初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试单元测试复习练习题
展开人教版初中数学九年级下册第二十八章《锐角三角函数》单元测试卷
考试范围：第二十八章； 考试时间：100分钟；总分120分，
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）
- 如图，在中，，，，以的中点为圆心，的长为半径作半圆交于点，则图中阴影部分的面积为
A. B. C. D.
- 如图，点，，在正方形网格的格点上，则
A.
B.
C.
D.
- 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，的顶点都在这些小正方形的顶点上，则的值为
A.
B.
C.
D.
- 半径为的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为，，，则，，的大小关系是
A. B. C. D.
- 如图，中，，点在上，若，，则的长度为
A.
B.
C.
D.
- 如图，甲乙两楼相距米，乙楼高度为米，自甲楼顶处看乙楼楼顶处仰角为，则甲楼高度为
A. 米
B. 米
C. 米
D. 米
- 为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活动．如图，在一个坡度或坡比：的山坡上发现有一棵古树测得古树底端到山脚点的距离米，在距山脚点水平距离米的点处，测得古树顶端的仰角古树与山坡的剖面、点在同一平面上，古树与直线垂直，则古树的高度约为
参考数据：，，
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
- 如图，是垂直于水平面的建筑物．为测量的高度，小红从建筑物底端点出发，沿水平方向行走了米到达点，然后沿斜坡前进，到达坡顶点处，在点处放置测角仪，测角仪支架高度为米，在点处测得建筑物顶端点的仰角为点，，，，在同一平面内斜坡的坡度或坡比：，那么建筑物的高度约为参考数据，，
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
- 某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门测得历下亭在北偏东方向，继续向北走后到达游船码头，测得历下亭在游船码头的北偏东方向．请计算一下南门与历下亭之间的距离约为参考数据：，
A. B. C. D.
- 如图是一台手机支架，图是其侧面示意图，，可分别绕点，转动，测量知，，当，转动到，时，点到的距离是结果保留小数点后一位，参考数据：，
A. B. C. D.
- 如图，在菱形中，对角线，相交于点，，，则的正弦值为
A.
B.
C.
D.
- 以正方形的边为直径作半圆，过点作直线切半圆于点，交边于点，则等于
A.
B.
C.
D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）
- 一艘货轮以的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至处时，发现它的东南方向有一灯塔，货轮继续向东航行分钟后到达处，发现灯塔在它的南偏东方向，则此时货轮与灯塔的距离是______．
|
- 如图，小明在距离地面米的处测得处的俯角为，处的俯角为若斜面坡度为：，则斜坡的长是______米．
- 如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度，飞机上的测
量人员在处测得，两点的俯角分别为和若飞机离地面的高度为米，且点，，在同一水平直线上，则这条江的宽度为______米结果保留根号．
- 如图，某校教学楼与实验楼的水平间距米，在实验楼顶部点测得教学楼顶部点的仰角是，底部点的俯角是，则教学楼的高度是______米结果保留根号．
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三、解答题（本大题共8小题，共72.0分）
- 图是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中底盒固定在地面下，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图是其示意图，经测量，钢条，．
求车位锁的底盒长．
若一辆汽车的底盘高度为，当车位锁上锁时，问这辆汽车能否进入该车位？
参考数据：，，
- 鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度如图所示，一架水平飞行的无人机在处测得正前方河流的左岸处的俯角为，无人机沿水平线方向继续飞行米至处，测得正前方河流右岸处的俯角为线段的长为无人机距地面的铅直高度，点、、在同一条直线上．其中，米．
求无人机的飞行高度；结果保留根号
求河流的宽度结果精确到米，参考数据：，
- 汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从至共有级阶梯，平均每级阶梯高，斜坡的坡度：；加固后，坝顶宽度增加米，斜坡的坡度：，问工程完工后，共需土石多少立方米？计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号
- 如图，在中，，为上一点，，，．
求的长；
求的值．
- 襄阳卧龙大桥横跨汉江，是我市标志性建筑之一．某校数学兴趣小组在假日对竖立的索塔在桥面以上的部分上塔柱和塔冠进行了测量．如图所示，最外端的拉索的底端到塔柱底端的距离为，拉索与桥面的夹角为，从点出发沿方向前进，在处测得塔冠顶端的仰角为请你求出塔冠的高度结果精确到参考数据，，，．
- 在中，，，求的值．
- 如图，在中，，求和的值．
- 如图，在中，，，，求，，的值．
|
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查扇形面积的计算、锐角三角函数定义，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意，作出合适的辅助线，即可求得 的长、 的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是 的面积减去 的面积和扇形 的面积，从而可以解答本题．
【解答】
解：连接 ， ，作 于 ．
在 中， ， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积是： ，
故选 A ．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出 是解决问题的关键．
作 于 ，根据勾股定理求出 、 ，利用三角形的面积求出 ，最后在直角 中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作 于 ，
由勾股定理得， ， ，
，
，
．
故选 B ．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．
过 作 于 ，首先根据勾股定理求出 ，然后在 中即可求出 的值．
【解答】
解：如图，过 作 于 ，则 ，
．
．
故选： ．
4.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了正多边形和圆的性质，解决本题的关键是构造直角三角形，得到用半径表示的边心距；注意：正多边形的计算一般要转化为解直角三角形的问题来解决．
根据三角函数即可求解．
【解答】
解：设圆的半径为 ，
则正三角形的边心距为
正方形的边心距为 ，
正六边形的边心距为
，
，
故选： ．
5.【答案】
【解析】解：，，，
，
，
．
，
，
故选：．
在中，由三角函数求得，再由勾股定理求得，最后在中由三角函数求得．
本题主要考查了勾股定理，解直角三角形的应用，关键是解直角三角形．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，构造直角三角形是解题的关键．
过点 作 于点 ，在 中，解直角三角形求出 ，即可得出结论．
【解答】
解：过点 作 于点 ，
在 中， 米， ，
米 ，
米，
甲楼高为 米．
故选 D ．
7.【答案】
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形的应用 仰角俯角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
如图，根据已知条件得到 ： ，设 ， ，根据勾股定理得到 ，求得 ， ，得到 ，根据三角函数的定义即可得到结论．
【解答】解：如图， ： ，
设 ， ，
，
，
， ，
，
，
，
，
，
，
答：古树 的高度约为 米，
故选： ．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是解直角三角形的应用 仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
过点 作 与点 ，根据斜坡 的坡度 或坡比 ： 可设 ，则 ，利用勾股定理求出 的值，进而可得出 与 的长，故可得出 的长．由矩形的判定定理得出四边形 是矩形，故可得出 ， ，再由锐角三角函数的定义求出 的长，进而可得出结论．
【解答】
解：过点 作 与于 ，延长 交 于 ，
斜坡 的坡度 或坡比 ： ， 米，
设 ，则 ．
在 中，
，即 ，解得 ，
米， 米，
米 ， 米 ．
， ， ，
四边形 是矩形，
米， 米．
在 中，
，
米 ，
米 ．
故选 B ．
9.【答案】
【解析】解：如图，作于设，．
在中，，即，
在中，，即，
解得，，
，
故选：．
如图，作于设，构建方程组求出，即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
10.【答案】
【解析】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
则，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
点到的距离约为，
故选：．
过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，的度数，从而求出的度数，进而求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出，的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，过作于，
四边形是菱形，且，，
，，，，
，
，
，
，
，
在中，，
故选：．
过作于，由菱形的性质得，，，，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长，即可解决问题．
此题考查了菱形的性质、勾股定理以及锐角三角函数的定义等知识；熟练掌握菱形的性质和锐角三角函数的定义是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：以正方形的边为直径作半圆，
，，
，是的切线，
是的切线，
根据切线长定理得，，．
设，，
则在中，，，．
根据勾股定理可得：
，
，
，，
，
故选：．
根据切线长定理得，，，设，，在中根据勾股定理可得列方程，从而用含是代数式表示出和，根据正切三角函数的定义即可求出结论．
此题考查圆的切线长定理，正方形的性质和勾股定理等知识，解答本题关键是运用切线长定理得出，，从而根据勾股定理求解．
13.【答案】
【解析】解：作于，
分钟，
，
，
，
灯塔在它的南偏东方向，
，，
，
，
故答案为：．
作于，根据题意求出的长，根据正弦的定义求出，根据三角形的外角的性质求出的度数，根据正弦的定义计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用 仰角俯角问题、坡度坡角问题，正确得出 是解题的关键．
过点 作 于点 ，根据三角函数的定义得到 ，根据已知条件得到 ， ，求得 ，推出 ， ，解直角三角形即可得到结论．
【解答】
解：如图所示：过点 作 于点 ，
斜面坡度为 ： ，
，
，
在 处进行观测，测得山坡上 处的俯角为 ，山脚 处的俯角为 ，
， ，
，
， ，
为等腰直角三角形，
，
， ，
，
，
故答案为 ．
15.【答案】
【解析】解：由于，
，
在中，
米，
在，
米．
米
故答案为：
在和中，利用锐角三角函数，用表示出、的长，然后计算出的长．
本题考查了锐角三角函数的仰角、俯角问题．题目难度不大，解决本题的关键是用含的式子表示出和．
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形．
首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形 、 ，进而可解即可求出答案．
【解答】
解：过点 作 于点 ，
在 中， ， ，
可得 米．
在 中， ， ，
可得 米．
故教学楼 的高度是 米．
答：教学楼 的高度是 米．
17.【答案】解：过点作于点，
，
，
在中，，，
，
．
在中，
，
，
当车位锁上锁时，这辆汽车不能进入该车位．
【解析】过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
根据锐角三角函数的定义求出的长度即可判断．
本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角函数的定义，本题属于基础题型．
18.【答案】解：过点作，垂足为，由题意可知，
，，，
在中，，，
，
答：无人机的飞行高度为米；
在中，
，即：，
，
，
，
答：河流的宽度约为米．
【解析】在中，由，，可求出即可；
在中，，，可求出，进而求出和即可．
本题考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，通过作辅助线构造直角三角形是常用的方法．
19.【答案】解：过作于，过作于，
则四边形是矩形，
，，
米，
又斜坡的坡度：，
，
，
斜坡的坡度：，
，
，
，
共需土石为立方米．
【解析】此题考查了解直角三角形坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．
过作于，过作于，于是得到四边形是矩形，求得，，得到，求得，得到，根据梯形的面积公式求得梯形的面积乘以大坝的长度即可得到结论．
20.【答案】解：，可设，得，
，
，
解得，舍去，或，
，，
，
，
；
过点作于点，
，可设，则，
，
，
解得，舍，或，
，
．
【解析】本题是解直角三角形的应用，主要考查了解直角三角形，勾股定理，第二小题关键是构造直角三角形．
根据，可设，得，再由勾股定理列出的方程求得，进而由勾股定理求；
过点作于点，解直角三角形求得与，进而求得结果．
21.【答案】解：在中，，
则，
由题意得，，
在中，，
，
，
答：塔冠的高度约为．
【解析】根据正切的定义分别求出、，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：设，，，
，，
由勾股定理，得，
．
【解析】见答案．
23.【答案】解：如图，在中，由勾股定理得．
因此，．
如图，在中，由勾股定理得．
因此，．
【解析】见答案．
24.【答案】解：由勾股定理得，
因此，
，
．
【解析】见答案．
2021学年第二十八章 锐角三角函数综合与测试课后复习题： 这是一份2021学年第二十八章 锐角三角函数综合与测试课后复习题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
初中第二十八章 锐角三角函数综合与测试单元测试课后测评： 这是一份初中第二十八章 锐角三角函数综合与测试单元测试课后测评，共42页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试单元测试课时训练： 这是一份人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试单元测试课时训练，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
