同学调查的不足之处；
根据正确统计的这组每周课外阅读时间的样本数据，若该校学生有人，请估计每周课外阅读时间在分钟含分钟以上的学生有多少人？

18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，与反比例函数的图象交于．
    求一次函数和反比例函数的表达式；
    设是直线上一点，过作轴，交反比例函数的图象于点，若，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标．

19. 文峰塔位于洛阳市洛邑古城内，始建于宋代，清初重建，是洛阳现存不多的古塔之一．某数学活动小组想利用学过的数学知识测量文峰塔的高度，如图，为了测量文峰塔的高度，数学活动小组在处树立标杆，标杆高度是米，在上选取观测点、，从处测得标杆和文峰塔顶部、的仰角分别为、，从处测得、的仰角分别为、参考数据：，，
    利用学过的数学知识，求文峰塔的高度精确到米．
    数学活动小组经过测量计算得出了文峰塔的高度，但是经过讲解员介绍，和文峰塔实际高度有较大的误差，请给数学活动小组提出一条减小误差的建议．

20. 某商场用元购进大、小书包各个，每个小书包比大书包的进价少元在销售过程中发现，小书包每天的销量单位：个与其销售单价单位：元有如下关系：，大书包每天的销量单位：个与其销售单价单位：元有如下关系：，其中，均为整数商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，并且销售单价均高于进价利润率
    求两种书包的进价；
    当小书包的销售单价为多少元时，两种书包每天销售的总利润相同；
    当这两种书包每天销售的总利润的和最大时，直接写出此时小书包的销售单价．
21.  

阅读以上材料，完成下列问题：
请帮助天天补充完成以上证明过程；
如图，割线与圆交于点、，且，，求的长．

22. 已知抛物线经过点、．
    求抛物线的解析式；
    若点在直线上，过点作轴于点，以为斜边在其左侧作等腰直角三角形．
    当与重合时，求到抛物线对称轴的距离；
    若在抛物线上，求的坐标．

23. 在中，，，点在边上，，将线段绕点顺时针旋转至，记旋转角为，连接，，以为斜边在其一侧作等腰直角三角形，连接．
    如图，当时，请直接写出线段与线段的数量关系；
    当时，
    如图，中线段与线段的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
    如图，当，，三点共线时，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．
【解答】
解：的相反数是，
故选：．  

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：观察图形可知，该几何体的左视图是．
故选：．
由已知条件可知，左视图有列，每列小正方形数目分别为，，据此可得出图形，从而求解．
本题考查由三视图判断几何体，简单组合体的三视图．由几何体的俯视图及小正方形内的数字，可知主视图的列数与俯视数的列数相同，且每列小正方形数目为俯视图中该列小正方形数字中的最大数字．左视图的列数与俯视图的行数相同，且每列小正方形数目为俯视图中相应行中正方形数字中的最大数字．
 

4.【答案】 

【解析】解：、与不是同类项，不能合并，故原题计算错误，不合题意；
B、，故原题计算错误，不合题意；
C、，故原题计算正确，符合题意；
D、，故原题计算错误，不合题意；
故选：．
利用合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方的运算法则、平方差公式、单项式乘以单项式乘法法则分别进行计算即可．
此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握合并同类项、积的乘方与幂的乘方的运算法则、平方差公式、单项式乘以单项式乘法法则．
 

5.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．由此对选项逐一分析即可．
【解答】
解：、对乘坐某航班的乘客进行安检的调查适合全面调查；
B、对“神州十一号”飞船发射前零部件质量情况的调查适合全面调查；
C、对某校九年级三班学生视力情况的调查适合全面调查；
D、对市场上某一品牌手机使用寿命的调查适合抽样调查．
故选：．  

6.【答案】 

【解析】解：
，
而，
，

，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算判别式的值得到，再把代入得，然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
 

7.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，

，，
，，
在平行四边形中，，
，，
平分，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作轴于，由，两点坐标可求得，，结合平行四边形的性质及角平分线的定义可求解，，即可求得，再由点的坐标的位置可求解．
本题主要考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，坐标与图形的性质，求解的长是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：一段抛物线与直线有唯一公共点，
分两种情况：
如图，抛物线与直线相切，

联立解析式，
，
，
解得：，
如图，抛物线与直线相交，且在上只有一个交点，

此时，两个临界点分别为，在抛物线上，
，
为整数，
，，，
综上所述，，，，，
故选：．
分两种情况：抛物线与直线相切和抛物线与直线相交，且在上只有一个交点，进行讨论，求出的值，即可得出答案．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，运用分类讨论、数形结合的思想是解决问题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，
点为坐标平面内一点，，
点在以点为的圆心，半径为的圆上，
取，连接，

，，
是的中位线，
，
当最大时，即最大，而当，，三点共线时，在的延长线上时，最大，
，，
，
，
，即的最大值为；
故选：．
根据同圆的半径相等可知：点在半径为的上，通过画图可知，在与圆的交点时，最小，在的延长线上时，最大，根据三角形的中位线定理可得结论．
本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定为最大值时点的位置是关键，也是难点．
 

10.【答案】 

【解析】解：当与重合时，由图知，，
点是边的中点，
，
，，
作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，如图：

此时，
，
而、、共线，最小，即最小，
，，
，
、关于对称，
，
，，
，，
是等边三角形，
是中点，
，，
，
，
，
，
在中，
，，
在中，，
，
，
故选：．
当与重合时，由图可得，，作关于直线的对称点，连接交于，交于，连接，此时，、、共线，最小，即最小，根据，，、关于对称，可证是等边三角形，在中，得，，在中，，即可得答案．
本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是正确识图，能作出辅助线，把转化为的最小值．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：
原式利用零指数幂法则，以及立方根定义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键．把、的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可．
【解答】
解：，是抛物线上两点，
代入得：，
解得：，，
，
顶点坐标为，
故答案为．  

13.【答案】 

【解析】解：如图，连接交于，连接，交于点，

点、分别为、边的中点，
，，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，，
，
，
故答案为：．
由三角形中位线定理可得，，，由菱形的性质和勾股定理可求，即可求解．
本题考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，作、的垂直平分线，两线交于，连接、、，

由图形可知是等腰直角三角形，
，
，
，
，

故答案为：
找出圆心，根据勾股定理即可求出半径，根据图形得出的度数，根据三角形面积公式和扇形面积公式求出即可．
本题考查了勾股定理，圆周角定理，扇形的面积公式的应用，主要考查学生的计算能力．
 

15.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，连接，设，

在矩形中，，，，，
，，，，
在，中，，，
由折叠可知：垂直平分，则，
，
即，
解得，
即．
故答案为：．
过点作于，设，根据已知条件，在，中，勾股定理求得，，根据折叠的性质可知垂直平分，则，建立方程，解方程求解即可．
本题考查了折叠的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的性质，掌握勾股定理是解题的关键．
 

16.【答案】解：


，
当时，原式；
，
，
，
，
或，
，． 

【解析】先算括号里，再算括号外，然后把代入化简后的式子进行计算即可解答；
利用解一元二次方程因式分解法，进行计算即可解答．
本题考查了分式的化简求值，解一元二次方程因式分解法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】         

【解析】解：由甲同学收集的个数据可得，，，
将甲同学收集的个数据按从小到大的顺序排列为：
，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
第，个数均为，所以中位数，
乙同学收集的个数据中，出现了两次，次数最多，所以众数；
个数据中等级有人，则．
故答案为：，，，；；

甲同学的较好．因为甲同学选取的样本具有代表性，全校学生都有可能被调查．
乙同学调查的不足之处是：样本数据选取不具代表性；

人．
故可估计每周课外阅读时间在分钟含分钟以上的学生有人．
由已知数据可得、的值，根据中位数和众数的定义可得、的值，用乘以乙同学的样本中等级人数所占的百分比可得的值；
根据两名同学选取样本的方式可得答案；
用总人数乘以甲同学样本中、两个等级人数所占比例即可．
此题主要考查数据的统计和分析的知识．准确把握三数平均数、中位数、众数和理解样本与总体的关系是关键．
 

18.【答案】解：一次函数的图象经过点，
，得，
一次函数的解析式为，
一次函数的解析式为与反比例函数的图象交于，
，得，
，得，
即反比例函数解析式为：；
点，
，
设点，点，
当且时，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
，
解得，或，
点的坐标为或． 

【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据一次函数的图象经过点，可以求得的值，从而可以解答本题；
根据平行四边形的性质和题意，可以求得点的坐标，注意点的横坐标大于．
 

19.【答案】解：在中，，米，
米，
在中，，
米，
米，
设米，
米，
在中，，
米，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
米，
文峰塔的高度约为米；
可以多次测量求平均值，以减小误差． 

【解析】先分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而求出的长，设米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程进行计算即可解答；
可以多次测量求平均值，以减小误差．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

20.【答案】解：设大书包的进价为元个，则小书包的进价为元个，
，
解得，
，
答：大书包的进价为元个，小书包的进价为元个；
商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，
，
，
两种书包每天销售的总利润相同，
，
，
解得，，
销售单价均高于进价，
不合题意，
，
答：当小书包的销售单价为元时，两种书包每天销售的总利润相同；
设这两种书包每天销售的总利润的和为元，
，
由知，，
，
该函数的对称轴是直线，开口向下，有最大值，
又为整数，
当时，取得最大值，此时，
答：当这两种书包每天销售的总利润的和最大时，此时小书包的销售单价是元． 

【解析】根据某商场用元购进大、小书包各个，每个小书包比大书包的进价少元，可以列出相应的方程，从而可以求得两种书包的进价；
根据商场按照每个小书包和每个大书包的利润率相同的标准确定销售单价，两种书包每天销售的总利润相同，可以列出相应的方程，从而可以得到当小书包的销售单价为多少元时，两种书包每天销售的总利润相同；
根据中和的关系和题意，可以得到利润与小书包销售单价之间的函数关系，再根据二次函数的性质，即可得到当这两种书包每天销售的总利润的和最大时，此时小书包的销售单价．
本题考查二次函数的应用、一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和方程的知识解答．
 

21.【答案】证明：如图，连接、、、，
切于点，
，即．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
；
解：．
同理：．
．
，
．
答：的长为． 

【解析】证明∽，即可补充完成证明过程；
结合同理可得所以然后代入值即可求出的长，进而可得的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，切线的性质，解决本题的关键是得到∽，
 

22.【答案】解：、代入得：
，解得，
抛物线的解析式为：；
过作于，交轴于，如图：

当与重合时，，，
是等腰直角三角形，
和也是等腰直角三角形，
，
，
而抛物线的对称轴是轴，
到抛物线对称轴的距离是；
过作于，如图：

设直线解析式为，将、代入得：
，解得，
直线为，
设，则，
，
当，时，，
将代入得：
，
解得或与重合，舍去，
，，，
当，时，，
，由可知，
此时、、重合，舍去，
 

【解析】、代入即可得抛物线的解析式为；
过作于，交轴于，与重合时，，，由是等腰直角三角形，得，到抛物线对称轴的距离是；
过作于，先求出直线为，设，则，，，将代入解得或与重合，舍去，即可求出
本题考查二次函数综合应用，涉及解析式、对称轴、等腰直角三角形、一次函数等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示的坐标．
 

23.【答案】解：如图，当时，点在线段上，

，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∽，
，
设，则，，
，均是等腰直角三角形，
，，
，
；
仍然成立．
理由如下：
如图，

是等腰直角三角形，
，，
在中，，，
，，
，，
，
，
，
∽，
，
仍然成立．
四边形是平行四边形．
理由如下：
当，，三点共线时，如图，过点作于点，

由旋转得：，
，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
由知，，
∽，
，，
，，
，
，
，
，
四边形是平行四边形． 

【解析】本题属于相似三角形综合题，三角形综合题，考查了等腰直角三角形性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定，旋转的旋转等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰直角三角形性质是解题关键．
根据题意得，进而可得∽，得出，设，易得，推出，即可得出答案；
由是等腰直角三角形，，，可得∽，推出，则仍然成立；
如图，过点作于点，由旋转得：，进而得出∽，推出，再由∽，推出，可得，利用平行四边形的判定即可得出答案．