浙江省杭州市拱墅区华东师范大学附属杭州学校2022-2023学年八年级下学期期中数学试题

2022-2023学年浙江省华东师大附属杭州中学八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30分）

1. 化简的结果是（ ）

A. 4 B. 2 C. 3 D. 2

【答案】B

【解析】

【详解】试题解析：.

故选B.

考点：二次根式的化简.

2. 菱形具有而矩形不一定有的性质是（    ）

A. 对角相等 B. 邻角互补 C. 对角线互相平分 D. 四条边都相等

【答案】D

【解析】

【分析】根据矩形的性质和菱形的性质逐一进行判断即可．

【详解】解：A、因为矩形和菱形都是平行四边形，对角相等，所以本选项不符合题意；

B、因为矩形和菱形都是平行四边形，邻角互补，所以本选项不符合题意；

C、因为矩形和菱形都是平行四边形，对角线互相平分，所以本选项不符合题意；

D、因为菱形的四条边相等，而矩形的四条边不相等，所以本选项符合题意．

故选：D．

【点睛】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质、菱形的性质．

3. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据方程有两个相等的实数根列方程求解即可.

【详解】由题意得∆=0，

∴4-4k=0，

解得k=1，

故选：A.

【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况求未知数的值，正确掌握一元二次方程的根的三种情况：方程有两个不相等的实数根时∆>0，方程有两个相等的实数根时∆=0，方程没有实数根时∆<0.

4. 宿州学院排球队有12名队员，队员的年龄情况如图所示，那么球队队员年龄的众数、中位数分别是（     ）

A. 19,19 B. 19,20 C. 20,20 D. 22,19

【答案】A

【解析】

【分析】根据条形统计图可以的这组数据的中位数和众数，本题得以解决．

【详解】由条形统计图可知，

某支青年排球队12名队员年龄的众数是19，中位数是19，

故选A．

【点睛】本题考查中位数和众数的定义，解题的关键是明确众数和中位数的定义，会找一组数据的中位数和众数．

5. 用反证法证明“a＞b”时应先假设（　　）

A. a≤b B. a＜b C. a＝b D. a≠b

【答案】A

【解析】

【分析】熟记反证法步骤，直接得出答案即可，要注意的是a＞b的反面有多种情况，需一一否定．

【详解】用反证法证明“a＞b”时，应先假设a≤b．

故选A．

【点睛】本题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．

6. 设实数的整数部分为m，小数部分为n，则（2m+n）（2m﹣n）的值是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】估算无理数的大小，确定m、n的值，再用平方差公式计算（2m+n）（2m﹣n），最后再再代入求值即可．

【详解】解：∵1＜＜2，

∴的整数部分为m=1，小数部分为n=-1，

∴（2m+n）（2m﹣n）

=

=

=

=，

故选：A．

【点睛】本题考查估算无理数的大小、二次根式的计算及平方差公式，理解算术平方根的定义是正确估算的前提．

7. 天猫某店铺第2季度的总销售额为331万元，其中4月份的销售额是100万元，设5，6月份的平均月增长率为x，则可列方程为（    ）

A. 100（1＋x）2＝331 B. 100＋100（1＋x）2＝331

C. 100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2＝331 D. 100＋100x＋100（1＋x）2＝331

【答案】C

【解析】

【分析】设5，6月份的平均月增长率为x，则5月、5月的销售额分别为100（1＋x）和100（1＋x）2，最后根据第2季度的总销售额为331万元即可列出方程．

【详解】解：设5，6月份的平均月增长率为x，则5月、6月的销售额分别为100（1＋x）和100（1＋x）2

则根据题意有：100＋100（1＋x）＋100（1＋x）2＝331．

故答案为C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用-增长率问题，根据题意表示出5、6两月的销售额是解答本题的关键．

8. 如图，在平行四边形中，E为边上一点，将沿折叠至，与交于点F，若，则的大小为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由平行四边形的性质得出∠D=∠B=52°，由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，由三角形的外角性质求出∠AEF=72°，由三角形内角和定理求出∠AED′=108°，即可得出∠FED′的大小．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=52°，
由折叠的性质得：∠D′=∠D=52°，∠EAD′=∠DAE=20°，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=52°+20°=72°，∠AED′=180°-∠EAD′-∠D′=108°，
∴∠FED′=108°-72°=36°；
故选：B．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的性质和折叠的性质，求出∠AEF和∠AED′是解决问题的关键．

9. 若则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】直接利用二次根式的性质 ，将已知等式左边化简，可以得到a与b中至少有一个为0，进而分析得出答案即可．

【详解】解:∵ ， 
∴a-b=-a-b， 或b-a=-a-b
∴a= -a，或b=-b, ∴a=0,或b=0, ∴ab=0, ∴． 
故选：C．

【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式的性质是解题的关键．

10. 如图，两个全等的矩形，矩形如图所示放置. 所在直线与分别交于点.若.则线段的长度是（    ）

A.  B.  C.  D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】作于.则四边形是矩形．先证明，再证明AH=MH=CH．设CH=AH=x，利用勾股定理列方程，再求解即可．

【详解】解：作于.则四边形是矩形，

∵，，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，设，

在中，，解得，

∴，

故答案为D．

【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构建直角三角形并利用勾股定理列方程是解答本题的关键．

二、填空题（本大题共6小题，共24分）

11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是______．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，进行求解．

【详解】解：由题意得：，

∴；

故答案为．

【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．

12. 解方程：x（x﹣2）＝x﹣2_____．

【答案】x1＝2，x2＝1

【解析】

【分析】首先移项，然后利用提取公因式法对方程的左边进行因式分解，然后解方程．

【详解】解：

，

，

解得：，．

故答案为：，．

【点睛】此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13. 某校运动会入场式的得分是由各班入场时，评委从服装统一，动作整齐和口号响亮这三项分别给分，最后按3:3:4的比例计算所得，若801班在服装，动作，口号分别是90分、92分和86分，则该班的入场式得分是__________分．

【答案】89

【解析】

【分析】利用加权平均数公式计算即可．

【详解】该班的入场式得分=．

故答案为：89．

【点睛】本题考查加权平均数问题，掌握加权平均数公式，会利用加权平均数计算解决问题是关键．

14. 如图，在中，点D，E分别是的中点，连接，若，则_____．

【答案】8

【解析】

【分析】根据三角形中位线的性质得出，再由勾股定理求解即可．

【详解】解：∵点D，E分别是的中点，，

∴，

在中， ，

故答案为：8．

【点睛】题目主要考查三角形中位线的性质及勾股定理解三角形，熟练掌握这两个定理是解题关键．

15. 对于代数式（，a，b，c为常数）①若，则有两个相等的实数根；②存在三个实数，使得；③若与方程的解相同，则，以上说法正确的是___________．

【答案】①③##③①

【解析】

【分析】根据根的判别式判断①；根据一元二次方程 (k为常数)最多有两个解判断②；将方程的解代入即可判断③．

【详解】解：①∵

∴方程有两个相等的实数根．

∴①正确：

②∵一元二次方程(k为常数)最多有两个解，

∴②错误；

③方程的解为，

将代入得，

∴，

∴③正确．

综上，正确的有①③，

故答案为：①③．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解．

16. 如图，矩形中，，，连接对角线，为的中点，为边上的动点，连接，作点关于的对称点，连接，，若与的重叠部分面积等于的，则____________________．

【答案】

【解析】

【分析】连接，，作于，于．只要证明四边形是平行四边形即可解决问题．

【详解】解：如图，连接，作于，于．

与的重叠部分面积等于的，

，

，于，于，

，

，

，

，

，

，

四边形是平行四边形，

，

．

故答案为：．

【点睛】本题属于中考填空题中的综合题．考查矩形的性质、轴对称的性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考填空题中的压轴题．

三、解答题（本大题共7小题，共66分）

17. 解方程

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）用配方法，即可求解；

（2）利用平方差公式，因式分解，即可求解.

【详解】（1）    原方程变形，得：，

配方得：，

即， ，

∴，

∴；

（2）    原方程因式分解，得：，

即，

∴或，

∴ .

【点睛】本题主要考查一元二次方程的解法，配方法和因式分解法是解一元二次方程的比较好的方法.

18. 计算：

（1）；

（2）；

（3）；

（4）已知，，求的值．

【答案】（1）   

（2）   

（3）   

（4）17

【解析】

【分析】（1）原式利用二次根式性质及算术平方根定义计算即可求出值；

（2）原式利用二次根式性质计算即可求出值；

（3）原式利用分母有理化及二次根式性质计算即可求出值；

（4）原式变形后，把已知等式代入计算即可求出值．

小问1详解】

解：

；

【小问2详解】

解：

；

【小问3详解】

解：

；

【小问4详解】

解：∵，，

∴，，

则原式．

【点睛】本题主要考查了二次根式的化简与性质，分母有理化，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19. 某校对甲，乙两人射击成绩进行了测试，测试成绩如表：

（1）分别求出甲，乙两人射击成绩的平均数和方差；

（2）现要从甲，乙两人中选拔一人参加比赛，你认为挑选哪一位较合适，请说明理由．

【答案】（1）甲的平均成绩是8，乙的平均成绩是8，甲的方差是，乙的方差是；   

（2）推荐甲参加比赛较合适．理由见解析

【解析】

【分析】（1）根据平均数和方差的计算公式即可得甲，乙两人射击成绩的平均数和方差；

（2）根据甲、乙两名运动员的方差，即可判断出荐谁参加省比赛更合适．

【小问1详解】

解：甲的平均成绩是：，

乙的平均成绩是：，

甲的方差是：，

乙的方差是：；

【小问2详解】

解：推荐甲参加比赛较合适．理由如下：

两人的平均成绩相等，说明实力相当；

但是甲的五次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，

故推荐甲参加省比赛较合适．

【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

20. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F，连接．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，求四边形的面积．

【答案】（1）见解析    （2）四边形的面积为．

【解析】

【分析】（1）由矩形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，由平行四边形的判定可得出结论；

（2）由直角三角形的性质得出，则利用三角形面积公式可求出，则可得出答案．

【小问1详解】

证明：∵，，

∴，，

∵四边形是矩形，

∴，，

∴，

在和中，，

∴，

∴，

∴四边形为平行四边形；

【小问2详解】

解：∵四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴四边形的面积为．

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，熟记各性质与平行四边形的判定是解题的关键．

21. 某租赁公司拥有汽车 100 辆．据统计，每辆车的月租金为 4000 元时，可全部租出．每辆车的月租金每增加 100 元，未租出的车将增加 1 辆．租出的车每辆每月的维护费为 500 元，未租出的车每辆每月只需维护费 100 元．

（1）当每辆车的月租金为 4600 元时，能租出多少辆？并计算此时租赁公司的月收益（租金收入扣 除维护费）是多少万元？

（2）规定每辆车月租金不能超过 7200 元，当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益（租金收入扣除维护费）可达到 40.4 万元？

【答案】（1）38.48万元；（2）月租金定5000元．

【解析】

【分析】（1）由月租金比全部租出多4600-4000=600元，得出未租出6辆车，租出94辆车，进一步算得租赁公司月收益即可；
（2）设上涨x个100元，根据租赁公司的月收益可达到40.4万元列出方程解答即可．

【详解】（1）因为月租金4600元，未租出6辆车，租出94辆车；

月收益：94×（4600﹣500）﹣6×100=384800（元），即38.48万元．

（2）设上涨x个100元，由题意得（4000+100x﹣500）（100﹣x）﹣100x=404000.

整理得：x2﹣64x+540=0解得：x1=54，x2=10，

因为规定每辆车月租金不能超过7200元，所以取x=10，4000+10×100=5000．

答：月租金定为5000元．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的难点在于根据题意列出一元二次方程.

22. 已知方程x2+bx+a＝0①，和方程ax2+bx+1＝0②（a≠0）．

（1）若方程①的根为x1＝2，x2＝3，求方程②的根；

（2）当方程①有一根为x＝r时，求证x＝是方程②的根；

（3）若a2b+b＝0，方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，求的值．

【答案】（1）x1＝，x2＝；（2）见解析；（3）1

【解析】

【分析】（1）根据根与系数的关系即可求得a、b的值，即可得到方程②，然后利用因式分解法解方程②即可；
（2）根据方程根的定义得到r2+br+a=0，两边同除r2得+1＝0，即可证得x=是方程②的根；
（3）根据题意b=0，根据根与系数的关系得到m+n=0，s+t=0，从而得到m=-n，s=-t，即可得到ms=nt，进而求得=1．

【详解】解：（1）∵方程x2+bx+a＝0的根为x1＝2，x2＝3，

∴﹣b＝2+3＝5，a＝2×3＝6，

∴方程②为6x2﹣5x+1＝0，

（3x﹣1）（2x﹣1）＝0，

∴方程②的根为x1＝，x2＝；

（2）∵方程①有一根为x＝r，

∴r2+br+a＝0，

两边同除r2得+1＝0，

∴是方程ax2+bx+1＝0的根，

∴x＝是方程②的根；

（3）∵a2b+b＝0，

∴b＝0，

∵方程①的根是m与n，方程②的根是s和t，

∴m+n＝0，mn＝a，s+t＝0，st＝，

∴a＝＝mn，m＝﹣n，s＝﹣t，

∴ms＝nt，

∴＝1．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，．

23. 如图1，一张矩形纸片，其中、，先沿对角线折叠，点C落在点的位置，交于点G．

（1）求证：；

（2）求的长；

（3）如图2，再折叠一次，使点D与A重合，折痕交于M，求的长．

【答案】（1）见解析    （2）   

（3）

【解析】

【分析】（1）根据折叠性质和矩形性质得到，证明即可得结论；

（2）利用全等三角形的性质和勾股定理列方程求解即可；

（3）根据折叠性质可证得是的中位线，进而求得，，在中，，由折叠的性质和平行线的性质证得，则有，设，则，由勾股定理列方程求解即可．

【小问1详解】

解：∵矩形纸片，沿对角线折叠，点C落在点的位置，

∴，

∴在和中，

，

∴，

∴；

【小问2详解】

∵，

∴，

设则，

∴，

解得：，

∴；

【小问3详解】

解：∵点D与点A重合，得折痕

∴，

∵，，

∴在中，，

∵、，

∴，

∴是的中位线，

∴，

在中，，

由折叠的性质可知，

∵，

∴，

∴，

∴，

设，则，

由勾股定理得，即，

解得，即．

【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线性质，等腰三角形的判定与性质等知识，熟练掌握折矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题的求解思路是解答的关键．