专题01 圆锥曲线与重心问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题1、圆锥曲线与重心问题

从近几年圆锥曲线的命题风格看，既注重知识又注重能力，既突出圆锥曲线的本质特征。而现在圆锥曲线中面积、弦长、最值等几乎成为研究的常规问题。“四心”问题进入圆锥曲线，让我们更是耳目一新。因此在高考数学复习中，通过让学生研究三角形的“四心”与圆锥曲线的结合问题，快速提高学生的数学解题能力，增强学生的信心，备战高考．

三角形的重心：三角形三条中线的交点。

知识储备:

（1）G是的重心；重心坐标；

（2）G为的重心，P为平面上任意点，则；

（3）重心是中线的三等分点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1；

（4）重心与三角形的3个顶点组成的3个三角形的面积相等，即重心到3条边的距离与3条边的长成反比；

经典例题

例1、（2019成都市树德中学高三二诊12题）抛物线的焦点为，点、、在上，且的重心为，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

例2．（2020·浙江高三月考）已知，，是第一象限内的点，且满足，若是的内心，是的重心，记与的面积分别为，，则（    ）

A． B． C． D．与大小不确定

例3．（2020·湖南长郡中学高三期中）已知、为椭圆的左、右焦点，的椭圆上一点（左右顶点除外），为为重心.若恒成立，则椭圆的离心率的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

例4．（2020·全国高二单元测试）已知、分别是双曲线的左、右顶点，为上一点，且在第一象限．记直线，的斜率分别为，，当取得最小值时，的重心坐标为（    ）

A． B． C． D．

例5．已知椭圆的右焦点为，上顶点为，则的坐标为_____________，直线与椭圆交于，两点，且的重心恰为点，则直线斜率为_____________.

例6．（2020·上海高三专题练习）已知直线交椭圆 于两点，椭圆与轴的正半轴交于点，若的重心恰好落在椭圆的右焦点上，则直线的方程是__________．

例7、（2020年石家庄高三模拟12题）已知抛物线：的焦点为，，，为抛物线上的三个动点，其中且，若为的重心，记三边，，的中点到抛物线的准线的距离分别为，，，且满足，则所在直线的斜率为（    ）

A．1 B． C．2 D．3

例8、（2019年衡水中学高三半期11题）在双曲线：的右支上存在点，使得点与双曲线的左、右焦点，形成的三角形的内切圆的半径为，若的重心满足，则双曲线的离心率为（   ）

A． B． C． D．

例9、（2020年绵阳南山中学高三月考16题）已知为双曲线：上一点，、为双曲线的左、右焦点，、分别为的重心、内心，若轴，则内切圆的半径为         。

例10、（2020年湖北省统一联考16题）已知椭圆C：1（ab0）的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C上不与左右顶点重合的动点，设I，G分别为△PF1F2的内心和重心.当直线IG的倾斜角不随着点P的运动而变化时，椭圆C的离心率为_____.

例11、（2018年北京师大附中高三月考11题）已知椭圆的左右焦点为F1、F2，点P为椭圆上一点，△F1PF2的重心、内心分别为G、I，若，则椭圆的离心率e等于

A.     B.    C.    D.

例12、在直角坐标系中，已知椭圆C:的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点， 若的重心为，且，则直线的方程为         ．

课后训练：

1、（2020年成都市外国语学校12题）设F为抛物线的焦点，为抛物线上不同的三点，点是△ABC的重心，为坐标原点，△、△、△的面积分别为、、，则（ ）

A．9 B．6 C．3 D．2

2、已知为抛物线的焦点，，，为抛物线上三点，当时，

称为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（    ）

A．0个 B．1个 C．3个 D．无数个

3．（2020·湖南高三月考（理））设直线与椭圆相交于，两点，为椭圆的左顶点，若的重心在轴右侧，则的取值范围是            ．

4．(2020年吉林省三模12题)设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（    ）

A． B． C． D．

5．已知抛物线的焦点是F,点A、B、C在抛物线上,为坐标原点,若点F为△ABC的重心,△、△、△面积分别记为则的值为（  ）

A． B． C． D．

6．设点为椭圆：上一点，分别是椭圆的左右焦点，为的重心，且，那么的面积为___________．

7.设，分别为椭圆的右顶点和右焦点，，为椭圆短轴的两个端点，若点恰为的重心，则椭圆的离心率的值为__________.

8.（2020届都江堰一诊模拟12）已知A是双曲线的左顶点，左右焦点为，为双曲线上一动点，G是三角形PF1F2的重心，若，则双曲线的离心率为（   ）

A．2          ．3            C．4          D．与的取值有关

9．（2020年重庆市南开中学三诊）已知是抛物线的焦点，，在抛物线上，且的重心坐标为，则__________．

10．已知△ABC是椭圆的内接三角形，F是椭圆的上焦点，且原点O是△ABC的重心．求A，B，C三点到F距离之和为              ；

11、 在直角坐标系中，已知椭圆的左右焦点分别为，，过且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设的重心为，若，则直线的方程为   ．

12．已知是以为焦点的双曲线上的动点，则的重心的轨迹方程为（ ）

A．  B． C．  D．

13．已知抛物线上有三点，的斜率分别为3，6，，则的重心坐标为（  ）

A． B． C． D．

14．（2020·浙江高三模拟）已知椭圆C：，为左右焦点，点在椭圆C上，△的重心为，内心为，且有（为实数），则椭圆方程为 （      ）

A．     B．   C．    D．

15．（2020·河南郑州外国语学校高二期中）设点为椭圆上一点，、分别是椭圆的左、右焦点，且的重心为点，如果，那么的面积为（    ）

A． B． C． D．

16．抛物线的焦点为，是抛物线上两点，且，为坐标原点，若的重心为，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

17．（2020·福建高三）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，过作直线与交于两点．若，则重心的横坐标为（  ）

A． B．2 C． D．3

18．已知抛物线：（），从点（）发出，平行于轴的光线与交于点，经反射后过的焦点，交抛物线于点，若反射光线的倾斜角为，，则的重心坐标为（    ）

A． B． C． D．

19．（2020·浙江高考模拟）设双曲线在左右焦点分别为，若在曲线的右支上存在点，使得的内切圆半径，圆心记为，又的重心为，满足平行于轴，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

20．（2020·重庆巴蜀中学高三月考（理））已知抛物线（），F为抛物线的焦点，O为坐标原点，，为抛物线上的两点，A，B的中点到抛物线准线的距离为5，的重心为F，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

21．（2020·北京市平谷区第五中学高二期中）已知实轴长为2的双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣2，0），F2（2，0），点B为双曲线C虚轴上的一个端点，则△BF1F2的重心到双曲线C的渐近线的距离为（　　）

A． B． C． D．

22．过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，已知，为原点，则重心的纵坐标为                ．

23．已知抛物线上有三个不同的点直线的斜率分别为.若满足：.且的重心在直线上.则（    ）

A． B． C． D．

24．已知双曲线：的左、右焦点为，，直线:与双曲线相交于，两点，，的重心分别为，，若以为直径的圆过原点，则（    ）

A．2 B． C． D．

25．已知点是右焦点为的双曲线上一点，若双曲线上存在两点，使得的重心恰好为右焦点，则直线方程为（    ）

A．  B．  C．  D．