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2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学七年级（下）期中数学试卷（含解析）
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这是一份2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知某种植物花粉的直径为0.000079米，用科学记数法表示该种花粉的直径是( )
A. 7.9×10−6米B. 7.9×10−5米C. 7.9×10−4米D. 7.9×104米
2.下列计算正确的是( )
A. a3⋅a4=a12B. (a3)4=a12C. (a2b)3=a5b3D. a3÷a4=a
3.如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中，能判断AB//CD的是( )
A. ∠3=∠4
B. ∠1=∠4
C. ∠D=∠DCE
D. ∠D+∠ABD=180°
4.下列各式能用平方差公式计算的是( )
A. (2x+y)(2y−x)B. (−a+1)(−a−1)
C. (x+y)(x−2y)D. (2a−1)(−2a+1)
5.如图，AB//CD，CA平分∠DCB，且∠B=110°，则∠A的度数为( )
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 70°
6.如图，有甲、乙、丙三种地砖，其中甲、乙是正方形，边长分别为a、b，丙是长方形，长为a，宽为b(其中a>b)，如果要用它们拼成若干个边长为(3a+b)的正方形，那么应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是( )
A. 无法确定B. 2：1：2C. 3：1：2D. 9：1：6
7.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是( )
A. 8x+3=y7x−4=y
B. 8x−3=y7x+4=y
C. 8x+3=y7x+4=y
D. 8x−3=y7x−4=y
8.某商店积压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原价每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%.经过两次降价后的价格n元与原价m元比较( )
A. 原价m高B. 两次降价后的价格n高
C. 两个价格相同D. 不能确定
9.利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是( )
A. 73cmB. 74cmC. 75cmD. 76cm
10.某校组织一批学生去研学，若单独租用45座新能源客车若干辆，则有15人没有座位；若单独租用35座新能源客车，则用车数量将增加2辆，并空出15个座位．现在要求同时租用45座和35座两种车型的新能源客车，既保证每人有座位，又保证每辆车不空座位，则需45座和35座两种车型的数量分别为( )
A. 3辆、2辆B. 2辆、3辆C. 1辆、4辆D. 4辆、1辆
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
11.计算：(12)−1=______．
12.已知二元一次方程2x+3y=2，用含x的代数式表示y，则y= ______．
13.若(1+x)(2x2+mx+5)的计算结果中x2项的系数为−3，则m= ______．
14.已知关于x，y的多项式x2−2kxy+16y2是完全平方式，则k=______．
15.若3x=4，9y=7，则3x−2y的值为______．
16.如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，设∠1为x度，请用关于x的代数式表示∠α的度数，∠α= ______．
17.已知方程组2a−3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，则方程组2(x−1)−3(y+2)=133(x−1)+5(y+2)=30.9的解是______．
18.若(t−3)2−2t=1，则t的值为______．
19.已知关于x，y的二元一次方程(m+1)x+(2m−1)y+2−m=0，无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是
．( )
A.x=1y=−1
B.y=1x=−2
C.x=−1y=1
D.y=2x=−1
20.小明把一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，固定三角尺ABC，将另一块三角尺DEF，绕公共顶点B按顺时针方向旋转.旋转的度数不超过180度，若两块三角尺有一边平行，则三角尺DEF旋转的度数可能是______．
三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
先化简，再求值：(x+y)2−(x−y)2，其中x=−2，y=−12．
22.(本小题8分)
如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且∠CDE=∠B．
(1)若DF⊥AB，试判断DF与DE是否垂直，并说明理由；
(2)若FD平分∠BFE，∠FDE+3∠AFE=180°，求∠BFE的度数．
23.(本小题8分)
(1)若a−b=2，ab=1，求a2+b2的值．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(2)已知△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC边向外侧作正方形.如图所示，设AD=6，两正方形的面积和为20，求△ABC的面积．
24.(本小题8分)
某牛奶加工厂现有鲜奶10吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获取利润2000元.该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨.受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该工厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
25.(本小题10分)
对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x−y|=1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，
(1)方程组x+2y=7x=y+1的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
(2)若方程组4x−y=62x+y=4m的解x与y具有“邻好关系”，求m的值：
(3)未知数为x，y的方程x+ay=72y−x=5，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．
26.(本小题10分)
(1)利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2−ab−bc−ac=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]，
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
①请你检验这个等式的正确性．
②若a=2023，b=2024，c=2025，求出a2+b2+c2−ab−bc−ac的值．
(2)利用我们学过的知识，尝试解决问题：若a2+b2+c2=89，a+b+c=9，求出ab+bc+ac的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：0.000079=7.9×10−5，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】B
【解析】解：A、a3⋅a4=a7，故A错误；
B、(a3)4=a12，故B正确；
C、(a2b)3=a6b3，故C错误；
D、a3÷a4=−a−1，故D错误；
故选B．
根据幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方进行计算即可．
本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠3=∠4，
∴AC//BD，
故A不符合题意；
∵∠1=∠4，
不能判断AB//CD，
故B不符合题意；
∵∠D=∠DCE，
∴AC//BD，
故C不符合题意；
∵∠D+∠ABD=180°，
∴AB//CD，
故D符合题意；
故选：D．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵(2x+y)(2y−x)不符合平方差公式的特点，
∴选项A不符合题意；
∵(−a+1)(−a−1)=(−a)2−12，
∴选项B符合题意；
∵(x+y)(x−2y)不符合平方差公式的特点，
∴选项C不符合题意；
∵(2a−1)(−2a+1)=−(2a−1)2，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠DCB+∠B=180°，
∵∠B=110°，
∴∠DCB=180°−∠B=180°−110°=70°，
∵CA平分∠DCB，
∴∠ACD=12∠DCB=35°，
∵AB//CD，
∴∠A=∠ACD=35°．
故选：A．
由AB//CD，∠B=110°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠DCB的度数，又由CA平分∠DCB，即可求得∠ACD的度数，然后由两直线平行，内错角相等，求得∠A的度数．
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的运用．
6.【答案】D
【解析】解：根据公式(3a+b)2=9a2+6ab+b2，可知应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是9：1：6．
故选D．
拼成一个边长为(3a+b)的正方形所需的甲、乙、丙三种地砖的块数之比即为所求．利用拼图或者公式(3a+b)2=9a2+6ab+b2都可以得出问题的答案．
本题主要考查了完全平方公式和正方形的面积公式，利用完全平方公式是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：设人数为x人，物价为y钱，
依题意得：8x−3=y7x+4=y．
故选：B．
设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意得：
n=m(1+50%)(1−30%)(1−10%)=0.945m(元)；
m>0.945m
所以原价m高．
故选：A．
先算出加价50%以后的价格，再求第一次降价30%的价格，最后求出第二次降价10%的价格，从而得出答案．
此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，列出代数式，是一道基础题．
9.【答案】D
【解析】解：设桌子的高度为x cm，木块截面(图中阴影部分)长比宽多y cm，
依题意得：x+y=80x−y=72，
解得：x=76y=4，
∴桌子的高度为76cm．
故选：D．
设桌子的高度为x cm，木块截面(图中阴影部分)长比宽多y cm，观察两个图形，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程(或一元一次方程)是解题的关键．
设租用45座新能源客车x辆，根据参与研学师生人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入(45x+15)中可求出参与研学师生人数，设需m辆45座新能源客车，n辆35座新能源客车，根据“要保证每人有座位，又要保证每辆车不空座位”，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为整数，即可得出保证每人有座位，又保证每辆车不空座位．
【解答】
解：设租用45座新能源客车x辆，
依题意得：45x+15=35(x+2)−15，
解得：x=4，
所以45x+15=45×4+15=195．
设需m辆45座新能源客车，n辆35座新能源客车，
依题意得：45m+35n=195，
所以n=39−9m7．
又因为m，n均为整数，
所以m=2n=3，
所以需2辆45座新能源客车，3辆35座新能源客车．
故选：B．
11.【答案】2
【解析】解：原式=112=2.故答案为2．
根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．
负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
12.【答案】2−2x3
【解析】解：∵2x+3y=2，
∴y=2−2x3，
故答案为：2−2x3．
把x看作已知，求出y的值即可得到答案．
本题主要考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
13.【答案】−5
【解析】解：∵(1+x)(2x2+mx+5)=2x3+(2+m)x2+(5+m)x+5，
又∵结果中x2项的系数为−3，
∴2+m=−3，
解得m=−5．
根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加计算，然后列式求解即可．
本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．
14.【答案】4和−4
【解析】解：∵x2−2kxy+16y2=x2−kxy+(4y)2，
∴−2kxy=±2x×4y，
解得k=±4．
故答案为：4和−4．
根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出k值．
本题主要考查了完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键．
15.【答案】47
【解析】解：3x−2y=3x÷32y=3x÷9y=47．
故答案是：47．
根据3x−2y=3x÷32y=3x÷9y即可代入求解．
本题考查了同底数的幂的除法运算，正确理解3x−2y=3x÷32y=3x÷9y是关键．
16.【答案】90°−12x°
【解析】解：如图，
∵AB//CD，
∴∠5=∠1=x°，∠3=∠α，
∵将一条上下两边互相平行的纸带折叠
∴∠3=∠4=12(180°−∠5)=90°−12×x°，
∴∠α=∠3=90°−12×x°．
故答案为：90°−12x°．
利用平行线的性质以及翻折不变性解决问题即可．
本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】x=9.3y=−0.8
【解析】解：在方程组2(x−1)−3(y+2)=133(x−1)+5(y+2)=30.9中，设x−1=a，y+2=b，
则变形为方程组2a−3b=133a+5b=30.9，
∵方程组2a−3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，
∴x−1=8.3y+2=1.2，
解得x=9.3y=−0.8，
故答案为x=9.3y=−0.8．
由两个方程组可知，a=x−1，b=y+2，由a=8.3b=1.2，可以求得x、y的值，本题得以解决．
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是运用整体的数学思想解答问题．
18.【答案】1或2或4
【解析】解：①2−2t=0，t−3≠0，解得：t=1；
②t−3=1，解得：t=4；
③t−3=−1，2−2t为偶数，解得：t=2，
故答案为：1或2或4．
【分析】
根据零指数幂可得2−2t=0，t−3≠0，解可得t的值；根据1的任何次方都是1可得t−3=1；根据−1的偶次幂为1可得t的值．
此题主要考查了零指数幂，关键是注意要分类讨论，不要漏解．
19.【答案】C
【解析】解：
对原方程进行整理得：m(x+2y−1)+x−y+1=0，
令x+2y−1=0和x−y+1=0，则无论m取何值上式均成立，
联立x+2y−1=0x−y+1=0，解得x=−1，y=1．
则这个相同解为x=−1y=1，
故选C．
根据方程的特点确定出方程恒有的解即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
20.【答案】15°或45°或90°或135°
【解析】解：设旋转的度数为α，
若DE//AB，则∠E+∠ABE=180°，
∴∠E=∠ABE=90°，
∴α=90°−30°−45°=15°，
若BE//AC，则∠ABE=180°−∠A=120°，
∴α=120°−30°−45°=45°，
若BD//AC，则∠ACB=∠CBD=90°，
∴α=90°，
当点C，点B，点E共线时，
∵AC//DE，
∴∠ACB=∠DEB=90°，
∴α=180°−45°=135°，
故答案为：15°或45°或90°或135°．
分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
21.【答案】解：原式=[(x+y)+(x−y)][(x+y)−(x−y)]
=(x+y+x−y)(x+y−x+y)
=2x⋅2y
=4xy，
当x=−2，y=−12时，
原式=4×(−2)×(−12)
=4．
【解析】根据平方差公式以及整式的加减运算、乘法运算进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
22.【答案】解：(1)结论：DF⊥DE．
理由：∵∠B=∠CDE，
∴DE//AB，
∴∠DFA+∠FDE=180°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFA=90°，
∴∠FDE=90°，
∴DF⊥DE．
(2)∵FD平分∠BFE，
∴∠BFD=∠DFE=12∠BFE，
∵DE//AB，
∴∠FDE=∠DFB=∠DFE，
∴∠AFE=180°−2∠BFD，
∵∠FDE+3∠AFE=180°，
∴∠BFD+3(180°−2∠BFD)=180°，
∴∠DFB=72°，
∴∠BFE=2×72°=144°．
【解析】(1)结论：DF⊥DE.证明DE//AB，可得∠DFA+∠FDE=180°，再证明∠FDE=90°即可解决问题．
(2)根据已知条件，构建方程求出∠DFB即可．
本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)∵a−b=2，ab=1，
∴a2+b2=(a−b)2+2ab
=4+2
=6；
(2)设正方形ACGF的边长为a，正方形CDEB的边长为b，由于AD=6，即a+b=6，由于两个正方形的面积和为20，即a2+b2=20，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
∴36=20+2ab，
∴ab=8，
∴S△ABC=12ab=4．
【解析】(1)根据a2+b2=(a−b)2+2ab代入计算即可；
(2)设正方形ACGF的边长为a，正方形CDEB的边长为b，由题意可得a+b=6，a2+b2=20，根据(a+b)2=a2+b2+2ab求出ab的值，再由S△ABC=12ab进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
24.【答案】解：方案一：最多生产4吨奶片，其余的鲜奶直接销售，
则其利润为：4×2000+(10−4)×500=11000(元)；
方案二：设生产x天奶片，则生产(4−x)天酸奶，
根据题意得：x+3(4−x)=10，
解得：x=1，
3天生产酸奶，加工的鲜奶3×3=9吨，
则利润为：1×2000+3×3×1200=2000+10800=12800(元)，
得到第二种方案可以多得1800元的利润．
【解析】方案一：根据制成奶片每天可加工1吨，求出4天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶，求出利润；
方案二：设生产x天奶片，(4−x)天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，进而求出利润，比较即可得到结果．
此题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)x+2y=7①x=y+1②，
将②代入①得，y+1+2y=7，
解得y=2，
将y=2代入②得，x=3，
∴方程组的解为x=3y=2，
∴|x−y|=1，
∴程组的解x与y具有“邻好关系”；
(2)4x−y=6①2x+y=4m②，
①+②得，6x=6+4m，
∴x=1+23m，
将x=1+23m代入①得，y=−2+83m，
∴方程组的解为x=1+23my=−2+83m，
∵方程组的解x与y具有“邻好关系”，
∴|1+23m+2−83m|=1，
解得m=1或m=2；
(3)方程组的解x与y具有“邻好关系”，理由如下：
x+ay=7①2y−x=5②，
①+②得，(2+a)y=12，
解得y=122+a，
将y=122+a代入②得x=14−5a2+a，
∵a、y都是正整数，
∴2+a是12的公约数，
∵a、x都是正整数，
∴x=14−5a2+a=−5+24a+2，
∴2+a是24的公约数，
∴2+a=3或2+a=4或2+a=6或a+2=12，
∴a的值为1或2或4或10，
∵x>0，
∴a的值只能是1或2，
当a=1时，方程组的解为x=3y=4；
当a=2时，方程组的解为x=1y=3(舍)．
【解析】(1)用加减消元法解二元一次方程组后，再根据定义判断即可；
(2)用加减消元法解二元一次方程组后，再根据定义得到方程|1+23m+2−83m|=1，求出m的值即可；
(3)通过解方程组得到y=122+a，x=−5+24a+2，再由题意可知2+a是12的公约数，从而求出符合条件的a的值，再求方程组的解即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
26.【答案】解：(1)①等式右边=12(a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2)，
=12×2(a2+b2+c2−ab−bc−ac)，
=a2+b2+c2−ab−bc−ac=等式左边．
∴等式a2+b2+c2−ab−bc−ac=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]成立．
=a2+b2+c2−ab−bc−ac．
∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2].
②由(1)得，a2+b2+c2−ab−bc−ac=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2].
当a=2023，b=2024，c=2025时，a2+b2+c2−ab−bc−ac=]=12×[(−1)2+(−1)2+22]=3．
(3)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴ab+bc+ac=12[(a+b+c)2−(a2+b2+c2)]=12(81−890=−4．
【解析】(1)①根据完全平方公式进行计算；
②将a=2020，b=2021，c=2022代入求值；
(2)根据完全平方公式进行计算．
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
1.已知某种植物花粉的直径为0.000079米，用科学记数法表示该种花粉的直径是( )
A. 7.9×10−6米B. 7.9×10−5米C. 7.9×10−4米D. 7.9×104米
2.下列计算正确的是( )
A. a3⋅a4=a12B. (a3)4=a12C. (a2b)3=a5b3D. a3÷a4=a
3.如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中，能判断AB//CD的是( )
A. ∠3=∠4
B. ∠1=∠4
C. ∠D=∠DCE
D. ∠D+∠ABD=180°
4.下列各式能用平方差公式计算的是( )
A. (2x+y)(2y−x)B. (−a+1)(−a−1)
C. (x+y)(x−2y)D. (2a−1)(−2a+1)
5.如图，AB//CD，CA平分∠DCB，且∠B=110°，则∠A的度数为( )
A. 35°
B. 45°
C. 55°
D. 70°
6.如图，有甲、乙、丙三种地砖，其中甲、乙是正方形，边长分别为a、b，丙是长方形，长为a，宽为b(其中a>b)，如果要用它们拼成若干个边长为(3a+b)的正方形，那么应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是( )
A. 无法确定B. 2：1：2C. 3：1：2D. 9：1：6
7.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是( )
A. 8x+3=y7x−4=y
B. 8x−3=y7x+4=y
C. 8x+3=y7x+4=y
D. 8x−3=y7x−4=y
8.某商店积压了一批商品，为尽快售出，该商店采取如下销售方案：将原价每件m元，加价50%，再做两次降价处理，第一次降价30%，第二次降价10%.经过两次降价后的价格n元与原价m元比较( )
A. 原价m高B. 两次降价后的价格n高
C. 两个价格相同D. 不能确定
9.利用两块大小一样的长方体木块测量一张桌子的高度，首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置，测量的数据如图，则桌子的高度是( )
A. 73cmB. 74cmC. 75cmD. 76cm
10.某校组织一批学生去研学，若单独租用45座新能源客车若干辆，则有15人没有座位；若单独租用35座新能源客车，则用车数量将增加2辆，并空出15个座位．现在要求同时租用45座和35座两种车型的新能源客车，既保证每人有座位，又保证每辆车不空座位，则需45座和35座两种车型的数量分别为( )
A. 3辆、2辆B. 2辆、3辆C. 1辆、4辆D. 4辆、1辆
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
11.计算：(12)−1=______．
12.已知二元一次方程2x+3y=2，用含x的代数式表示y，则y= ______．
13.若(1+x)(2x2+mx+5)的计算结果中x2项的系数为−3，则m= ______．
14.已知关于x，y的多项式x2−2kxy+16y2是完全平方式，则k=______．
15.若3x=4，9y=7，则3x−2y的值为______．
16.如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，设∠1为x度，请用关于x的代数式表示∠α的度数，∠α= ______．
17.已知方程组2a−3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，则方程组2(x−1)−3(y+2)=133(x−1)+5(y+2)=30.9的解是______．
18.若(t−3)2−2t=1，则t的值为______．
19.已知关于x，y的二元一次方程(m+1)x+(2m−1)y+2−m=0，无论实数m取何值，此二元一次方程都有一个相同的解，则这个相同的解是
．( )
A.x=1y=−1
B.y=1x=−2
C.x=−1y=1
D.y=2x=−1
20.小明把一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，固定三角尺ABC，将另一块三角尺DEF，绕公共顶点B按顺时针方向旋转.旋转的度数不超过180度，若两块三角尺有一边平行，则三角尺DEF旋转的度数可能是______．
三、解答题：本题共6小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题6分)
先化简，再求值：(x+y)2−(x−y)2，其中x=−2，y=−12．
22.(本小题8分)
如图，在三角形ABC中，D，E，F分别是BC，AC，AB上的点，且∠CDE=∠B．
(1)若DF⊥AB，试判断DF与DE是否垂直，并说明理由；
(2)若FD平分∠BFE，∠FDE+3∠AFE=180°，求∠BFE的度数．
23.(本小题8分)
(1)若a−b=2，ab=1，求a2+b2的值．
根据上面的解题思路与方法解决下列问题：
(2)已知△ABC中，∠C=90°，分别以AC、BC边向外侧作正方形.如图所示，设AD=6，两正方形的面积和为20，求△ABC的面积．
24.(本小题8分)
某牛奶加工厂现有鲜奶10吨，若在市场上直接销售，每吨可获取利润500元，制成酸奶销售，每吨可获利润1200元，制成奶片销售，每吨可获取利润2000元.该工厂的生产能力是：如制成酸奶每天可加工3吨；制成奶片每天可加工1吨.受人员制约，两种加工方式不可同时进行；受气温制约，这批牛奶必须在4天内全部销售或加工完毕.为此，该工厂设计了两种可行方案：
方案一：尽可能多的制成奶片，其余直接销售鲜牛奶；
方案二：将一部分制成奶片，其余制成酸奶销售，并恰好4天完成．
你认为选择哪种方案获利最多？为什么？
25.(本小题10分)
对于未知数为x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足|x−y|=1，我们就说方程组的解x与y具有“邻好关系”，
(1)方程组x+2y=7x=y+1的解x与y是否具有“邻好关系”？说明你的理由；
(2)若方程组4x−y=62x+y=4m的解x与y具有“邻好关系”，求m的值：
(3)未知数为x，y的方程x+ay=72y−x=5，其中a与x、y都是正整数，该方程组的解x与y是否具有“邻好关系”？如果具有，请求出a的值及方程组的解；如果不具有，请说明理由．
26.(本小题10分)
(1)利用我们学过的知识，可以导出下面这个形式优美的等式：
a2+b2+c2−ab−bc−ac=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]，
该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美．
①请你检验这个等式的正确性．
②若a=2023，b=2024，c=2025，求出a2+b2+c2−ab−bc−ac的值．
(2)利用我们学过的知识，尝试解决问题：若a2+b2+c2=89，a+b+c=9，求出ab+bc+ac的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：0.000079=7.9×10−5，
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】B
【解析】解：A、a3⋅a4=a7，故A错误；
B、(a3)4=a12，故B正确；
C、(a2b)3=a6b3，故C错误；
D、a3÷a4=−a−1，故D错误；
故选B．
根据幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方进行计算即可．
本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方，掌握运算法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠3=∠4，
∴AC//BD，
故A不符合题意；
∵∠1=∠4，
不能判断AB//CD，
故B不符合题意；
∵∠D=∠DCE，
∴AC//BD，
故C不符合题意；
∵∠D+∠ABD=180°，
∴AB//CD，
故D符合题意；
故选：D．
根据平行线的判定定理判断求解即可．
此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：∵(2x+y)(2y−x)不符合平方差公式的特点，
∴选项A不符合题意；
∵(−a+1)(−a−1)=(−a)2−12，
∴选项B符合题意；
∵(x+y)(x−2y)不符合平方差公式的特点，
∴选项C不符合题意；
∵(2a−1)(−2a+1)=−(2a−1)2，
∴选项D不符合题意；
故选：B．
利用平方差公式的特点，完全平方公式的特点对每个选项进行分析，即可得出答案．
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式的特点，完全平方公式的特点是解决问题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠DCB+∠B=180°，
∵∠B=110°，
∴∠DCB=180°−∠B=180°−110°=70°，
∵CA平分∠DCB，
∴∠ACD=12∠DCB=35°，
∵AB//CD，
∴∠A=∠ACD=35°．
故选：A．
由AB//CD，∠B=110°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠DCB的度数，又由CA平分∠DCB，即可求得∠ACD的度数，然后由两直线平行，内错角相等，求得∠A的度数．
此题考查了平行线的性质与角平分线的定义．解题的关键是掌握平行线的性质和角平分线的定义．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的运用．
6.【答案】D
【解析】解：根据公式(3a+b)2=9a2+6ab+b2，可知应取甲、乙、丙三种地砖块数的比是9：1：6．
故选D．
拼成一个边长为(3a+b)的正方形所需的甲、乙、丙三种地砖的块数之比即为所求．利用拼图或者公式(3a+b)2=9a2+6ab+b2都可以得出问题的答案．
本题主要考查了完全平方公式和正方形的面积公式，利用完全平方公式是解答此题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：设人数为x人，物价为y钱，
依题意得：8x−3=y7x+4=y．
故选：B．
设人数为x人，物价为y钱，根据“每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意得：
n=m(1+50%)(1−30%)(1−10%)=0.945m(元)；
m>0.945m
所以原价m高．
故选：A．
先算出加价50%以后的价格，再求第一次降价30%的价格，最后求出第二次降价10%的价格，从而得出答案．
此题考查了列代数式，解决问题的关键是读懂题意，列出代数式，是一道基础题．
9.【答案】D
【解析】解：设桌子的高度为x cm，木块截面(图中阴影部分)长比宽多y cm，
依题意得：x+y=80x−y=72，
解得：x=76y=4，
∴桌子的高度为76cm．
故选：D．
设桌子的高度为x cm，木块截面(图中阴影部分)长比宽多y cm，观察两个图形，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程(或一元一次方程)是解题的关键．
设租用45座新能源客车x辆，根据参与研学师生人数不变，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，将其代入(45x+15)中可求出参与研学师生人数，设需m辆45座新能源客车，n辆35座新能源客车，根据“要保证每人有座位，又要保证每辆车不空座位”，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为整数，即可得出保证每人有座位，又保证每辆车不空座位．
【解答】
解：设租用45座新能源客车x辆，
依题意得：45x+15=35(x+2)−15，
解得：x=4，
所以45x+15=45×4+15=195．
设需m辆45座新能源客车，n辆35座新能源客车，
依题意得：45m+35n=195，
所以n=39−9m7．
又因为m，n均为整数，
所以m=2n=3，
所以需2辆45座新能源客车，3辆35座新能源客车．
故选：B．
11.【答案】2
【解析】解：原式=112=2.故答案为2．
根据幂的负整数指数运算法则进行计算即可．
负整数指数幂的运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
12.【答案】2−2x3
【解析】解：∵2x+3y=2，
∴y=2−2x3，
故答案为：2−2x3．
把x看作已知，求出y的值即可得到答案．
本题主要考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
13.【答案】−5
【解析】解：∵(1+x)(2x2+mx+5)=2x3+(2+m)x2+(5+m)x+5，
又∵结果中x2项的系数为−3，
∴2+m=−3，
解得m=−5．
根据多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加计算，然后列式求解即可．
本题考查了多项式乘多项式法则，合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同．
14.【答案】4和−4
【解析】解：∵x2−2kxy+16y2=x2−kxy+(4y)2，
∴−2kxy=±2x×4y，
解得k=±4．
故答案为：4和−4．
根据平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项列式即可确定出k值．
本题主要考查了完全平方式，根据乘积二倍项确定出这两个数是解题的关键．
15.【答案】47
【解析】解：3x−2y=3x÷32y=3x÷9y=47．
故答案是：47．
根据3x−2y=3x÷32y=3x÷9y即可代入求解．
本题考查了同底数的幂的除法运算，正确理解3x−2y=3x÷32y=3x÷9y是关键．
16.【答案】90°−12x°
【解析】解：如图，
∵AB//CD，
∴∠5=∠1=x°，∠3=∠α，
∵将一条上下两边互相平行的纸带折叠
∴∠3=∠4=12(180°−∠5)=90°−12×x°，
∴∠α=∠3=90°−12×x°．
故答案为：90°−12x°．
利用平行线的性质以及翻折不变性解决问题即可．
本题考查平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
17.【答案】x=9.3y=−0.8
【解析】解：在方程组2(x−1)−3(y+2)=133(x−1)+5(y+2)=30.9中，设x−1=a，y+2=b，
则变形为方程组2a−3b=133a+5b=30.9，
∵方程组2a−3b=133a+5b=30.9的解是a=8.3b=1.2，
∴x−1=8.3y+2=1.2，
解得x=9.3y=−0.8，
故答案为x=9.3y=−0.8．
由两个方程组可知，a=x−1，b=y+2，由a=8.3b=1.2，可以求得x、y的值，本题得以解决．
本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是运用整体的数学思想解答问题．
18.【答案】1或2或4
【解析】解：①2−2t=0，t−3≠0，解得：t=1；
②t−3=1，解得：t=4；
③t−3=−1，2−2t为偶数，解得：t=2，
故答案为：1或2或4．
【分析】
根据零指数幂可得2−2t=0，t−3≠0，解可得t的值；根据1的任何次方都是1可得t−3=1；根据−1的偶次幂为1可得t的值．
此题主要考查了零指数幂，关键是注意要分类讨论，不要漏解．
19.【答案】C
【解析】解：
对原方程进行整理得：m(x+2y−1)+x−y+1=0，
令x+2y−1=0和x−y+1=0，则无论m取何值上式均成立，
联立x+2y−1=0x−y+1=0，解得x=−1，y=1．
则这个相同解为x=−1y=1，
故选C．
根据方程的特点确定出方程恒有的解即可．
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
20.【答案】15°或45°或90°或135°
【解析】解：设旋转的度数为α，
若DE//AB，则∠E+∠ABE=180°，
∴∠E=∠ABE=90°，
∴α=90°−30°−45°=15°，
若BE//AC，则∠ABE=180°−∠A=120°，
∴α=120°−30°−45°=45°，
若BD//AC，则∠ACB=∠CBD=90°，
∴α=90°，
当点C，点B，点E共线时，
∵AC//DE，
∴∠ACB=∠DEB=90°，
∴α=180°−45°=135°，
故答案为：15°或45°或90°或135°．
分四种情况讨论，由平行线的性质和旋转的性质可求解．
本题考查了旋转的性质，平行线的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
21.【答案】解：原式=[(x+y)+(x−y)][(x+y)−(x−y)]
=(x+y+x−y)(x+y−x+y)
=2x⋅2y
=4xy，
当x=−2，y=−12时，
原式=4×(−2)×(−12)
=4．
【解析】根据平方差公式以及整式的加减运算、乘法运算进行化简，然后将x与y的值代入原式即可求出答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算以及乘除运算法则，本题属于基础题型．
22.【答案】解：(1)结论：DF⊥DE．
理由：∵∠B=∠CDE，
∴DE//AB，
∴∠DFA+∠FDE=180°，
∵DF⊥AB，
∴∠DFA=90°，
∴∠FDE=90°，
∴DF⊥DE．
(2)∵FD平分∠BFE，
∴∠BFD=∠DFE=12∠BFE，
∵DE//AB，
∴∠FDE=∠DFB=∠DFE，
∴∠AFE=180°−2∠BFD，
∵∠FDE+3∠AFE=180°，
∴∠BFD+3(180°−2∠BFD)=180°，
∴∠DFB=72°，
∴∠BFE=2×72°=144°．
【解析】(1)结论：DF⊥DE.证明DE//AB，可得∠DFA+∠FDE=180°，再证明∠FDE=90°即可解决问题．
(2)根据已知条件，构建方程求出∠DFB即可．
本题考查等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
23.【答案】解：(1)∵a−b=2，ab=1，
∴a2+b2=(a−b)2+2ab
=4+2
=6；
(2)设正方形ACGF的边长为a，正方形CDEB的边长为b，由于AD=6，即a+b=6，由于两个正方形的面积和为20，即a2+b2=20，
∵(a+b)2=a2+b2+2ab，
∴36=20+2ab，
∴ab=8，
∴S△ABC=12ab=4．
【解析】(1)根据a2+b2=(a−b)2+2ab代入计算即可；
(2)设正方形ACGF的边长为a，正方形CDEB的边长为b，由题意可得a+b=6，a2+b2=20，根据(a+b)2=a2+b2+2ab求出ab的值，再由S△ABC=12ab进行计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，多项式乘多项式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
24.【答案】解：方案一：最多生产4吨奶片，其余的鲜奶直接销售，
则其利润为：4×2000+(10−4)×500=11000(元)；
方案二：设生产x天奶片，则生产(4−x)天酸奶，
根据题意得：x+3(4−x)=10，
解得：x=1，
3天生产酸奶，加工的鲜奶3×3=9吨，
则利润为：1×2000+3×3×1200=2000+10800=12800(元)，
得到第二种方案可以多得1800元的利润．
【解析】方案一：根据制成奶片每天可加工1吨，求出4天加工的吨数，剩下的直接销售鲜牛奶，求出利润；
方案二：设生产x天奶片，(4−x)天酸奶，根据题意列出方程，求出方程的解得到x的值，进而求出利润，比较即可得到结果．
此题考查了一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
25.【答案】解：(1)x+2y=7①x=y+1②，
将②代入①得，y+1+2y=7，
解得y=2，
将y=2代入②得，x=3，
∴方程组的解为x=3y=2，
∴|x−y|=1，
∴程组的解x与y具有“邻好关系”；
(2)4x−y=6①2x+y=4m②，
①+②得，6x=6+4m，
∴x=1+23m，
将x=1+23m代入①得，y=−2+83m，
∴方程组的解为x=1+23my=−2+83m，
∵方程组的解x与y具有“邻好关系”，
∴|1+23m+2−83m|=1，
解得m=1或m=2；
(3)方程组的解x与y具有“邻好关系”，理由如下：
x+ay=7①2y−x=5②，
①+②得，(2+a)y=12，
解得y=122+a，
将y=122+a代入②得x=14−5a2+a，
∵a、y都是正整数，
∴2+a是12的公约数，
∵a、x都是正整数，
∴x=14−5a2+a=−5+24a+2，
∴2+a是24的公约数，
∴2+a=3或2+a=4或2+a=6或a+2=12，
∴a的值为1或2或4或10，
∵x>0，
∴a的值只能是1或2，
当a=1时，方程组的解为x=3y=4；
当a=2时，方程组的解为x=1y=3(舍)．
【解析】(1)用加减消元法解二元一次方程组后，再根据定义判断即可；
(2)用加减消元法解二元一次方程组后，再根据定义得到方程|1+23m+2−83m|=1，求出m的值即可；
(3)通过解方程组得到y=122+a，x=−5+24a+2，再由题意可知2+a是12的公约数，从而求出符合条件的a的值，再求方程组的解即可．
本题考查解二元一次方程组，熟练代入消元法和加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．
26.【答案】解：(1)①等式右边=12(a2−2ab+b2+b2−2bc+c2+a2−2ac+c2)，
=12×2(a2+b2+c2−ab−bc−ac)，
=a2+b2+c2−ab−bc−ac=等式左边．
∴等式a2+b2+c2−ab−bc−ac=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2]成立．
=a2+b2+c2−ab−bc−ac．
∴a2+b2+c2−ab−bc−ac=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2].
②由(1)得，a2+b2+c2−ab−bc−ac=12[(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2].
当a=2023，b=2024，c=2025时，a2+b2+c2−ab−bc−ac=]=12×[(−1)2+(−1)2+22]=3．
(3)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，
∴ab+bc+ac=12[(a+b+c)2−(a2+b2+c2)]=12(81−890=−4．
【解析】(1)①根据完全平方公式进行计算；
②将a=2020，b=2021，c=2022代入求值；
(2)根据完全平方公式进行计算．
本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解决本题的关键．
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