专题03 圆锥曲线与垂心问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

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专题3、圆锥曲线与垂心问题
从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．

三角形的垂心：三角形三条高线的交点
（1）、H是的垂心。
（2）、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离得2倍。
经典例题：
例1．（2020·浙江高三）记椭圆：的左右焦点为，，过的直线交椭圆于，，，处的切线交于点，设的垂心为，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先根据题意，得到，，设直线的方程为，，，求出在点，处的切线方程，联立切线方程，得出点，根据题意，得到轴，得出的横坐标为，再由求出的纵坐标为，得出，结合基本不等式，即可得出结果.
【详解】椭圆的左右焦点为，，
由题意，易知直线的斜率存在，（若斜率不存在，则三点共线，不能构成三角形），设直线的方程为，，，对两边同时求关于的导数，得，则，则椭圆在点处的切线斜率为，
则椭圆在点处的切线方程为，即，即；
同理，椭圆在点处的切线方程为，
由得，则，
所以，即；
又的垂心为，则，，即轴，则的横坐标也为，记的纵坐标为，由得，所以，则，
因此，因为过点，所以直线与椭圆必有两个交点，故且，
则，
当且仅当，即时，等号成立. 故选：D.
【点睛】本题主要考查椭圆中的最值问题，考查椭圆的切线方程，涉及基本不等式求最值，属于跨章节综合题.
例2．（2020.江苏省高三期中）已知是双曲线的左､右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于A，B两点，则坐标原点O可能为的（ ）
A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心
【答案】A
【分析】根据三角形四种心的性质，即可得答案；
【详解】对B，若O为的内心，则到直线的距离等于，显然不可能，到直线的距离恒小于，故B错误；
对C，若O为的外心，则，，和已知矛盾，故B错误；
对D，若O为的重心，则，这也显然错误，故C错误；
根据排除法，O可能为的垂心，故选：A.

【点睛】本题考查双曲线中三角形的几种心的性质，考查逻辑推理能力，求解时注意三角形各种心的定义.
例3、（山东高考理）平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点，若的垂心为的焦点，则的离心率为 .
【答案】
【解析】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,
解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,
所以 .所以 .
【名师点睛】本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.
例4、（2020年福建省高三联考16题）已知：椭圆的右焦点为为上顶点，为坐标原点， 直线交椭圆于两点，当为的垂心时，则的面积为 .
【答案】
【解析】∵为的垂心，∴
由（1）知，∴，
设直线方程为，联立得，
可得，即，且可得，
∵，∴，
即
. 解得或，
当时，三点共线（舍去），∴，此时，
，点到直线的距离.
∴.
【点睛】本题主要考查了根据的值求椭圆的方程以及利用弦长公式求三角形的面积，涉及了三角形垂心的性质、韦达定理、点到直线的距离公式，属于较难题.
例5、已知点在椭圆C：上， 过点作直线交椭圆C于点的垂心为，若垂心在y轴上.则实数的取值范围是 .

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)
【解析】当直线斜率不存在时，设A（m，n），B（m，﹣n），
此时T（0，0）．则＝0，∴n2+m（1﹣m）＝0，
又，联立解得或m＝1（舍去），∴．
当直线斜率存在时，设T（0，t）（t≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），
设直线方程为：y＝k（x﹣m），则直线QT的斜率为﹣t，∵AB⊥QT，∴，
又∵BT⊥AQ，∴（﹣x2，t﹣y2）•（1﹣x1，﹣y1）＝0，即x1x2+y1y2＝x2+ty1，
∴，x1x2+y1y2＝x1+x2﹣m，（*）
联立化为（2t2+1）x2﹣2mx+m2﹣2t2＝0，
∵△＞0，∴2t2+1﹣m2＞0，∴，，
∵，代入（*）可得．
∴m2+3m+1＜0，解得 ，
综上可知：实数m的取值范围为．
【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数的关系、相互垂直的直线斜率之间的关系等是解题的关键，属于中档题．
例6、（2020年浙江省绍兴市期末15题）已知椭圆的上顶点为，直线与该椭圆交于两点，且点恰为的垂心，则直线的方程为______ .
【答案】
【解析】上顶点，右焦点F为垂心
因为＝﹣1，且FM⊥l，所以k1＝1，所以设PQ直线y＝x+m，
且设P（x1，y1），Q（x2，y2）由消y，得3x2+4mx+2m2﹣2＝0
△＝16m2﹣12（2m2﹣2）＞0，m2＜3．
y1y2＝（x1+m）（x2+m）＝x1x2+m（x1+x2）+m2．
又F为△MPQ的垂心，∴PF⊥MQ，∴
又
∴
∴，
∴ 经检验满足m2＜3
∴存在满足条件直线l方程为：x﹣y+1＝0，3x﹣3y﹣4＝0
∵x﹣y+1＝0过M点 即MP重合 不构成三角形，∴3x﹣3y﹣4＝0满足题意．
故答案为
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查垂心的几何性质，考查韦达定理的应用，属于中档题.
例7、（2020.辽宁省高三期末）已知分别是双曲线的左、右焦点，过点且垂直于实轴的直线与双曲线的两条渐近线分别相交于两点，若坐标原点恰为的垂心（三角形三条高的交点），则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，则双曲线的渐近线为，
则当时，；设
∵若坐标原点恰为△ABF2的垂心，∴OA⊥BF2，即，
即，则，即，
∵ ∴，则，则离心率，故选C．
点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于的方程或不等式，再根据的关系消掉得到的关系式，而建立关于的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.
例8、（2019云南省曲靖二中模拟16题）已知内接于抛物线，其中O为原点，若此内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，则的外接圆方程为_____.
【答案】
【解析】∵抛物线关于x轴对称，内接三角形的垂心恰为抛物线的焦点，三边上的高过焦点，
∴另两个顶点A，B关于x轴对称，即△ABO是等腰三角形，
作AO的中垂线MN，交x轴与C点，而Ox是AB的中垂线，
故C点即为△ABO的外接圆的圆心，OC是外接圆的半径，
设A（x1，2），B（x1，﹣2），连接BF，则BF⊥AO，
∵kBF，kAO，∴kBF•kAO＝•1，
整理，得x1（x1﹣5）＝0，则x1＝5，（x1＝0不合题意，舍去），
∵AO的中点为（，），且MN∥BF，∴直线MN的方程为y（x），
当x1＝5代入得2x+4y﹣90，∵C是MN与x轴的交点，∴C（，0），
而△ABO的外接圆的半径OC，于是得到三角形外接圆方程为（x）2+y2＝（）2，
△OAB的外接圆方程为：x2﹣9x+y2＝0，故答案为x2﹣9x+y2＝0．

【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查了两直线垂直与斜率的关系，是中档题
例9、（2018年福建预赛）已知、分别为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，且的垂心为．则椭圆C的方程为 ；
【答案】
【解析】设，．由的垂心为，得．
所以，，解得．
由点在椭圆上，得．结合，解得，．
所以椭圆的方程为．
例10．（2020.成都市高三期中）若△OAB的垂心恰是抛物线y2=4x的焦点，其中O是原点，A、B在抛物线上，则△OAB的面积S=____________ .
【答案】
【详解】抛物线的焦点为F(1，0).因F为△OAB的垂心，则OF⊥AB，
故可设A、B的坐标为.于是OA的方程为ay=2x，.
BF的斜率，据，得，
因此，h=a2=5，所以.故答案为：．
例11．如图所示，已知圆O：x2＋y2＝4与y轴的正方向交于A点，点B在直线y＝2上运动，过点B作圆O的切线，切点为C，则△ABC的垂心H的轨迹方程为 ．

【答案】
【分析】设垂心的坐标，根据条件，建立方程关系，即可求出H的轨迹方程．
【详解】设H(x，y)，C(x′，y′)，由题意知AH⊥BC，CH⊥AB，BC是切线，OC⊥BC，
所以OC∥AH，CH∥OA，OA＝OC，所以四边形AOCH是菱形．所以|CH|＝|OA|＝2，则
又C(x′，y′)满足x′2＋y′2＝4，所以x2＋(y－2)2＝4(x≠0)即是所求的轨迹方程．

【点睛】本题主要考查轨迹的求解方法，考查学生的计算能力．
例12．平面直角坐标系xOy中，双曲线：的两条渐近线与抛物线C：交于O，A，B三点，若的垂心为的焦点，则的离心率为　　
A． B． C．2 D．
【答案】B
【分析】由三角形垂心的性质，得，即，由此可得的离心率．
【解析】联立渐近线与抛物线方程得，，抛物线焦点为，
由三角形垂心的性质，得，即，
所以，所以，所以，所以的离心率为．故选B．
【点睛】本题考查双曲线的性质，联立方程组，根据三角形垂心的性质，得是解决本题的关键，考查学生的计算能力．














课后训练：
1．（2020·浙江高三月考）若曲线C：y2=4x．上一点A(x0,4)，是否存在直线m与抛物线C相交于两不同的点B,C，使ΔABC的垂心为H(8,0)．则直线m的方程为 ．
【答案】y=x-16.
分析：求出点A的坐标，然后假设存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为，再根据垂心的性质可得AC⊥BH，即AC⋅BH=0，于是联立直线与抛物线的方程并由韦达定理得到y1+y2,y1⋅y2，将其代入AC⋅BH=0即可求出直线的方程，最后检验其是否满足题意即可．
【解析】易求出抛物线上的点A(4,4)，假设存在直线与抛物线相交于两不同的点，使的垂心为，设B(x1,y1),C(x2,y2),显然直线AH的斜率为-1，则直线的斜率为1，设直线的方程是y=x+b，由y2=4xy=x+b,消去x化简得：y2-4y+4b=0, ∴y1+y2=4,y1⋅y2=4b,Δ=16-16b>0，即b<1.因为的垂心为，所以AC⊥BH,∴AC⋅BH=(x1-8)(x2-4)+y1(y2-4)=0.即x1x2-4x1-8x2+y1y2-4y1+32=0, ∴y12y2216-4(y1-b)-8(y2-b)+y1y2-4y1+32=0 ∴y12y2216+y1y2-8(y1+y2)+12b+32=0，∴b2+16b=0,∴b=0或b=-16.
当b=0时，直线的方程是y=x，过点A(4,4)，不合题意，舍去，
所以存在这样的直线，其方程是y=x-16.

考点：1、抛物线的定义与标准方程；2直线与抛物线的相交问题．
2．双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，解得，根据计算得到答案.
【详解】设，则 解得：，同理
，根据得到 解得 故选：
【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.
3．已知双曲线：(，)的渐近线与抛物线：()交于点、、，若的垂心为抛物线的焦点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设所在的直线方程为，则所在的直线方程为，联立，求得点的坐标，再根据是的垂心，由求解.
【详解】设所在的直线方程为，则所在的直线方程为，
解方程组得：，则点的坐标为，抛物线的焦点的坐标为，
∵是的垂心，∴，∴，即，
∴，解得，故选：A.
4．（2020·武邑高三（理））在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设， ， 焦点为，由题意，即，所以，又， ， ， ， ，而，即， ， ， ，所以，故选C．
5．（2019·浙江高三期末）已知点在抛物线上，点是抛物线的焦点，线段的中点为.若点的坐标为，且是的垂心，则直线的方程 ；

【答案】；
【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，求得的斜率，可得的斜率，设的方程，联立抛物线方程，运用判别式大于0和韦达定理，运用两直线垂直的条件，可得的方程，求得的值，即可得到所求直线方程；
【详解】的焦点，准线方程为，
，为的垂心，可得，即有，
设的方程为，代入抛物线方程可得：
，可得，
由，可得，，
化简可得，即为，解得，
由，可得，则的方程为；
【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质、三点共线取得最小值和三角形的垂心的定义，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理求解.
6．如图，已知直线与抛物线相交于两点，，且.设动点P满足的垂心恰好是，记点C到直线AB距离为d，若，求实数的值.

【答案】，或.
【分析】先求得，由E是的垂心，得，且，设，通过向量的坐标运算求得，，进而求得，再由求得即可.
【详解】易得.因为E是的垂心，所以，且.
由得，即①.
设，则②，
又，，
所以③，
由①②③得：，即，
同理：由可得：.
所以，是方程的两组解，故此方程表示直线.
又因为直线，所以，，
解得：，.所以.
所以.
①当时，，解得.
②当时，，解得.
综上所述：，或.
【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，考查学生的计算能力，属于综合题.
7．已知点是抛物线上的一点，过点作两条直线与，分别与抛物线相交于异于点的两点．若直线的斜率为1且的垂心在轴上，则直线的方程 ．

【答案】.
【分析】分类讨论，根据韦达定理和斜率公式即可求出．
【详解】若直线AB的斜率为1，则直线PH的方程是，所以，
若直线AB的斜率为1，则设直线AB的方程为，
将直线AB代入抛物线方程可得：，
所以，，且，
因为，所以，将，代入
得，将，代入上面方程可得：，
由此方程解得：或舍，所以直线AB的方程是．
【点睛】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
8．在平面直角坐标系中，椭圆经过点，且点与椭圆的左、右顶点连线的斜率之积为.若椭圆上存在两点，使得的垂心（三角形三条高的交点）恰为坐标原点，则直线的方程 .

【答案】（
【分析】根据题意，得到，求出，即可得出椭圆方程；设，，根据题意，得到，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，根据判别式，以及根与系数关系，由题意，得到，求出，即可得出结果.
【详解】由题意，得，解得，所以椭圆的方程为.
设，.因为，而，所以，
故可设直线的方程为.
联立，消去，得，
首先，由得，解得.（*）且，.
又，所以，得，
即，整理得，，
所以，
即，解得或（均适合（*）式）.
当时，直线恰好经过点，不能构成三角形，不合题意，故舍去.
所以直线的方程为.
【点睛】本题主要考查求椭圆的标准方程，以及求椭圆中满足题意的直线方程问题，熟记椭圆的标准方程，以及椭圆的简单性质即可，属于常考题型，计算量较大.
9．（2020·江西高三（理））已知抛物线：．若直线是经过定点的一条直线，且与抛物线交于，两点，过定点作的垂心与抛物线交于，两点，则四边形面积的最小值 ．
【答案】20
分析：先求出四边形面积的，再换元求函数的最小值.
【解析】设直线的方程为（），设，，
联立得，则，，
∴，
设，，同理得，
则四边形的面积 ，
令（），则，
是关于的增函数，故，当且仅当时取得最小值20．
点睛：解答本题的关键有二，其一是求出四边形面积的表达式，这里计算量比较大，所以要求计算准确,其二是怎么求的最小值，这里需要换元，利用复合函数和二次函数的图像和性质解答.
10．已知分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限.记直线的斜率分别为，当取得最小值时，的垂心到轴的距离为______．
【答案】
【分析】易证，利用基本不等式求解取最小值时，进而得的方程为，与双曲线联立解得的坐标为由，得=0，向量坐标化解得y即可
【详解】易证，则，当且仅当，即时，等号成立，此时直线的方程为，与联立，得，解得或（舍去），则的坐标为，设的垂心的坐标为，由，得，解得，则到轴的距离为.故答案为2
【点睛】本题考查双曲线的综合，考察抽象概括能力与运算求解能力，掌握双曲线的常见二级结论，转化垂心为垂直关系是关键，是中档题
11．平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：(a＞0，b＞0)的渐近线与抛物线C2：x2＝2py(p＞0)交于点O，A，B.若△OAB的垂心为C2的焦点，且点双曲线上，则双曲线的方程为： 。
【答案】
【解析】双曲线的渐近线为.
由得.由得.
∵为△OAB的垂心，.即，解得，
因为点双曲线上，所以得到：
即双曲线方程为：
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，将垂心转化为斜率相乘为-1是解题的关键，意在考查学生的计算能力.
12．双曲线的渐近线与抛物线相交于，，，若的垂心为的焦点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则 解得：，
同理 ，根据得到
解得 故选：
【点睛】本题考查了双曲线和抛物线的综合题型，意在考查学生的计算能力.
13．已知椭圆:．直线与椭圆交于两点．若椭圆的右焦点恰好为的垂心，则直线的方程为 ．
【答案】．
【解析】易知直线的斜率为，从而直线的斜率为．
设直线的方程为，，，，
由得．
根据韦达定理，，．
于是
解之得或．
当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意；
当时，经检验知和椭圆相交，符合题意．
所以，当且仅当直线的方程为时，点是的垂心．
14．（2019河北省邯郸市一模16题）已知分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限.记直线的斜率分别为，当取得最小值时，的垂心到轴的距离为______．
【答案】
【解析】易证，则，
当且仅当，即时，等号成立，此时直线的方程为，
与联立，得，解得或（舍去），则的坐标为，
设的垂心的坐标为，由，得，
解得，则到轴的距离为.故答案为2
【点睛】本题考查双曲线的综合，考察抽象概括能力与运算求解能力，掌握双曲线的常见二级结论，转化垂心为垂直关系是关键，是中档题
15． 数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心，依次在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC的顶点A(2，0),B(0，4)，若其欧拉线方程为x-y+2=0，则顶点C的坐标是         ．
【答案】
【解析】设，由重心坐标公式得，的重心为,
代入欧拉线方程得：,整理得： ①
的中点为，，
的中垂线方程为，即．
联立，解得.．的外心为．
则，整理得： ②
联立①②得：或．
当时重合，舍去．∴顶点的坐标是．
考点：1新概念问题;2三角形的外心,重心,垂心.
16．平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_______________
【答案】
【解析】设 所在的直线方程为 ,则 所在的直线方程为,
解方程组 得： ，所以点 的坐标为 ,
抛物线的焦点 的坐标为: .因为是 的垂心，所以 ,
所以， .所以， .
考点：1、双曲线的标准方程与几何性质；2、抛物线的标准方程与几何性质.
17．设抛物线C：（）的焦点为F，已知P，Q，T为抛物线C上三个动点，且满足F为的重心，三边，，的中点分别为，，，分别过，，作抛物线C准线的垂线，垂足分别为，，，若，则（ ）
A．2 B．3
C．4 D．6
【答案】C
【分析】设P，Q，T的横坐标分别为，，，过点P，Q作抛物线C准线的垂线，垂足分别为
，，运用梯形中位线定理，结合抛物线的定义求出的表达式，同理求出的表达式，最后利用已知进行求解即可.
【详解】设P，Q，T的横坐标分别为，，，过点P，Q作抛物线C准线的垂线，垂足分别为
，，在梯形中，，由抛物线定义知，，故.同理可知，，
故.再由焦半径公式可得
，又，故，解得.故选：C

【点睛】本题考查了抛物线的定义的应用，考查了梯形中位线定理，考查了数学运算能力.
18．已知椭圆的上顶点为，右焦点为，直线与椭圆交于、两点.使得点是的垂心.则直线的方程为 .
【答案】
【解析】假设存在满足条件的直线，使得点是△的垂心.由、，知直线的
斜率为.于是，由，知直线的斜率为1.设直线的方程为.
由消去，得.设、，根据韦达定理得
，.由，知.
而，，则

.
解得或.
当时，点即为直线与椭圆的交点，不合题意.
因此，所求直线的方程为.