专题02 圆锥曲线中的定点问题-2022年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题2 圆锥曲线中的定点问题

圆锥曲线中定点问题是比较常见出题形式，属于中等难度题目。采取常规平民化解法，计算是暴力美学范畴。主要的命题方向：直线方程过定点问题（分定点已知和定点未知两类），曲线过定点问题等。

解决这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．

方法1、直线方程过定点

技巧方法：1）动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝f（k），或直接求出m的值，故而得出动直线过定点． 上述动直线也可设为：x＝ty＋m.(斜率不为0)。

2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点。3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.

1）、直线方程过未知定点

1．（2021·广东高三专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆的左顶点，且，椭圆的离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若点，为椭圆上异于点的动点，设直线，的斜率分别为，，且，过原点作直线的垂线，垂足为点．问：是否存在定点，使得线段的长为定值？若存在，求出定点的坐标及线段的长；若不存在，请说明理由．

2．（2021·四川高三三模）已知动圆过定点，且在轴上截得弦的长为．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若在轨迹上，过点作轨迹的弦，，若，证明：直线过定点，并求出定点的坐标．

3．（2021·辽宁高三其他模拟）椭圆：的左右焦点分别为，，过且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，其中点在第一象限，，．

（1）求椭圆的标准方程；（2）A为椭圆上顶点，过A引两条直线，，斜率分别为，，若，，分别交椭圆另一点为，，求证：直线恒过定点．

4．（2021·浙江高三专题练习）已知抛物线C的顶点在坐标原点，准线方程为，F为抛物线C的焦点，点P为直线上任意一点，以P为圆心，PF为半径的圆与抛物线C的准线交于A、B两点，过A、B分别作准线的垂线交抛物线C于点D、E. （1）求抛物线C的方程；（2）证明：直线DE过定点，并求出定点的坐标.

5．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高二期末）在平面直角坐标系中，已知直线被抛物线截得的弦长为，直线与抛物线相交于点，，点，且直线，的斜率之和为4.（1）求抛物线的方程；（2）求证：直线过定点，并求出定点坐标.

6．（2021·全国高三专题练习）已知点，，动点满足．记点的轨迹为曲线．（1）求的方程；（2）设为直线上的动点，过作的两条切线，切点分别是，．证明：直线过定点．

2）、直线方程过已知定点

技巧方法：此类问题解决较未知定点更为简单，可采用的手法更多。

常见题型：（1）已知定点在x、y轴；（2）定点完全已知。

1．（2021·全国高三专题练习）已知椭圆的离心率为，椭圆的中心O关于直线的对称点落在直线上．（1）求椭圆的方程；（2）设，M、N是椭圆上关于x轴对称的任意两点，连接交椭圆于另一点E，求直线的斜率范围并证明直线与x轴相交定点．

2．（2021·山东高三专题练习）已知椭圆的焦点在x轴上，且经过点，左顶点为D，右焦点为F．（1）求椭圆C的离心率和的面积；（2）已知直线与椭圆C交于A，B两点，过点B作直线的垂线，垂足为G，判断是否存在常数t，使得直线经过y轴上的定点？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

3．（2017·新课标高考真题）设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.（1）求点P的轨迹方程；（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.

4．（2021·安徽高三月考（理））已知圆：，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线和相交于点.（1）求点的轨迹方程.（2），是的轨迹方程与轴的交点（点在点左边），直线过点与轨迹交于，两点，直线与交于点，求证：动直线过定点.

5．（2021·北京房山区·高三一模）已知椭圆过点，离心率为.

（1）求椭圆的方程；（2）设点为椭圆的上顶点，、是椭圆上两个不同的动点（不在轴上），直线、的斜率分别为、，且，求证：直线过定点.

方法2、曲线过定点问题

技巧方法：动曲线C过定点问题，引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．

1．（2020·浙江高三专题练习）已知抛物线：经过点.（1）求抛物线的方程及其准线方程；（2）设过点的直线与抛物线交于，两点，若，轴.垂足为，求证：以为直径的圆恒过定点.

2．（2021·辽宁高三月考）已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，椭圆的左、右顶点分别为，，且．

（1）求椭圆的标准方程；（2）过的直线与椭圆相交于点，（不与顶点重合），过右顶点分别作直线，与直线相交于，两点，以为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由．

3．（2020.山西大学附中高二年级月考）已知椭圆过点，且离心率为.

（1）求椭圆的方程；（2）为椭圆的左右顶点，点是椭圆上异于的动点，直线分别交直线于两点.证明：以线段为直径的圆恒过轴上的定点.

4、（2021.成都七中高三月考）已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，椭圆与抛物线在第一象限的交点为，．圆的圆心是抛物线上的动点，圆与轴交于两点，且．（1）求椭圆的方程；（2）证明:无论点运动到何处，圆恒经过椭圆上一定点．

课后训练:

1．（2021·全国高三其他模拟）已知椭圆：过点，其右顶点为，下顶点为，且，若作与轴不重合且不平行的直线交椭圆于，两点，交轴于点（异于点），直线，分别与轴交于，两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）当，的横坐标的乘积是时，试探究直线是否过定点？若过定点，请求出定点；若不过，请说明理由．

2．（2021·江西高三其他模拟）设椭圆：，为原点，椭圆的右顶点和上顶点分别为、，点，椭圆的离心率为，且．（1）求椭圆的方程；

（2）不与轴平行的直线与椭圆交于不同点、，已知点关于轴对称点为点，点关于原点的对称点为点，且、、三点共线，求证：直线过定点．

3．（2021·江苏高三月考）在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率是，焦点到相应准线的距离是3. （1）求，的值；（2）已知､是椭圆上关于原点对称的两点，在轴的上方，，连接､并分别延长交椭圆于､两点，证明：直线过定点.

4．（2021·北京海淀区·高三一模）已知椭圆M：（a＞b＞0）过A（－2，0），B（0，1）两点．

（1）求椭圆M的离心率；（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．

5．（2021·江西高三其他模拟）已知椭圆：，直线l：过椭圆的左焦点F，与椭圆在第一象限交于点M，三角形的面积为，A、B分别为椭圆的上下顶点，P、Q是椭圆上的两个不同的动点（1）求椭圆的标准方程；（2）直线的斜率为，直线的斜率为，若，问直线是否过定点，若过定点，求出定点；否则说明理由.

6．（2021·辽宁高三二模）已知点为椭圆：的右焦点，，分别为椭圆的左､右顶点，椭圆上异于，的任意一点与，两点连线的斜率之积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的两条弦，相互垂直，若，，求证：直线过定点.

7．（2021·全国高三月考）已知是椭圆：的右焦点，直线交椭圆于，两点，交轴于点，，，．（1）求椭圆的离心率；（2）点与关于轴对称，，求直线与轴交点的坐标．

8．（2020·全国高考真题（理））已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；（2）证明：直线CD过定点.

9．（2021·全国高三专题练习（文））已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.（1）求曲线的轨迹方程；（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于,求证：直线经过定点.

10．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高三三模（理））已知抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，点的横坐标为2，且，，是抛物线上异于的两点．（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线，的斜率之积为，求证：直线恒过定点．

11．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三其他模拟（理））如图，已知抛物线C：的焦点为F，，，，四点都在抛物线上，直线AP与直线BQ相交于点F，且直线AB的斜率为1．（1）求和的值；（2）证明直线PQ过定点，并求出该定点．

12．（2021·湖北高三月考）已知动点P在x轴及其上方，且点P到点的距离比到x轴的距离大1.

（1）求点P的轨迹C的方程；（2）若点Q是直线上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两切线QA､QB，其中A､B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标.

13．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·高三一模（理））已知抛物线的焦点是椭圆的一个顶点.（1）求抛物线的方程；（2）若点，、为抛物线上的不同两点，且，问：直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.

14．（2021·全国高三专题练习）设O为坐标原点，抛物线与过点的直线相交于P，Q两个点．（1）求证：；（2）试判断在x轴上是否存在点M，使得直线PM和直线QM关于x轴对称．若存在，求出点M的坐标．若不存在，请说明理由．

15．（2021·安徽黄山市·高三二模（理））已知椭圆，其短轴长为，离心率为，双曲线（，）的渐近线为，离心率为，且．

（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，动直线（不垂直于坐标轴）交椭圆于，不同两点，设直线和的斜率为，，若，试探究该动直线是否过轴上的定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由．

16．（2021·陕西高三二模（理））已知椭圆：的短轴长为2，离心率为，左顶点为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若不与轴平行的直线交椭圆于两点，试问：在轴上是否存在定点，当直线过点时，恒有，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

17．（2021·广东韶关市·高三一模）已知抛物线：的焦点是，若过焦点的直线与相交于，两点，弦长的最小值为4.（1）求抛物线的方程；（2）设，是抛物线上两个不同的动点，为坐标原点，若，，为垂足，证明：存在定点，使得为定值.

18．（2021·全国高三专题练习）设抛物线的焦点为，已知直线：，圆：.（1）设直线与圆的交点分别为，，求当取得最小值时，直线的方程；（2）若抛物线过圆的圆心，直线，过同一定点且与抛物线相交于，和，点，，设是的中点，是的中点，证明：直线恒过定点.

19．（2020·上海杨浦区·复旦附中高二期末）已知动圆过点，并且与圆：相外切，设动圆的圆心的轨迹为.（1）求曲线的方程；（2）过动点作直线与曲线交于两点，当为的中点时，求的值；（3）过点的直线与曲线交于两点，设直线：，点，直线交于点，求证：直线经过定点，并求出该定点的坐标.

20．（2021·江西南昌市·高三一模（理））已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为。（1）求曲线的轨迹方程；（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，设点，直线交于,求证：直线经过定点.

21．（2021·江苏苏州市·高三月考）已知圆，点，P是圆E上一点，线段PF的垂直平分线与直线EP相交于点Q．（1）若m=2，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹是什么？说明理由；

（2）若m=1，点P在圆E上运动时，点Q的轨迹记为曲线C．过E点作两条互相垂直的直线，与曲线C交于两点A、B，与曲线C交于两点C、D，M为线段AB的中点，N为线段CD的中点．试问，直线MN是否过定点？若过定点，并求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由．

22．（2020·河南鹤壁市·鹤壁高中（文））已知双曲线：的右焦点为，半焦距，点到右准线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，，设，的中点分别为，.（1）求双曲线的标准方程；（2）证明：直线必过定点，并求出此定点坐标.

23．（2021·贵州高三其他模拟（理））已知，是椭圆：的左，右焦点，是上一点，，的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过作两条互相垂直的直线与分别交于和，若分别为和的中点.证明：直线恒过定点，并求出定点坐标.

24．（2020·重庆一中高三月考）椭圆（）的离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线与椭圆有且只有一个公共点，且直线与直线和分别交于两点，试探究以线段为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点，若不恒过定点，请说明理由.

25．（2020·黑龙江哈师大附中高三期末（理））椭圆的左右焦点分别为.直线，若椭圆过点.（1）求椭圆的方程；（2）若为椭圆的左、右顶点，为椭圆上一动点，设直线分别交直线于点，则以线段为直径的圆是否恒过定点，若是，求出该定点坐标；若不恒过定点，说明理由.