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(新高考)高考数学一轮复习课件第8章§8.13《圆锥曲线压轴小题突破 培优课》(含解析)
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这是一份(新高考)高考数学一轮复习课件第8章§8.13《圆锥曲线压轴小题突破 培优课》(含解析)，共60页。PPT课件主要包含了根据对称性设k0，思维升华，解得c＝2b＝1，＝5∶4∶3，所以S1＝S2，由Δ＝0知，课时精练，因为0y0≤b，所以如图1所示，所以DE＝2等内容，欢迎下载使用。
圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题
即|PF1|－|PF2|＝a，
在△PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
由已知得A(－2,0)，B(2,0)，设椭圆C上动点P(x，y)，则利用两点连线的斜率公式可知
设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，
设△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r1，r2，
∵∠MPN＋∠APB＝180°，∴sin∠MPN＝sin∠APB，
高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题.
因为直线l过点F1，由图知，直线l的斜率存在且不为零，因为l⊥F2B，则△F1BF2为直角三角形，可得|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2＝12，由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2，所以4＝(|BF1|－|BF2|)2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|＝12－2|BF1|·|BF2|，
可得|BF1|·|BF2|＝4，
(2)(多选)(2022·德州模拟)已知椭圆C： 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，点Q是圆x2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＝0对称的曲线E上任意一点，若|PQ|－|PF2|的最小值为5－ ，则下列说法正确的是A.椭圆C的焦距为2B.曲线E过点F2的切线斜率为±C.若A，B为椭圆C上关于原点对称的异于顶点和点P的两点，则直线PA 与PB斜率之积为－D.|PQ|＋|PF2|的最小值为2
圆x2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＝0对称的曲线为以C(4,0)为圆心，1为半径的圆，即曲线E的方程为(x－4)2＋y2＝1，
由图知Q′(3,0)，
故焦距|F1F2|＝2c＝4，A错误；|PQ|＋|PF2|≥|Q′F2|＝3－c＝1，D错误；设曲线E过点F2的切线斜率为k，则切线方程为kx－2k－y＝0，
设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
圆锥曲线与三角形“四心”问题
则点H在∠F1PF2的角平分线上，由点H在直线x＝a上，则点H是△PF1F2的内心，
由奔驰定理(已知P为△ABC内一点，
则|F1F2|∶|PF1|∶|PF2|＝5∶4∶3，设|F1F2|＝5λ，|PF1|＝4λ，|PF2|＝3λ，则|F1F2|＝2c＝5λ，
(2)(2022·江苏百师联盟联考)过抛物线C：x2＝2py(p>0)上点M作抛物线D：y2＝4x的两条切线l1，l2，切点分别为P，Q，若△MPQ的重心为G则p＝____.
由于方程②Δ＝0，则其根为y＝2t，当t＝t1时，y1＝2t1，当t＝t2时，y2＝2t2，
圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题.但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新.在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力.
跟踪训练2 (1)已知F1(－1,0)，F2(1,0)，M是第一象限内的点，且满足|MF1|＋|MF2|＝4，若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF1M的面积分别为S1，S2，则A.S1>S2 B.S1＝S2C.S1
因为I是△MF1F2的内心，设内切圆的半径为r，
又因为G是△MF1F2的重心，所以OG∶GM＝1∶2，所以
(2)在平面直角坐标系Oxy中，双曲线C1： ＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为____.
因为F是△OAB的垂心，所以kOB·kAF＝－1 ，
圆锥曲线在生活中的应用
例3 (1)(2022·湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点，若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0,2)反射后，反射光线为射线AM，则∠F2AM的角平分线所在的直线的斜率为
由已知可得A(x0,2)在第一象限，
所以∠F1AF2＝60°，设∠F2AM的角平分线为AN，
所以∠F2AM的角平分成所在的直线AN的倾斜角为150°，
(2)第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于 ，则椭圆的离心率为
图1 图2
∴A(－ma,0)，B(0，mb)，设切线AC为y＝k1(x＋ma)，切线BD为y＝k2x＋mb，
圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地.研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性.
跟踪训练3 (1)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2＋4y2＝4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|等于
由椭圆的光学性质得直线l′平分∠F1PF2，
由|PF1|＝1，|PF1|＋|PF2|＝4得|PF2|＝3，故|F1M|∶|F2M|＝1∶3.
(2)一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2－x2＝1，y∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为A.1 B.2 C.3 D.2.5
清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r，圆心为(0，r＋1)，圆的方程为x2＋(y－r－1)2＝r2，代入双曲线方程y2－x2＝1，得y2－(r＋1)y＋r＝0，∴y＝1或y＝r，要使清洁钢球到达底部，即r≤1.
KESHIJINGLIAN
1.(2022·遵义模拟)双曲线 ＝1上一点P到右焦点F2的距离为6，F1为左焦点，则∠F1PF2的角平分线与x轴交点坐标为A.(－1,0) B.(0,0)C.(1,0) D.(2,0)
由双曲线定义知|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋6＝12，所以交点到左焦点距离是其到右焦点距离的2倍，因为左焦点(－6,0)，右焦点(6,0)，所以x＋6＝2(6－x)，解得x＝2.
2.天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的长半轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即 ，其中M为中心天体质量，G为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为60亿千米，取 ≈3.1，则冥王星的公转周期约为A.157年 B.220年C.248年 D.256年
设地球椭圆轨道的长半轴为a1，公转周期为T1.冥王星椭圆轨道的长半轴为a2，公转周期为T2.
又O为圆x2＋y2＝4的圆心，
所以△AOB为等边三角形，
设点P(x0，y0)，则由椭圆的对称性知Q(x0，－y0)，不妨令y0>0，A(－a,0)，B(a,0)，
显然有－a
5.已知在平面直角坐标系Oxy中，点F1，F2分别为双曲线C： －y2＝1(a>0)的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，点I为△OMF2的外心，若O，I，D三点共线，则双曲线C的离心率为
不妨设点M在第二象限，设M(m，n)，F2(c,0)，由D为MF2的中点，O，I，D三点共线知直线OD垂直平分MF2，
6.(2022·济南联考)已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为
因为MF2∥OP，O为F1F2的中点，所以P为MF1的中点，
7.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)为抛物线C上的三个动点，其中x1
即2x2＝6－x2，得x2＝2，y2＝－4，因此有y1＋y3＝4，所以P1P3所在直线的斜率为
如图，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m＋n＝2a，由双曲线定义可得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a－a1，当|F1F2|＝2|MO|时，则∠F1MF2＝90°，
当|F1F2|＝4|MF2|时，
可设2＋e2＝t(3
则(a－x0，b－y0)＝4(a－c，b)，解得x0＝4c－3a，y0＝－3b，即B(4c－3a，－3b)，又点B在双曲线C上，
10.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为_______________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为______.
设桥拱所在抛物线方程为x2＝－2py，由图可知，曲线经过(20，－5)，代入方程得202＝－2p×(－5)，解得p＝40，所以桥拱所在抛物线方程为x2＝－80y.四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线C1：(x－14)2＝－2p′y，由图知抛物线C1经过点A(20，－5)，则(20－14)2＝－2p′×(－5)，
设A(x，y)，7
设M是圆心，因为|A1C2|＝|A2B1|＝|B2C1|，因此点M到直线AB，BC，CA的距离相等，从而M是Rt△ABC的内心，作MN⊥AC于N，连接MC2，
|NC2|＝1＋5＝6，
12.(2022·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 cm，杯深8 cm，称为抛物线酒杯.①在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_____ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为________(单位：cm).
因为杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，所以球的半径为3 cm，
又因为杯深8 cm，即|OD|＝8，故最小距离为|OD|－|DE|＝6，如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2 ，8)，设抛物线的方程为y＝mx2，
故抛物线方程为y＝x2，
圆锥曲线与向量、圆等知识的交汇问题
即|PF1|－|PF2|＝a，
在△PF1F2中，由|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2
由已知得A(－2,0)，B(2,0)，设椭圆C上动点P(x，y)，则利用两点连线的斜率公式可知
设直线PA的方程为y＝k(x＋2)，
设△PMN与△PAB的外接圆的半径分别为r1，r2，
∵∠MPN＋∠APB＝180°，∴sin∠MPN＝sin∠APB，
高考对圆锥曲线的考查，经常出现一些与其他知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等，这些问题的实质是圆锥曲线问题.
因为直线l过点F1，由图知，直线l的斜率存在且不为零，因为l⊥F2B，则△F1BF2为直角三角形，可得|BF1|2＋|BF2|2＝|F1F2|2＝12，由双曲线的定义可得|BF1|－|BF2|＝2，所以4＝(|BF1|－|BF2|)2＝|BF1|2＋|BF2|2－2|BF1|·|BF2|＝12－2|BF1|·|BF2|，
可得|BF1|·|BF2|＝4，
(2)(多选)(2022·德州模拟)已知椭圆C： 的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，点Q是圆x2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＝0对称的曲线E上任意一点，若|PQ|－|PF2|的最小值为5－ ，则下列说法正确的是A.椭圆C的焦距为2B.曲线E过点F2的切线斜率为±C.若A，B为椭圆C上关于原点对称的异于顶点和点P的两点，则直线PA 与PB斜率之积为－D.|PQ|＋|PF2|的最小值为2
圆x2＋(y－4)2＝1关于直线x－y＝0对称的曲线为以C(4,0)为圆心，1为半径的圆，即曲线E的方程为(x－4)2＋y2＝1，
由图知Q′(3,0)，
故焦距|F1F2|＝2c＝4，A错误；|PQ|＋|PF2|≥|Q′F2|＝3－c＝1，D错误；设曲线E过点F2的切线斜率为k，则切线方程为kx－2k－y＝0，
设P(x0，y0)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
圆锥曲线与三角形“四心”问题
则点H在∠F1PF2的角平分线上，由点H在直线x＝a上，则点H是△PF1F2的内心，
由奔驰定理(已知P为△ABC内一点，
则|F1F2|∶|PF1|∶|PF2|＝5∶4∶3，设|F1F2|＝5λ，|PF1|＝4λ，|PF2|＝3λ，则|F1F2|＝2c＝5λ，
(2)(2022·江苏百师联盟联考)过抛物线C：x2＝2py(p>0)上点M作抛物线D：y2＝4x的两条切线l1，l2，切点分别为P，Q，若△MPQ的重心为G则p＝____.
由于方程②Δ＝0，则其根为y＝2t，当t＝t1时，y1＝2t1，当t＝t2时，y2＝2t2，
圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题.但“四心”问题进入圆锥曲线后，让我们更是耳目一新.在高考数学复习中，通过研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高数学解题能力.
跟踪训练2 (1)已知F1(－1,0)，F2(1,0)，M是第一象限内的点，且满足|MF1|＋|MF2|＝4，若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF1M的面积分别为S1，S2，则A.S1>S2 B.S1＝S2C.S1
因为I是△MF1F2的内心，设内切圆的半径为r，
又因为G是△MF1F2的重心，所以OG∶GM＝1∶2，所以
(2)在平面直角坐标系Oxy中，双曲线C1： ＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为____.
因为F是△OAB的垂心，所以kOB·kAF＝－1 ，
圆锥曲线在生活中的应用
例3 (1)(2022·湛江质检)根据圆锥曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线，平分该点与两焦点连线的夹角.请解决下面问题：已知F1，F2分别是双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点，若从点F2发出的光线经双曲线右支上的点A(x0,2)反射后，反射光线为射线AM，则∠F2AM的角平分线所在的直线的斜率为
由已知可得A(x0,2)在第一象限，
所以∠F1AF2＝60°，设∠F2AM的角平分线为AN，
所以∠F2AM的角平分成所在的直线AN的倾斜角为150°，
(2)第24届冬奥会，是中国历史上第一次举办的冬季奥运会，国家体育场(鸟巢)成为北京冬奥会开、闭幕式的场馆.国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，若由外层椭圆长轴一端点A和短轴一端点B分别向内层椭圆引切线AC，BD(如图2)，且两切线斜率之积等于 ，则椭圆的离心率为
图1 图2
∴A(－ma,0)，B(0，mb)，设切线AC为y＝k1(x＋ma)，切线BD为y＝k2x＋mb，
圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等内容在高考占一席之地.研究圆锥曲线的光学性质、新定义问题、圆锥曲线的应用等相关问题，体现出数学的应用性.
跟踪训练3 (1)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线C的方程为x2＋4y2＝4，其左、右焦点分别是F1，F2，直线l与椭圆C切于点P，且|PF1|＝1，过点P且与直线l垂直的直线l′与椭圆长轴交于点M，则|F1M|∶|F2M|等于
由椭圆的光学性质得直线l′平分∠F1PF2，
由|PF1|＝1，|PF1|＋|PF2|＝4得|PF2|＝3，故|F1M|∶|F2M|＝1∶3.
(2)一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是y2－x2＝1，y∈[1,10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为A.1 B.2 C.3 D.2.5
清洁钢球能擦净凹槽的最底部时，轴截面如图所示，圆心在双曲线的对称轴上，且圆与双曲线的顶点相切，设半径为r，圆心为(0，r＋1)，圆的方程为x2＋(y－r－1)2＝r2，代入双曲线方程y2－x2＝1，得y2－(r＋1)y＋r＝0，∴y＝1或y＝r，要使清洁钢球到达底部，即r≤1.
KESHIJINGLIAN
1.(2022·遵义模拟)双曲线 ＝1上一点P到右焦点F2的距离为6，F1为左焦点，则∠F1PF2的角平分线与x轴交点坐标为A.(－1,0) B.(0,0)C.(1,0) D.(2,0)
由双曲线定义知|PF1|＝2a＋|PF2|＝6＋6＝12，所以交点到左焦点距离是其到右焦点距离的2倍，因为左焦点(－6,0)，右焦点(6,0)，所以x＋6＝2(6－x)，解得x＝2.
2.天文学家开普勒的行星运动定律可表述为：绕同一中心天体的所有行星的椭圆轨道的长半轴a的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等，即 ，其中M为中心天体质量，G为引力常量，已知地球绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为1.5亿千米，地球的公转周期为1年，距离太阳最远的冥王星绕以太阳为中心天体的椭圆轨道的长半轴长约为60亿千米，取 ≈3.1，则冥王星的公转周期约为A.157年 B.220年C.248年 D.256年
设地球椭圆轨道的长半轴为a1，公转周期为T1.冥王星椭圆轨道的长半轴为a2，公转周期为T2.
又O为圆x2＋y2＝4的圆心，
所以△AOB为等边三角形，
设点P(x0，y0)，则由椭圆的对称性知Q(x0，－y0)，不妨令y0>0，A(－a,0)，B(a,0)，
显然有－a
5.已知在平面直角坐标系Oxy中，点F1，F2分别为双曲线C： －y2＝1(a>0)的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2的中点，点I为△OMF2的外心，若O，I，D三点共线，则双曲线C的离心率为
不妨设点M在第二象限，设M(m，n)，F2(c,0)，由D为MF2的中点，O，I，D三点共线知直线OD垂直平分MF2，
6.(2022·济南联考)已知双曲线 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以OF1为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点M(异于坐标原点O)，若线段MF1交双曲线于点P，且MF2∥OP，则该双曲线的离心率为
因为MF2∥OP，O为F1F2的中点，所以P为MF1的中点，
7.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)为抛物线C上的三个动点，其中x1
即2x2＝6－x2，得x2＝2，y2＝－4，因此有y1＋y3＝4，所以P1P3所在直线的斜率为
如图，设|MF1|＝m，|MF2|＝n，焦距为2c，由椭圆定义可得m＋n＝2a，由双曲线定义可得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a－a1，当|F1F2|＝2|MO|时，则∠F1MF2＝90°，
当|F1F2|＝4|MF2|时，
可设2＋e2＝t(3
则(a－x0，b－y0)＝4(a－c，b)，解得x0＝4c－3a，y0＝－3b，即B(4c－3a，－3b)，又点B在双曲线C上，
10.早在一千多年之前，我国已经把溢流孔技术用于造桥，以减轻桥身重量和水流对桥身的冲击，现设桥拱上有如图所示的4个溢流孔，桥拱和溢流孔轮廓线均为抛物线的一部分，且四个溢流孔轮廓线相同，建立如图所示的平面直角坐标系Oxy，根据图上尺寸，溢流孔ABC所在抛物线的方程为_______________，溢流孔与桥拱交点A的横坐标为______.
设桥拱所在抛物线方程为x2＝－2py，由图可知，曲线经过(20，－5)，代入方程得202＝－2p×(－5)，解得p＝40，所以桥拱所在抛物线方程为x2＝－80y.四个溢流孔轮廓线相同，所以从右往左看，设第一个抛物线C1：(x－14)2＝－2p′y，由图知抛物线C1经过点A(20，－5)，则(20－14)2＝－2p′×(－5)，
设A(x，y)，7
设M是圆心，因为|A1C2|＝|A2B1|＝|B2C1|，因此点M到直线AB，BC，CA的距离相等，从而M是Rt△ABC的内心，作MN⊥AC于N，连接MC2，
|NC2|＝1＋5＝6，
12.(2022·苏州模拟)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4 cm，杯深8 cm，称为抛物线酒杯.①在杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为_____ cm；②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为________(单位：cm).
因为杯口放一个表面积为36π cm2的玻璃球，所以球的半径为3 cm，
又因为杯深8 cm，即|OD|＝8，故最小距离为|OD|－|DE|＝6，如图1所示，建立直角坐标系，易知B(2 ，8)，设抛物线的方程为y＝mx2，
故抛物线方程为y＝x2，
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