2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区宋诏桥中学八年级（上）起始考数学试卷（含解析）

2023-2024学年浙江省宁波市鄞州区宋诏桥中学八年级（上）起始考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下面的图形是用数学家名字命名的，其中是轴对称图形的是(    )

A. 赵爽弦图 B. 马螺线
C. 笛卡尔心形线 D. 斐波那契螺旋线

2.下列命题中，是假命题的是(    )

A. 点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度
B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C. 平行于同一条直线的两条直线也互相平行
D. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补

3.如果，，那么下列不等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

4.如图，≌，，，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

5.下面是作角等于已知角的尺规作图过程，要说明，需要证明≌，则这两个三角形全等的依据是(    )

A. 边边边 B. 边角边 C. 角边角 D. 角角边

6.如图，中，，是中点，下列结论中不正确的是(    )

A.
B. 平分
C.
D.

7.下列推理中，不能判断是等边三角形的是(    )

A.  B. ，
C. ， D. ，且

8.在中，，，，且，则(    )

A. 为直角 B. 为直角 C. 为直角 D. 不是直角三角形

9.若关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数的值的和为(    )

A.  B.  C.  D.

10.如图、正和正中，、、共线，且，连接和相交于点，以下结论中正确的有个．(    )
；连接，则平分；；．

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.命题“同位角相等”是          命题填“真”或“假”．

12.若是自然数，且满足，则符合条件的的值为______ ．

13.把一副三角板如图摆放，其中，，，则          
 

14.如图，在与中，，请添加一个条件：______，使≌．

 

15.如图，，，则图中的等腰三角形有______ 个

16.若等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是        ．

17.若不等式组无解，则不等式组的解是______ ．

18.若，，，，，则、、之间的大小关系是______ ．

三、解答题（本大题共5小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
解下列不等式组：
；
．

20.本小题分

如图，在正方形网格上有一个．
作关于直线的轴对称图形；
作的边上的高；
若网格上的最小正方形边长为，求的面积．

21.本小题分

如图，等腰三角形中，，分别是两腰上的中线求证：．

22.本小题分

如图，，是线段上一点，且，．
求证：≌；
若，求的面积．

23.本小题分
对、定义一种新运算“”，规定：其中、均为非零常数，等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．
已知，．
求、的值；
若关于的不等式组有且只有两个整数解，求字母的取值范围；
若运算“”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数、，结论“”都成立，试探究、应满足的关系．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是轴对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，故此选项错误；
故选：．
根据轴对称图形定义进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．

2.【答案】 

【解析】解：、点到直线的距离是指直线外一点到这条直线的垂线段的长度，正确，是真命题，不符合题意；
B、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
C、平行于同一条直线的两条直线也互相平行，正确，是真命题，不符合题意；
D、两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故原命题错误，是假命题，符合题意．
故选：．
利用点到直线的距离的定义、平行线的判定方法及性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度较小．

3.【答案】 

【解析】解：根据和不能推出，故本选项不符合题意；
B.，
，
，
，故本选项符合题意；
C.，，
，
，故本选项不符合题意；
D.，根据和不能推出和的大小，故本选项不符合题意；
故选：．
根据不等式的性质逐个判断即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：在中，，

又≌，
，
故选：．
在中由三角形内角和可求出，由全等三角形对应角相等可得即可求解．
本题考查三角形内角和与全等三角形的性质，熟记相应的概念是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】【分析】
由作法易得，，，利用得到三角形全等，由全等三角形的对应角相等．
本题考查了全等三角形的判定与性质；由全等得到角相等是用的全等三角形的性质，熟练掌握三角形全等的性质是正确解答本题的关键．
【解答】
解：由作法易得，，，
在和中，

≌，
全等三角形的对应角相等．
故选：．

6.【答案】 

【解析】解：中，，是中点
，故A正确
，故B正确
故C正确
无法得到，故D不正确．
故选：．
根据等腰三角形“三线合一”的性质解答．
此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质．

7.【答案】 

【解析】解：、由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意．
B、由“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意．
C、由“，”可以得到“”，则由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可以判断是等边三角形，故本选项不符合题意．
D、由“，且”只能判定是等腰三角形，故本选项符合题意．
故选：．
根据等边三角形的定义、判定定理以及三角形内角和定理进行判断．
本题主要考查了等边三角形的判定和三角形内角和定理，属于基础题．
由定义判定：三条边都相等的三角形是等边三角形．
判定定理：三个角都相等的三角形是等边三角形．
判定定理：有一个角是的等腰三角形是等边三角形．

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
是直角三角形，且为直角，
故选：．
由题意得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且为直角即可．
本题主要考查勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：由方程，得，
关于的方程的解为非负整数，
，得且能被整除，
，
由，得
，
由，得
，
关于的不等式组有解，
，得，
由上可得，且能被整除，
符合条件的整数的值为：，，，
符合条件的整数的值的和为：，
故选：．
根据关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决．
本题考查解一元一次方程、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解方程和不等式的方法．

10.【答案】 

【解析】解：等边和等边，
，，，，
、、共线，
，
，
，
，
是的外角，
，
在与中，
，
≌，
，
是的外角，
，
故正确；
过点作于，于，

≌，
，
平分，
故正确；
过点作于，于，过点作于，

，
，，
，
，
，
，
，
由知，，
，
故正确；
由知，，
，
由知平分，
，
在线段上截取，连接，

，，
是等边三角形，
，
由知，
在与中，
，
≌，
，
，
，
故正确，
正确的有个，
故选：．
首先利用证明≌，得，再利用三角形外角的性质即可判断正确；过点作于，于，根据全等三角形对应边上的高相等可知，即可判断正确；由，得，结合可知正确；在线段上截取，连接，利用证明≌，得，可判断正确．
本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，三角形的面积等知识，综合性较强，要求学生有较强的识图能力．

11.【答案】假 

【解析】【分析】
两直线平行，同位角相等，如果没有前提条件，并不能确定同位角相等，由此可作出判断．
本题考查了命题与定理的知识，属于基础题，同学们一定要注意一些定理成立的前提条件．
【解答】
解：两直线平行，同位角相等，
命题“同位角相等”是假命题，因为没有说明前提条件．
故答案为：假．

12.【答案】， 

【解析】解：由题可知，
则，
又知是自然数，
即的值为，．
故答案为：，．
根据去绝对值的方法进行解题即可．
本题考查绝对值，掌握去绝对值的方法是解题的关键．

13.【答案】 

【解析】【分析】
此题考查三角形内角和，关键是根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答．
根据三角形的内角和定理和三角形外角性质解答即可．
【解答】
解：，，，
，
，，，，



，
故答案为：．

14.【答案】答案不唯一 

【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理的内容是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，根据全等三角形的判定定理添加条件即可．
【解答】
解：，
，
，
添加的条件是：，利用可证明≌；
添加的条件是：，利用可证明≌；
添加条件是：，则有，利用可证明≌；
添加的条件是，利用可证明≌；
故答案为答案不唯一．

15.【答案】 

【解析】解：，，
和是等腰三角形，
，，
，
，
是等腰三角形，同理是等腰三角形，
，
，
，
，
是等腰三角形，
同理：是等腰三角形，
综上所述：等腰三角形有个，
故答案为：．
根据三角形内角和分别计算出、、、、的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数．
此题主要考查了等腰三角形的判定，关键是掌握等腰三角形的判定方法：等角对等边．

16.【答案】 

【解析】解：分两种情况：
当为底时，其它两边都为，、、可以构成三角形，周长为；
当为腰时，其它两边为和，，所以不能构成三角形，故舍去，
所以等腰三角形的周长为．
故答案为：．
因为边为和，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

17.【答案】 

【解析】解：不等式组无解，
，
，
，
不等式组的解集为．
故答案为：．
根据不等式组无解，得出，进一步求得，即可得出不等式组的解集．
本题主要考查了不等式的解集求法，根据已知得出是解决问题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：，
，
，
同理可得，，
，
，
，
即，
故答案为：．
根据得出，，，分别代入、、计算，然后比较即可得出结果．
本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式的加减法法则是解题的关键．

19.【答案】解：，
由得：，
由得：，
则则不等式组的解集为；
，
由得：，
由得：，
则不等式组的解集为． 

【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集；
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

20.【答案】解：如图所示，即为所求作的关于直线的轴对称图形；

如图所示，为边上的高线；

的面积． 

【解析】根据网格结构找出点、、关于直线的对称点、、的位置，然后顺次连接即可；
根据网格结构以及的位置，过点作小正方形的对角线，与的延长线相交于，即为所求作的高线；
为底边，点到的距离为高，根据三角形的面积公式列式进行计算即可得解．
本题考查了利用轴对称变换作图，比较简单，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

21.【答案】证明：，分别是的边，上的中线，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】先由，分别是的边，上的中线证明，，因为，所以，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌，得．
此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确的找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．

22.【答案】证明：，
，
而，
在和中，

≌；
解：≌，
，，
又，，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积． 

【解析】由，可得，根据证明直角三角形全等的“”定理，证明即可；
先证明，根据勾股定理直接计算．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，证得是等腰直角三角形是解题的关键．

23.【答案】解：，，
，
解得：，；
，，，
，
，
即，
解得：，
关于的不等式组，有且只有两个整数解，
，
解得：，
即字母的取值范围是；
，
，
，
，
，
、为任意数，
不一定等于，
，
即、所应满足的关系式是． 

【解析】根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可；
先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于的不等式组，求出解集即可；
根据新运算得出等式，整理后即可得出答案．
本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，能根据已知算式得出方程组或不等式组是解此题的关键．