2021-2022学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级（下）开学数学试卷（Word解析版）

2021-2022学年浙江省宁波市镇海区蛟川书院九年级（下）开学数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 在一个不透明的盒子里有形状、大小相同的黄球个、红球个，从盒子里任意摸出个球，摸到黄球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位后，所得图象的函数解析式是(    )

A.  B.
C.  D.

3. 如图，一块矩形绸布的长，宽，按照图中的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，如果裁出的每面彩旗与矩形绸布相似，则的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

4. 如图，边长为的菱形绕点旋转，当、两点恰好落在扇形的弧上时，弧的长度等于(    )

A.  B.  C.  D.

5. 为测量操场上篮筐的高，小明站在点处的眼睛与地面的距离为米，与的距离为米，若仰角为，则篮筐的高可表示为(    )

A. 米
B. 米
C. 米
D. 米

6. 已知二次函数、是常数，的图象经过点和，且当时，函数的最小值为，最大值为，则的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

7. 如图，内接于圆，，，且，则点到的距离为(    )

A.
B.
C.
D.

8. 著名画家达芬奇用三个正方形和三个全等的直角三角形拼成如下图形证明了勾股定理，其中，，连结，，得到个全等的四边形，四边形，四边形，四边形分别交，于点，，若：：，且，则的长为(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共18分）

9. 若点，都在抛物线上，则 ______填“”，“”，“”．
10. 如图，在中，，点是边上一点，连接，且，，平分，分别交，于点，，则的度数为______．

11. 如图，、为的两条弦，若，，则的半径为______．

12. 如图，将四边形绕顶点顺时针旋转至四边形的位置，若，则图中阴影部分的面积为______．

13. 图是一个八角星形纸板，图中有八个直角，八个相等的钝角，每条边都相等．如图将纸板沿虚线进行切割，无缝隙无重叠的拼成图所示的大正方形，其面积为，则图中线段的长为______ ．

14. 如图，在中，，，延长线段至点使，连接若点是线段上一个动点，过点作交于点，连接，则当的面积最大时，的长度为______．

三、解答题（本大题共4小题，共32分）

15. 求下列各式的值：
    ；
    ．
16. 近几年，各式各样的共享经济模式在各个领域迅速普及应用，如图是某同学收集的四个共享经济领域的图标，将收集到的图标制成编号为，，，的四张卡片除编号和内容外，其余完全相同，背面朝上，洗匀放好．
    从中随机抽取一张，抽到的卡片恰好是“共享知识”的概率为______；
    从中随机抽取一张，放回后洗匀，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．
     

17. 如图，已知二次函数的图象与轴两个交点的横坐标分别是和，点和均在该二次函数的图象上，一次函数的图象经过点和．
    求的值；
    求二次函数图象的顶点坐标；
    请根据图象回答下列问题：
    若，请直接写出的取值范围；
    若点在该二次函数图象上，到轴的距离小于，求的取值范围．

18. 我们定义：有一边相等的两个相似三角形为近等三角形，这两个三角形的面积比为近等比．例如：的三边分别为，，，的三边为，，，则易得两个三角形相似，且显然有一边相等，则我们称与近等，或者说与为近等三角形，与的近等比为：．
    如图，的顶点在的网格图中格点上，为边上的高，则图中______与______是其中一对近等三角形，它们的近等比为______．
    如图，是内接于圆的等腰直角三角形，为斜边，平分，点在圆上，交于点，找出图中任意一组近等三角形，并求出它们的近等比．
    如图，中，，，过线段的圆分别交线段，于，两点，连结，，当一边与相等且与是一对近等三角形时，求的面积．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：从盒子里任意摸出个球，摸到黄球的概率．
故选：．
直接利用概率公式求解．
本题考查了概率公式：某事件的概率某事件所占的情况数与总情况数之比．
 

2.【答案】 

【解析】解：将二次函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位后，所得图象的函数解析式是，即．
故选：．
根据二次函数图象的平移规律左加右减，上加下减进行解答即可．
本题考查了二次函数图象与几何变换，知道抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查了相似多边形的性质．注意相似多边形的对应边成比例．由裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，构建方程求解即可．
【解答】
解：使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，
，
解得或舍弃，
，
故选B．  

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查菱形、等边三角形的性质以及弧长公式的理解及运用．
连接，根据题意可得为等边三角形，从而可得到的度数，再根据弧长公式求得弧的长度．
【解答】
解：连接，可得，则，根据弧长公式，可得
弧的长度等于，故选C．
  

5.【答案】 

【解析】解：由题意得，米，米，
在中，，
，
，
米，
故选：．
由题意得到米，米，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
 

6.【答案】 

【解析】解：二次函数、是常数，的图象经过点和，
，解得，
函数，
，
该二次函数图象开口向下，顶点坐标为，与轴交点为，
点与点关于直线对称，
在左侧，随的增大而增大；在右侧，随的增大而减小；且当时，函数的最大值为，最小值为，则．
故选：．
根据待定系数法求得函数，由此解析式可求得此抛物线的顶点坐标以及与坐标轴的交点坐标，根据函数值，可求得的取值范围．
本题考查了二次函数图象上的点的坐标特征，二次函数的性质以及根的判别式的知识，利用数形结合和分类讨论是解题关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：作直径，连，过作于，过作于，如图，则，
，
，
，
，
，
，
．
，
在中，，
，
，
，
即点到的距离为．
故选：．
作直径，连，过作于，过作于，如图，利用圆周角定理得到，再证明得到，所以然后利用勾股定理计算出，再利用面积法求出即可．
本题考查了三角形的外心与外接圆：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理．
 

8.【答案】 

【解析】解：过点作于点，交于点，如图所示：

四边形，四边形，四边形，四边形都是全等的，
，
，，
≌，
易得，
：：，
：：，
，
：：，
，
，
，
设，，则，，
，
由等积法可得，，
，
由勾股定理可得，，
，
；
故选：．
过点作于点，交于点，设，，进而可得，，则有，然后由：：，得，最后可得，，则问题可求解．
本题主要考查正方形的性质、勾股定理及线段的比，熟练掌握正方形的性质、勾股定理及线段的比是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，对称轴是直线，
点，离直线一样近，
，
故答案为：．
先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，然后比较两个点离直线的远近得到、的大小关系．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】解：，
．
．
．
又平分，
．
．
故答案为：．
根据三角形外角的性质，得欲求，需求、根据等腰三角形的性质，由，得，那么，故根据角平分线的定义，由平分，得，从而解决此题．
本题主要考查等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质、三角形外角的性质、三角形内角和定理、角平分线的定义是解决本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接并延长交于点，连接，

是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
，
，
即的半径为．
故答案为：．
构造直径，由和证明，得到，根据勾股定理求出直径即可得到答案．
本题考查了圆周角和勾股定理等有关知识，解题的关键是“根据直径所对的圆周角是直角”构造直角三角形．
 

12.【答案】 

【解析】解：由旋转的性质得：，四边形≌四边形，
则图中阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积四边形的面积扇形的面积．
故答案为：．
由旋转的性质得：，四边形≌四边形，图中阴影部分的面积四边形的面积扇形的面积四边形的面积扇形的面积，代入扇形面积公式计算即可．
本题考查了旋转的性质、扇形面积公式；熟练掌握旋转的性质，得出阴影部分的面积扇形的面积是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：设原八角形边长为，则图正方形边长为、面积为，四个小三角形面积和为，
列式得，解得，则．
故答案为：
根据题中信息可得图、图面积相等；图可分割为一个正方形和四个小三角形；设原八角形边长为，则图正方形边长为、面积为，四个小三角形面积和为，解得就知道等于多少了．
解此题的关键是抓住图中的在图中是哪两条线段组成的，再列出方程求出即可．
 

14.【答案】 

【解析】解：以点为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为．

直线的解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
，
可设直线的解析式为，则，
联立得，
解得：，
，
，
时，的面积最大，
．
以点为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系，则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为利用待定系数法求出直线、的解析式，根据两直线平行可得直线的解析式为，则，联立直线、可得的坐标，根据，可得时，的面积最大，即可得的长．
本题考查等腰直角三角形，待定系数法求一次函数的解析式，两直线平行的性质，二次函数的最值，以点为坐标原点，为轴，为轴，建立平面直角坐标系是解题的关键．
 

15.【答案】解：原式

；

原式


． 

【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案；
直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
 

16.【答案】 

【解析】解：共有张卡片，分别标有“共享出行”、“共享服务”、“共享物品”、“共享知识”，
从中随机抽取一张，抽到的卡片恰好是“共享知识”的概率为；
故答案为：；

根据题意画图如下：

共有种等可能的结果数，其中抽到“共享出行”和“共享知识”的结果数为，
所以抽到“共享出行”和“共享知识”的概率是．
直接根据概率公式求解即可；
根据题意画出树状图得出所有等可能结果，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
 

17.【答案】解：根据对称性，
，
，
代入，解得，
，
顶点坐标为；
由图像可知，
时，；，；，，
的取值范围为． 

【解析】根据二次函数的对称性可解答案；
待定系数法带入坐标配方可得；
数形结合观察图像可得答案．
本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征是解题的关键．
 

18.【答案】     

【解析】解：，，
，
又，
∽，
且，
与是一对近等三角形，
，
故答案为；；；
平分，
，
，
，
又，
∽，
又，
与是一对近等三角形，
，
如图，过点作于，

平分，，，
，
，，
，
，
，
，
；
如图，连接，，，与交于点，过点作于，

四边形是圆的内接四边形，
，，
又，，
，，
与是一对近等三角形，
∽，
，
，
，
则在与这组近等三角形中，，
，，
是等边三角形，
，，
，
，，
，
，，
，
，
，，
∽，
，
，
∽，
，
，
负值舍去，
，
，
，
．
通过证明∽，从而得出答案；
根据同弧所对的圆周角相等，可得，从而证明∽，即可解决问题；
利用相似三角形的性质求出的长，由锐角三角函数可求的长，即可求解．
本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，相似三角形的判定和性质，近等三角形的定义，锐角三角函数等知识，求出的长是解题的关键．