数学4.2.3 二项分布与超几何分布学案及答案

二项分布与超几何分布

【第一学时】

【学习目标】

1．通过学习n次独立重复试验及二项分布，体会数学抽象的素养。

2．借助二项分布解题，提高数学运算的素养。

【学习重难点】

1．理解n次独立重复试验的模型。（重点）

2．理解二项分布。（难点）

3．能利用n次独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题。

【学习过程】

一、新知初探

1．n次独立重复试验

在相同条件下重复n次伯努利试验时，人们总是约定这n次试验是相互独立的，此时这n次伯努利试验也常称为n次独立重复试验。

2．二项分布

一般地，如果一次伯努利试验中，出现“成功”的概率为p，记q＝1－p，且n次独立重复试验中出现“成功”的次数为X，则X的取值范围是{0，1，…，k，…，n}，

而且P（X＝k）＝Cpkqn－k，k＝0，1，…，n，

因此X的分布列如下表所示。

注意到上述X的分布列第二行中的概率值都是二项展开式（q＋p）n＝Cp0qn＋Cp1qn－1＋…＋Cpkqn－k＋…＋Cpnq0中对应项的值，因此称X服从参数为n，p的二项分布，记作X～B（n，p）。

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）n次独立重复试验的每次试验结果可以有多种。 （    ）

（2）两点分布是特殊的二项分布。 （    ）

（3）二项分布可以看作是有放回抽样。 （    ）

（4）n次独立重复试验中，每次试验的条件可以略有不同。 （    ）

2．若X～B（10，0.8），则P（X＝8）等于（    ）

A．C×0.88×0.22 B、C×0.82×0.28

C．0.88×0.22 D．0.82×0.28

3．一枚硬币连掷三次，只有一次出现正面的概率为________。

4．下列说法正确的是________。（填序号）

①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X是一个随机变量，且X～B（10，0.6）；

②某福彩的中奖概率为p，某人一次买了8张，中奖张数X是一个随机变量，且X～B（8，p）；

③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X是随机变量，且X～B。

三、合作探究

【例1】甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和，假设每次射击是否击中目标，相互之间没有影响。

（1）求甲射击3次，至少1次未击中目标的概率；

（2）求两人各射击2次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标1次的概率。

【例2】一名学生每天骑自行车上学，从家到学校的途中有5个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是。

（1）求这名学生在途中遇到红灯的次数ξ的分布列；

（2）求这名学生在首次遇到红灯或到达目的地停车前经过的路口数η的分布列。

【例3】甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分。假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响。用ξ表示甲队的总得分。

（1）求随机变量ξ的分布列；

（2）用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P（AB）。

【学习小结】

1．独立重复试验的基本特征

（1）每次试验都在同样条件下进行。

（2）每次试验都只有两种结果：发生与不发生。

（3）各次试验之间相互独立。

（4）每次试验，某事件发生的概率都是一样的。

2．n次独立重复试验的概率公式中各字母的含义

【精炼反馈】

1．某学生通过英语听力测试的概率为，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是（    ）

A． B．

C．   D．

2．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P（ξ＝3）＝（    ）

A．C× B、C×

C．× D．×

3．有4位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是，假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为________。

4．设X～B（4，p），且P（X＝2）＝，那么一次试验成功的概率p等于________。

5．（教材P79练习BT1改编）某气象站天气预报的准确率为80%，计算（结果保留两位小数）：

（1）“5次预报中恰有2次准确”的概率；

（2）“5次预报中至少有2次准确”的概率。

【第二学时】

【学习目标】

1．通过学习超几何分布，体会数学抽象的素养。

2．借助超几何分布解题，提高数学运算素养。

【学习重难点】

1．理解超几何分布的概念。（重点）

2．理解超几何分布与二项分布的关系。（难点、易错点）

3．会用超几何分布解决一些简单的实际问题。（重点）

【学习过程】

一、新知初探

超几何分布

（1）定义：一般地，若有总数为N件的甲、乙两类物品，其中甲类有M件（M＜N），从所有物品中随机取出n件（n≤N），则这n件中所含甲类物品数X是一个离散型随机变量，X能取不小于t且不大于s的所有自然数，其中s是M与n中的较小者，t在n不大于乙类物品件数（即n≤N－M）时取0，否则t取n减乙类物品件数之差（即t＝n－（N－M）），而且

P（X＝k）＝，k＝t，t＋1，…，s，

这里的X称为服从参数为N，n，M的超几何分布。

（2）记法：X～H（N，n，M）。

（3）分布列：如果X～H（N，n，M）且n＋M－N≤0，则X能取所有不大于s的自然数，此时X的分布列如下表所示。

二、初试身手

1．思考辨析（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）超几何分布的模型是不放回抽样。 （    ）

（2）超几何分布的总体里可以有两类或三类特点。 （    ）

（3）超几何分布中的参数是N，n，M。 （    ）

（4）超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成。 （    ）

2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X服从超几何分布，其参数为（    ）

A．N＝15，M＝7，n＝10

B．N＝15，M＝10，n＝7

C．N＝22，M＝10，n＝7

D．N＝22，M＝7，n＝10

3．设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则表示（    ）

A．5件产品中有3件次品的概率

B．5件产品中有2件次品的概率

C．5件产品中有2件正品的概率

D．5件产品中至少有2件次品的概率

4．（教材P80练习BT2改编）高二一班共有50名学生，其中有15名学生戴眼镜，从班级中随机抽取5人，设抽到戴眼镜的人数为X，则X～________。

三、合作探究

【例1】下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由。

（1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的概率分布；

（2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的种子的个数记为X，求X的概率分布；

（3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只。任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的概率分布；

（4）某班级有男生25人，女生20人。选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的概率分布；

（5）现有100台MP3播放器未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的MP3播放器的个数记为X，求X的概率分布。

【例2】袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球。

（1）求得分X的分布列；

（2）求得分大于6分的概率。

【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量（单位：克），质量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]。由此得到样本的频率分布直方图如图。

（1）根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；

（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；

（3）从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列。

【学习小结】

1．解决超几何分布问题的两个关键点

（1）超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆。

（2）超几何分布中，只要知道N，n，M，就可以利用公式求出X取不同k的概率P（X＝k），从而求出X的分布列。

2．注意超几何分布与二项分布的区别与联系

前者是不放回模型，而后者是有放回模型，但在大量试验时，超几何分布可与二项分布互化。

【精炼反馈】

1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为（    ）

A． B．

C． D．

2．盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则恰好取出2个红球的概率是（    ）

A． B．

C． D．

3．在含有5件次品的10件产品中，任取4件，则取到的次品数X的分布列为P（X＝r）＝________。

4．（一题两空）已知某批产品共100件，其中二等品有20件。从中任意抽取2件，ξ表示取出的2件产品中二等品的件数，试填写下列关于ξ的分布列。

5．某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问。求：

（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；

（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列。