2022高考圆锥曲线满分突破13讲（各种压轴题型全面，技巧方法深入，值得研究的讲义）

第6讲 定值问题（先构造函数，再消去参数）

一、考情分析

　　在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．为了提高同学们解题效率,特别是高考备考效率,本文列举了一些典型的定点和定值问题,以起到抛砖引玉的作用．

探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：

① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；

② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值

二、经验分享

1.定值问题的常见类型及解题策略

(1)求代数式为定值．依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值；

(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；

(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．

2.【知识拓展】

1.设点是椭圆C：上一定点，点A,B是椭圆C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；

2. 设点是双曲线C：一定点，点A,B是双曲线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；

3. 设点是抛物线C：一定点，点A,B是抛物线C上不同于P的两点，若，则时直线AB斜率为定值，若，则直线AB过定点；

三、题型分析

（一）与向量与距离有关的等式的定值问题

例1．在直角坐标系中，曲线的点均在：外，且对上任意一点，到直

线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值.

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设（）为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相交于点A，B和C，D.证明：当在直线上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

【变式训练1】【2016年北京】已知椭圆：的离心率为，，，

，的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．

求证：为定值．

（二）与距离和比值有关的定值问题

例2．设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于，两点，

过作的平行线交于点.

（I）证明为定值，并写出点的轨迹方程；

（II）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围．

【变式训练1】已知点是直线与椭圆的一个公共点， 分别为该椭圆的左右焦点，设取得最小值时椭圆为．

（1）求椭圆的标准方程及离心率；

（2）已知为椭圆上关于轴对称的两点， 是椭圆上异于的任意一点，直线分别与轴交于点，试判断是否为定值；如果为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．

（三）与平面图形有关面积的定值问题

例3.【安徽省“皖南八校”2017届高三第二次联考】如图,点,分别为椭圆的左右顶点,为椭圆上非顶点的三点,直线的斜率分别为,且,,.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）判断的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,请说明理由.

【变式训练1】．【江西省赣州市十四县（市）2018届高三下学期期中】已知椭圆系方程： (， )， 是椭圆的焦点， 是椭圆上一点，且.

（1）求的方程；       

（2）为椭圆上任意一点，过且与椭圆相切的直线与椭圆交于， 两点，点关于原点的对称点为，求证： 的面积为定值，并求出这个定值．

【变式训练2】.【湖南省五市十校教研教改共同体2017届高三12月联考】如图,设点的坐标分别为,直线相交于点,且它们的斜率之积为．

（1）求点的轨迹方程；

（2）设点的轨迹为,点是轨迹为上不同于的两点,且满足,求证：的面积为定值．

（四）与斜率有关的定值问题

例4．椭圆的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直

线被椭圆截得的线段长为l．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接．设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线，使得与椭圆有且只有一个公共点．设直线

的斜率分别为，若，试证明为定值，并求出这个定值．

【变式训练1】【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷)考试数学试题】已知抛物线的焦点为，直线与轴的交点为，与抛物线的交点为，且.

（1）求的值；

（2）已知点为上一点，，是上异于点的两点，且满足直线和直线的斜率之和为，证明直线恒过定点，并求出定点的坐标．

四、迁移应用

1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

2．【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．

（1）求抛物线C的方程及其准线方程；

（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

3．【2019年高考天津卷理数】设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．

4.【2019-2020巴蜀中学2020届高考适应性月考卷理科（四）试卷】 已知椭圆：，直线与该椭圆交于，两点，为椭圆上异于，的点.

（1）若，且以为直径圆过点，求该圆的标准方程；

（2）直线，分别与轴交于，两点，是否为定值，若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由.

5.已知椭圆： 的离心率，若椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上一动点和，组成的面积最大为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若存在直线和椭圆相交于不同的两点，，且原点与,连线的斜率之和满足：=2，求直线的斜率的取值范围.

6.如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，以为直径作圆，当直线的斜率为时，

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过焦点作的垂线与圆的一个交点为，交抛物线与（点在之间），记的面积为，求的最小值。