浙江省宁波实验学校2021-2022学年九年级（下）起始考数学试卷（含解析）

这是一份浙江省宁波实验学校2021-2022学年九年级（下）起始考数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省宁波实验学校2021-2022学年九年级（下）起始考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）下列事件中，属于必然事件的是A. 三角形的外心到三边的距离相等
B. 某射击运动员射击一次，命中靶心
C. 任意画一个三角形，其内角和是
D. 抛一枚硬币，落地后正面朝上在中，，，，则A.  B.  C.  D. 在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径的圆A. 与轴相交，与轴相切 B. 与轴相离，与轴相交
C. 与轴相切，与轴相交 D. 与轴相切，与轴相离抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，则平移后所得的抛物线的解析式为A.  B.
C.  D. 如图，中，若，那么A.
B.
C.
D. 如图所示，已知是的内切圆，点是内心，若，则等于A.
B.
C.
D. 如图，正六边形中，，点是的中点，连接，则的长为A.
B.
C.
D. 如图，在中，，，分别是边、、上的点，且满足，则四边形占面积的A.
B.
C.
D. 已知抛物线的图象恰好只经过三个象限，则字母的取值范围为A.  B.  C.  D. 如图，是的直径，是切于的切线，交于点，是劣弧的中点，连接交于点，若，，则的长为A.
B.
C.
D.  二、填空题（本大题共6小题，共30分）某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，该十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为______．一个小球由地面沿着坡度：的坡面向上前进了米，此时小球距离地面的高度为______米．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一如图，，分别与相切于点，，延长，交于点若，的半径为，则图中的长为______ 结果保留
如图，在中，是直径，弦，垂足为，若，，则阴影部分面积为______．


  如图，抛物线与轴交于，两点点在点的左侧，与轴交于点将抛物线沿轴向下平移个单位，当平移后的抛物线与线段有且只有一个交点时，则的取值范围是______．
如图，边长为的等边三角形中，、分别在、上，且，、相交于点，连结，若，则______度，的长为______．
    三、解答题（本大题共7小题，共80分）漳州市教育局到某校抽查七年级学生“根据音标写单词”的水平，随机抽取若干名学生进行测试成绩取整数，满分为分如下两幅是尚未绘制完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

本次抽取的学生有______ 人；
该年段有名学生，若全部参加测试，请估计分以上含分有______ 人；
甲、乙、丙是该校三名英语成绩优秀的学生，随机抽取其中两名学生介绍英语学习经验，请用树状图或列表法表示所有可能的结果，并求抽到甲、乙两名学生的概率．如图，图是某电脑液晶显示器的侧面图，显示屏可以绕点旋转一定的角度．研究表明：显示屏顶端与底座的连线与水平线垂直时如图，人观看屏幕最舒适．此时测得，，，求的长度．结果精确到
参考数据：，，，
已知的直径，弦与弦交于点且，垂足为点．
如图，如果，求弦的长；
如图，如果为弦的中点，求的余弦值．
如图，是的直径，与相切于点，与的延长线交于点，且与的延长线交于点．
求证：；
若，，求的长．
  如图，直线与轴正半轴交于点，与轴交于点，经过，两点的抛物线轴交于点，经过，两点的抛物线与轴负半轴交于点．
求和的值；
过点作轴交该抛物线于点，连接交轴于点，连结．
求的度数；
在轴上有一动点，直线交抛物线于点，若时，求此时点的坐标．
已知，是的直径，点在上，点是延长线上一点，连接．
如图，若．
求证：直线是的切线；
若，，求的长；
如图，若点是弧的中点，交于点，，求的值．
定义：若一个圆内接四边形的两条对角线互相垂直，则称这个四边形为圆美四边形．
请你写出一个你学过的特殊四边形中是圆美四边形的图形的名称______；
如图，在等腰中，，经过点、的圆交边于点，交边于点，连结若四边形为圆美四边形，求的值；
如图，在中，经过、的圆交边于点，交于点，连结，交于点若在四边形的内部存在一点，使得，连结交于点，连结，若，求证：四边形为圆美四边形．

答案和解析 1.【答案】【解析】解：、三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，三角形的内心到三边的距离相等，只有三角形是等边三角形时才符合，故本选项不符合题意；
B、某射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项不符合题意；
C、三角形的内角和是，是必然事件，故本选项符合题意；
D、抛一枚硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故本选项不符合题意；
故选：．
必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
 2.【答案】【解析】解：，
故选：．
根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
 3.【答案】【解析】解：圆心到轴的距离是，到轴的距离是，
，，
圆与轴相切，与轴相交，
故选C．
首先画出图形，根据点的坐标得到圆心到轴的距离是，到轴的距离是，根据直线与圆的位置关系即可求出答案．
本题主要考查对直线与圆的位置关系，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用直线与圆的位置关系定理进行说理是解此题的关键．
 4.【答案】【解析】解：抛物线的顶点坐标为，
向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度后的图象的顶点坐标为，
所以，所得图象的解析式为．
故选：．
先确定出原抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出新图象的顶点坐标，然后写出即可．
本题主要考查的是函数图象的平移，根据平移规律“左加右减，上加下减”利用顶点的变化确定图形的变化是解题的关键．
 5.【答案】【解析】 【分析】
根据圆周角定理可得 ，再根据圆内接四边形对角互补可得 的度数．此题主要考查了圆周角定理，关键是掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【解答】
解：在优弧 上取点 ，连接 、 ，
，
，
，
故选 C ．   6.【答案】【解析】解：，
，
是的内切圆，点是内心，
平分，平分，
，，


，


，
故选：．
先利用三角形内角和定理求出，再利用点是的内心可得平分，平分，从而可求出，最后再利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
本题考查了三角形内切圆与内心，圆周角定理，熟练掌握三角形内心的意义是解题的关键．
 7.【答案】【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，正六边形的性质，等腰三角形三线合一的性质，解直角三角形，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键，连接 ，求出正六边形的 ，再求出 ，然后求出 并求出 的长，再求出 的长，最后在 中，利用勾股定理列式进行计算即可得解．
【解答】
解：如图，连接 ，

在正六边形中， ，
，
，
，
，
点 是 的中点，
，
在 中， ．
故选 C ．   8.【答案】【解析】解：连接，
，
，，
∽，：：，
和有同底，
：：，
四边形占面积的．
故选：．
连接，由已知条件可得，所以∽，利用相似三角形的性质可得到和的面积比值，再根据同底的三角形面积比为高之比即可求出四边形占面积的份数．
本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．
 9.【答案】【解析】解：，
二次函数的图象只经过三个象限，
且开口方向向上，其对称轴为，如图，
则，
解得．
故选：．
由于二次函数的图象开口向上，对称轴为，要使二次函数的图象只过三个象限，则函数只能不过第四象限，顶点在第三象限，据此列出不等式组解答即可．
本题考查了二次函数的性质，要结合不等式组，利用数形结合的思想解决问题．
 10.【答案】【解析】解：连接，作于，如图，
是的直径，
，
是直角三角形，
在中，，，
，
是切于的切线，
，
是直角三角形，，
在中，，
，
，
是劣弧的中点，
，即平分，
而，，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
解得，
．
故选：．
连接，由圆周角定理可得是直角三角形，作于，如图，利用余弦定义，在中可计算出，在中可计算出，则，接着根据角平分线性质得，于是设，则，然后利用平行线得性质由得到，所以的值可求出，即可求出．
本题考查了切线的性质、圆周角定理的运用以及解直角三角形的有关知识点，题目的综合性较强，有一定的难度，正确作出辅助线是解题的关键．
 11.【答案】【解析】解：经过一个十字路口，共有红、黄、绿三色交通信号灯，
在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是，
在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，
遇到绿灯的概率为；
故答案为：．
根据在路口遇到红灯、黄灯、绿灯的概率之和是，再根据在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，即可求出他遇到绿灯的概率．
此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
 12.【答案】【解析】解：如图．
中，，．
设，则，
，
解得负值舍去．
即此时小球距离地面的高度为米．
根据坡度比，用未知数设出坡面的铅直高度和水平宽度，再运用勾股定理列方程求解．
此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及勾股定理的运用能力．
 13.【答案】【解析】解：如图所示，连接，，，
，分别与相切于点，，
故，
又，，
则≌．
，
，
，
．
的长为．
故答案为：．
连接，，，可利用证明≌，从而可得出的度数，最后利用弧长公式求解答案即可．
本题考查了切线的性质、全等三角形的判定、弧长的计算，求出的度数是解题的关键．
 14.【答案】【解析】 【分析】
连接 ， ，根据圆周角定理得出 的度数，再根据弦 ，得到 ， 的长，然后根据图形的面积公式即可得到结论．
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【解答】
解：连接 ， ，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为 ．   15.【答案】或【解析】解：当向下平移到个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，
当抛物线向下平移到个单位不含和个单位时，抛物线与有两个交点，
当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，
故答案为：或．
当向下平移到个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，当抛物线向下平移个单位时，抛物线与线段有且只有一个交点，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
 16.【答案】 【解析】解：是等边三角形，
，，
，
≌，
，
设，，
，
，
，
，
，
设，
，，
∽，
，
，
解得或舍弃，
，
故答案为：；．
首先证明，设，由∽，可得，构建方程即可解决问题．
本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
 17.【答案】；【解析】解：人；

，人；

列表如下：

共有种情况，其中抽到甲、乙两名同学的是种，
所以抽到甲、乙两名同学．
故答案为；．
根据第三组的频数为，所占百分比为，即可求出本次抽取的学生总数；
先求出分以上含分所占百分比，再利用样本估计总体的思想，用乘以这个百分比即可；
首先根据题意列表，然后由表格求得所有等可能的结果与抽到甲、乙两名学生的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与扇形统计图、用样本估计总体的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．
 18.【答案】解：过点作交于点．
在中，
，，
 

又在中，，
，
．
答：的长度为．【解析】过点作交于点，根据，可知，，在中根据可知，再根据即可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
 19.【答案】解：连接，，

，
，
，
，
，
，
，
是直径，
，
在中，，，
；
连接，

为的中点，，
，
，
，，
，
∽，
，
，
，
，
设，，
则，
．【解析】连接，，利用弦、圆心角之间的关系得，，再根据圆周角定理得，从而得出的长；
连接，证明∽，得，可得的长，设，，则，可得答案．
本题主要考查了圆周角定理，弧、弦、圆心角之间的关系，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，证明∽是解题的关键．
 20.【答案】证明：连接，
是的切线，
，
，
又，，
，
，，
故，
，

解：设，则，，
在中，
，，
由知，，在中，
，
则，
解得：舍去，，
故BD．【解析】利用切线的性质结合等腰三角形的性质得出，进而得出答案；
设，则，，利用勾股定理得出的长．
此题主要考查了切线的性质以及以及勾股定理和等腰三角形的性质等知识，熟练应用切线的性质得出是解题关键．
 21.【答案】解：当时，，则，
把代入得，解得；
抛物线解析式为，
当时，，解得，，
，，
把代入得，解得；
轴且，都在抛物线上，
点与点关于对称轴直线对称，
为，
易得直线的解析式为，
点为，
，
为等腰直角三角形
；
当直线与轴的交点在点的左侧时，如图，
，，
为等腰直角三角形，
，
且，
，
而，
，
，
易得直线的解析式为
解方程组得得或，此时点坐标为；
当直线与轴的交点在点的右侧时，如图，
，
而且，
，
∽，
，即，解得，
，
易得直线的解析式为，
解方程组得或，此时点坐标为；
综上所述，点坐标为或【解析】先利用一次函数解析式确定，再把点坐标代入代入可求出，从而得到抛物线解析式为，接着解方程得，，最后把点坐标代入中可求出的值；
利用对称性得到为再求出直线的解析式为得到点为，则可判断为等腰直角三角形，然后根据三角形外角性质可求出的度数；当直线与轴的交点在点的左侧时，如图，先证明得到，则，再求出直线的解析式为，接着解方程组
得此时点坐标；当直线与轴的交点在点的右侧时，如图，先证明，则可判定∽，则利用相似比可计算出，从而得到，接下来求出直线的解析式为，然后解方程组得此时点坐标．
本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰直角三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式，把求函数交点坐标问题转化为解方程组的问题；会运用相似三角形的性质计算线段的长；理解坐标与图形性质．
 22.【答案】证明：如图中，

，
，
，
，
是的直径，
，
，即，
是的半径，
是的切线．
解：，
，
，
，
，
，
，
．

解：如图中，连接．

点是弧的中点，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
．【解析】本题属于圆的综合题，考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题即可．
欲证明是的切线，只要证明即可；
想办法证明即可解决问题；
连接证明∽，可得，由此即可解决问题．
 23.【答案】正方形【解析】解：根据圆美四边形的定义知，正方形是圆美四边形，
故答案为：正方形；
解：连接，，

，
为的直径，
，
四边形为圆美四边形，
，
，
，
，
，
，
在等腰直角中，，
，
，
，，
；
证明：，，
，
，
∽，
，
，
又，
即，
∽，
，
又，，
，
即，
，
又，，，在同一个圆上，
四边形为圆美四边形．
根据圆美四边形的定义直接得出结论；
先判断出，得出，；
先判断出∽，得出，进而判断出∽，得出，即可得出结论．
此题是圆的综合题，主要考查了圆美四边形的定义的理解和应用，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆美四边形的定义、相似三角形的判定和性质是解本题的关键．