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浙江省宁波市江北实验中学2023-2024学年八年级上学期起始考数学试卷（含答案）
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这是一份浙江省宁波市江北实验中学2023-2024学年八年级上学期起始考数学试卷（含答案），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省宁波市江北实验中学2023-2024学年八年级上学期起始考数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列调查中，适合用抽样调查的是（ ）
A．返校前每个班级学生健康码情况调查
B．对乘坐高铁的乘客进行安检
C．调查一批防疫口罩的质量情况
D．对新研发导弹的零部件进行检查
2．（3分）红细胞的平均直径是0.0000072m，0.0000072这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．0.72×10﹣5 B．7.2×10﹣5 C．7.2×10﹣6 D．72×10﹣7
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a5+a2＝a7 B．（a3）2＝a5
C．（﹣2a）3•a5＝﹣8a8 D．a6÷a2＝a3
4．（3分）若将分式中的x和y都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．不变
C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的
5．（3分）若是二元一次方程组的解b的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
6．（3分）若（x﹣2）（x2﹣mx+1）的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．
7．（3分）如图，点D为边BC的中点，AE为△ABD的中线，△ABE的面积为S1，则下列结论正确的是（ ）
A．S＝3S1 B．S＝4S1 C．S＝5S1 D．S＝6S1
8．（3分）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若∠1比∠2大9°（ ）
A．66° B．68° C．54° D．56°
9．（3分）某校社团举行“母亲节”感恩活动，先用800元购进第一批康乃馨，售完后又用400元购进第二批康乃馨，所购数量是第一批数量的，设第一批康乃馨的单价是x元（ ）
A．+1＝400 B．＝
C． D．＝
10．（3分）如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形BEFH也是正方形2＝CH×GH．设AB＝a，CH＝b．若ab＝5，则图中阴影部分的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．20
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（π﹣2023）0＝ ．
12．（3分）已知一个样本有40个数据，把它分成5组，第一组到第四组的频数分别是10、4、x、16，则x的值为 ．
13．（3分）当m＝2n﹣13时，代数式m2﹣4mn+4n2＝ ．
14．（3分）一同学在解关于x的分式方程的过程中产生了增根，则a的值为 ．
15．（3分）若关于x，y的的解是，n的方程组的解是 ．
16．（3分）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒12°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝ 秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
三、解答题（17题9分，18题5分，19题6分，20题8分，21题6分，22题8分，23题10分，共52分）
17．（9分）（1）计算：；
（2）解方程组：；
（3）解方程：．
18．（5分）先化简，再求值：，并从﹣2，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
19．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将三角形ABC向右平移4格，再向上平移2格（点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C′）．
（1）请画出平移后的三角形A′B′C′，并标明对应字母；
（2）若将三角形ABC经过一次平移得到图（1）中的三角形A′B'C'，则线段AC在平移过程中扫过区域的面积为 ．
20．（8分）为发展学生的综合素养，某校积极开展“四点半课程”试点活动，某校根据实际，B：网球，C：击剑，四种运动项目，为了解学生最喜欢哪一种项目，并将调查结果绘制成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是 ，其所在扇形图中的圆心角的度数是 ；
（2）随机抽查了多少学生？请把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有2000人，请统计全校最喜欢乒乓球的人数是多少？
21．（6分）已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
（1）如图1，点P在线段CD上，∠1＝25°，求∠APB的度数．
（2）如图2，当点P在直线l3上运动时，试判断∠APB，∠1，直接写出结果，不需要说明理由．
22．（8分）小江到某体育用品商店购物，他已选定需购买的篮球和羽毛球的种类，若购买2个篮球和7副羽毛球拍共需360元
（1）每个篮球需 元，每副羽毛球拍 元；
（2）“六一”儿童节，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售
①商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小江在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，并正好用完所带的324元，问他有几种购买方案
23．（10分）如图，将三个边长a，b，c（a＞b＞c）的正方形分别放入长方形ABCD和长方形EFGH中1，C2，C3，C4，面积分别为S1，S2，S3，S4．
（1）若a＝3，b＝2，c＝1；
（2）若长方形ABCD的周长为18，长方形EFGH的周长为15，能求出C1，C2，C3，C4中的哪些值？
（3）若C1+C2＝m，C2﹣C3＝n，C3﹣C4＝P，求S1+S2﹣S3﹣S4 （结果用含m，n，p的代数式表示）．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列调查中，适合用抽样调查的是（ ）
A．返校前每个班级学生健康码情况调查
B．对乘坐高铁的乘客进行安检
C．调查一批防疫口罩的质量情况
D．对新研发导弹的零部件进行检查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．返校前每个班级学生健康码情况调查，此选项不符合题意；
B．对乘坐高铁的乘客进行安检，此选项不符合题意；
C．调查一批防疫口罩的质量情况，此选项符合题意；
D．对新研发导弹的零部件进行检查，此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．（3分）红细胞的平均直径是0.0000072m，0.0000072这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．0.72×10﹣5 B．7.2×10﹣5 C．7.2×10﹣6 D．72×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000072＝7.3×10﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a5+a2＝a7 B．（a3）2＝a5
C．（﹣2a）3•a5＝﹣8a8 D．a6÷a2＝a3
【分析】根据同类项，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的乘除法逐一判断即可．
【解答】解：A、a5与a2不是同类项，不能合并；
B、（a2）2＝a6，故本选项错误；
C、（﹣2a）3•a5＝﹣6a8，故本选项正确；
D、a6÷a3＝a4，故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查的是合并同类项，幂的运算法则，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的除法是解决此题的关键．
4．（3分）若将分式中的x和y都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．不变
C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的
【分析】根据分式的性质进行解答即可．
【解答】解：设＝a中的x和y都扩大到原来的10倍为：
＝＝×＝a，
所以将分式中的x和y都扩大到原来的10倍，
故选：A．
【点评】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确解答的关键．
5．（3分）若是二元一次方程组的解b的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
【分析】先把代入原方程组，再解关于a、b的二元一次方程组，代入要求的代数式即可得出答案．
【解答】解：把代入二元一次方程组得，
，解得：，
∴ab＝，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，先将x，y的值代入，再计算即可．
6．（3分）若（x﹣2）（x2﹣mx+1）的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．
【分析】根据多项式乘多项式计算法则展开后合并同类项，再根据展开式中不含x的二次项求出m的值即可．
【解答】解：原式＝x3﹣mx2+x﹣2x2+2mx﹣3
＝x3﹣（m+2）x8+（2m+1）x﹣2，
∵展开式中不含x的二次项，
∴m+2＝0，
解得m＝﹣8．
∴2m+1＝﹣3+1＝﹣3，
∴一次项系数为﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练根据多项式乘多项式的计算法则将算式展开．
7．（3分）如图，点D为边BC的中点，AE为△ABD的中线，△ABE的面积为S1，则下列结论正确的是（ ）
A．S＝3S1 B．S＝4S1 C．S＝5S1 D．S＝6S1
【分析】根据三角形中线的性质即可证明S△ADB＝S△ADC；由此解答即可．
【解答】解：作AF⊥BC．
∵S△ADB＝BD×AF×＝△ABC，
S△ADC＝CD×AF×＝S△ABC，
又∵AD为△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴S△ADB＝S△ADC，
同理，
∴S△ABE＝S△ABC，
S＝S△ADC+S△ADE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC，
即S1＝S，
∴S＝3S1，
故选：A．
【点评】考查了三角形的面积和三角形中线的性质，三角形中线将三角形分成面积相等的两部分．
8．（3分）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若∠1比∠2大9°（ ）
A．66° B．68° C．54° D．56°
【分析】根据平行线的性质、折叠的性质，可以计算出∠2的度数，然后即可计算出∠1的度数．
【解答】解：如图所示，由题意可得：∠3＝∠4，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠3，
∴∠2＝∠2，
由图可得，∠1+∠2+∠2＝180°，
∵∠1比∠2大12°，
∴（∠8+12°）+∠2+∠2＝180°，
解得∠3＝56°，
∴∠1＝∠2+12°＝56°+12°＝68°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（3分）某校社团举行“母亲节”感恩活动，先用800元购进第一批康乃馨，售完后又用400元购进第二批康乃馨，所购数量是第一批数量的，设第一批康乃馨的单价是x元（ ）
A．+1＝400 B．＝
C． D．＝
【分析】设第一批康乃馨的单价是x元，则第二批康乃馨的单价是（x+1）元，根据第二批所购数量是第一批所购数量的三分之一列出方程即可．
【解答】解：设第一批康乃馨的单价是x元，则第二批康乃馨的单价是（x+1）元，
根据题意，得＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形BEFH也是正方形2＝CH×GH．设AB＝a，CH＝b．若ab＝5，则图中阴影部分的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．20
【分析】首先根据正方形的性质及AB＝a，CH＝b，可得出BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，AE＝AB+BE＝2a﹣b，进而可求出S正方形ABCD＝a2，S长方形AEFG＝2a2﹣3ab+b2，据此可得a2+b2＝3ab，然后根据完全平方公式得（a+b）2＝5ab，将ab＝20代入可求出a+b的值，进而可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD，四边形BEFH为正方形，CH＝b，
∴BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，
∴S正方形ABCD＝AB2＝a2，
S长方形AEFG＝AE•EF＝（8a﹣b）（a﹣b）＝2a2﹣5ab+b2，
∵正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，
∴a2＝3a2﹣3ab+b5，
整理得：a2+b2＝7ab，
∴（a+b）2＝5ab，
∵ab＝5，
∴（a+b）2＝5×7，
∴a+b＝5，
∴阴影部分的周长为：2（CD+CH）＝8（a+b）＝10．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，正方形和矩形的面积，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握正方形和矩形的性质．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（π﹣2023）0＝ 1 ．
【分析】根据零指数幂运算即可．
【解答】解：（π﹣2023）0＝1．
故答案为：5．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（3分）已知一个样本有40个数据，把它分成5组，第一组到第四组的频数分别是10、4、x、16，则x的值为 6 ．
【分析】根据频率＝可求出第5组的频数，再根据频数之和等于样本容量进行计算即可．
【解答】解：第5组的频数为：40×0.8＝4，
所以x＝40﹣10﹣4﹣16﹣8＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查频数与频率，掌握频率＝以及频数之和等于样本容量是正确计算的前提．
13．（3分）当m＝2n﹣13时，代数式m2﹣4mn+4n2＝ 169 ．
【分析】首先利用完全平方公式进行分解，然后再代入m＝2n﹣3计算即可．
【解答】解：因为m＝2n﹣13，
所以m2﹣2mn+4n2
＝（m﹣7n）2
＝（2n﹣13﹣8n）2
＝169．
故答案为：169．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是关键．
14．（3分）一同学在解关于x的分式方程的过程中产生了增根，则a的值为 ﹣7 ．
【分析】先去分母，再将增根x＝3代入求解即可．
【解答】解：去分母，得a+7＝14（x﹣3），
将增根x＝2代入，得a+7＝0，
解得a＝﹣6，
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
15．（3分）若关于x，y的的解是，n的方程组的解是 ．
【分析】仿照已知方程组的解法求出所求方程组的解即可．
【解答】解：原方程组可变为，
∵关于x，y的，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（3分）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒12°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝ 或或 秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
【分析】分三种情况，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：分三种情况：
①当A′C∥AB时，如图：
∴∠A′CA＝∠BAC＝45°，
∴12t＝45，
∴t＝．
②当A'D'∥AC时，
∴∠A′CA＝∠A′＝30°，
∴12t＝30，
∴t＝．
③当A'D'∥AB时，
∴∠A′CA＝∠A+∠A′＝75°，
∴12t＝75，
∴t＝．
综上所述，当旋转时间t＝2或5或5秒时．
故答案为：或或．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
三、解答题（17题9分，18题5分，19题6分，20题8分，21题6分，22题8分，23题10分，共52分）
17．（9分）（1）计算：；
（2）解方程组：；
（3）解方程：．
【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方运算求解即可；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可；
（3）先去分母，化为整式方程，再解一元一次方程即可．
【解答】解：（1）
＝﹣1+3+1
＝4；
（2），
由①，得x+1＝4y，
∴x﹣6y＝﹣1③，
由②，得6x+2﹣y＝11，
∴2x﹣y＝6④，
③×2﹣②，得﹣11y＝﹣11，
解得y＝1，
将y＝5代入③，得x﹣6＝﹣1，
解得x＝5，
∴原方程组的解为．
（3）去分母，得x﹣（5x﹣1）＝﹣3，
整理，得﹣x＝﹣3，
解得x＝4，
经检验，x＝4是原分式方程的根，
∴x＝6．
【点评】本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键，解分式方程注意检验．
18．（5分）先化简，再求值：，并从﹣2，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：
＝•
＝•
＝•
＝a（a﹣1）
＝a2﹣a，
∵a+8≠0，a﹣1≠5，
∴a≠﹣2，a≠1，
∴当a＝5时，原式＝22﹣4＝4﹣2＝4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将三角形ABC向右平移4格，再向上平移2格（点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C′）．
（1）请画出平移后的三角形A′B′C′，并标明对应字母；
（2）若将三角形ABC经过一次平移得到图（1）中的三角形A′B'C'，则线段AC在平移过程中扫过区域的面积为 10 ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）四边形面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图1，△A′B′C′即为所求；
（2）如图2，
线段AC在平移过程中扫过区域的面积为＝2×8﹣2××4×3﹣2×，
故答案为：24．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
20．（8分）为发展学生的综合素养，某校积极开展“四点半课程”试点活动，某校根据实际，B：网球，C：击剑，四种运动项目，为了解学生最喜欢哪一种项目，并将调查结果绘制成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是 20% ，其所在扇形图中的圆心角的度数是 72° ；
（2）随机抽查了多少学生？请把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有2000人，请统计全校最喜欢乒乓球的人数是多少？
【分析】（1）分析统计图可知，样本中最喜欢B项目的人数百分比可用1减去其他项目所占的百分比求得，求出后再乘以360度即可求出度数；
（2）根据（1）的计算结果补全图形；
（3）用全校学生数×选乒乓球的学生所占百分比即可．
【解答】解：（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是1﹣44%﹣8%﹣28%＝20%，其所在扇形图中的圆心角的度数是360°×20%＝72°．
故答案为：20%；72°；
（2）B组人数44÷44%×20%＝20（人），画图如下：
（3）2000×44%＝880（人），
答：全校最喜欢乒乓球的人数大约是880人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（6分）已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
（1）如图1，点P在线段CD上，∠1＝25°，求∠APB的度数．
（2）如图2，当点P在直线l3上运动时，试判断∠APB，∠1，直接写出结果，不需要说明理由．
【分析】作辅助线使PN∥l1∥l2，平行线的性质的灵活运用，两直线平行内错角相等，∠APN＝∠1，∠NPB＝∠2进而作答．
【解答】解：（1）过点P作PN∥l1如图1，
又直线l5∥l2，
∴PN∥l1∥l7，
∵PN∥l1，
∴∠APN＝∠1＝25°，
∵PN∥l3，
∴∠NPB＝∠2＝40°，
∴∠APB＝∠NPB+∠APN＝25°+40°＝65°．
故∠APB的度数为65°.
（2）过点P作PN∥l2，①当点P在直线l7，l2上方时如图2，
又直线l3∥l2，
∴PN∥l1∥l6，
∵PN∥l1，
∴∠APN＝∠1，
∵PN∥l8，
∴∠NPB＝∠2，
∴∠2＝∠APN+∠APB＝∠8+∠APB，
即：∠2＝∠1+∠APB；
②当点P在直线l4，l2中间时如图3，又直线l4∥l2，
∴PN∥l1∥l3，
∵PN∥l1，
∴∠APN＝∠1，
∵PN∥l2，
∴∠NPB＝∠2，
∴∠APB＝∠NPB+∠APN＝∠1+∠8，即∠APB＝∠1+∠2；
③当点P在直线l8，l2下方时如图4，又直线l5∥l2，
∴PN∥l1∥l3，
∵PN∥l1，
∴∠APN＝∠1，
∵PN∥l6，
∴∠NPB＝∠2，
∴∠1＝∠APB+∠4，即∠APB＝∠1+∠2.
【点评】本题考查平行线的性质的灵活运用，两直线平行内错角相等，有关平行线中相关角的等量关系．解题的关键是逢拐点作平行线．
22．（8分）小江到某体育用品商店购物，他已选定需购买的篮球和羽毛球的种类，若购买2个篮球和7副羽毛球拍共需360元
（1）每个篮球需 54 元，每副羽毛球拍 36 元；
（2）“六一”儿童节，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售
①商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小江在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，并正好用完所带的324元，问他有几种购买方案
【分析】（1）设篮球的单价为x元，羽毛球拍的单价为y元，根据“购买2个篮球和7副羽毛球拍共需360元；购买3个篮球和1副羽毛球拍共需198元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行m折销售，利用数量＝总价÷单价，结合用243元购买篮球的个数比用324元购买羽毛球拍的副数少5，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
②小江共有3种购买方案，设购买a个篮球，b副羽毛球拍，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，再结合a，b均为正整数，即可得出小江共有3种购买方案．
【解答】解：（1）设篮球的单价为x元，羽毛球拍的单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
∴篮球的单价为54元，羽毛球拍的单价为36元．
故答案为：54，36；
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行m折销售，
根据题意得：﹣＝5，
解得：m＝9，
经检验，m＝3是所列方程的解．
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行9折销售；
②小江共有3种购买方案，理由如下：
设购买a个篮球，b副羽毛球拍，
根据题意得：54×a+36×，
∴b＝10﹣a，
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴小江共有3种购买方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23．（10分）如图，将三个边长a，b，c（a＞b＞c）的正方形分别放入长方形ABCD和长方形EFGH中1，C2，C3，C4，面积分别为S1，S2，S3，S4．
（1）若a＝3，b＝2，c＝1；
（2）若长方形ABCD的周长为18，长方形EFGH的周长为15，能求出C1，C2，C3，C4中的哪些值？
（3）若C1+C2＝m，C2﹣C3＝n，C3﹣C4＝P，求S1+S2﹣S3﹣S4 （结果用含m，n，p的代数式表示）．
【分析】根据三个边长a，b，c（a＞b＞c）的正方形，分别表示四个长方形的长和宽，进而表示出四个长方形的周长和面积，进而作答．
【解答】解：（1）长方形ABCD的长为：a+b+c，
长方形ABCD的宽为：a+b﹣c，
故长方形ABCD的面积为：（a+b+c）（a+b﹣c），
a＝3，b＝2，
面积为：5×4＝24，
∴长方形ABCD的面积为24；
（2）长方形ABCD的周长为18，
即2（a+b+c+a+b﹣c）＝7a+4b＝18，
a+b＝①，
同理，长方形EFGH的周长为15，
即2（a+b+b+c）＝2a+4b+2c＝15，
a+2b+c＝②，
②﹣①得b+c＝3，
如图，C1＝6（a+c+b﹣c）＝2a+2b＝3，
C2＝2（a﹣c+b+c）＝4a+2b＝9，
C4＝2（b+c﹣a+a）＝2b+2c＝6，
C4＝8（b﹣c+c）＝2b，
∴能求出C1，C7，C3的值；
（3）C1+C4＝4a+4b＝m，
a+b＝，
C2﹣C3＝2a+2b﹣（2b+7c）＝2a﹣2c＝n，
a﹣c＝，
C3﹣C4＝6b+2c﹣2b＝5c＝P，
c＝，
S1+S6﹣S3﹣S4
＝（a+c）（b﹣c）+（a﹣c）（b+c）﹣a（b+c﹣a）﹣c（b﹣c）
＝ab﹣ac﹣bc+a5﹣3c2
＝（a+b）（a﹣c）﹣3c2
＝×﹣3×（）7
＝﹣，
∴S1+S2﹣S3﹣S4＝﹣．
【点评】本题考查根据长方形和正方形的边长，表示周长和面积，解题的关键是代数式的变换和代入．
浙江省宁波市江北实验中学2023-2024学年八年级上学期起始考数学试卷（解析版）
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列调查中，适合用抽样调查的是（ ）
A．返校前每个班级学生健康码情况调查
B．对乘坐高铁的乘客进行安检
C．调查一批防疫口罩的质量情况
D．对新研发导弹的零部件进行检查
2．（3分）红细胞的平均直径是0.0000072m，0.0000072这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．0.72×10﹣5 B．7.2×10﹣5 C．7.2×10﹣6 D．72×10﹣7
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a5+a2＝a7 B．（a3）2＝a5
C．（﹣2a）3•a5＝﹣8a8 D．a6÷a2＝a3
4．（3分）若将分式中的x和y都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．不变
C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的
5．（3分）若是二元一次方程组的解b的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
6．（3分）若（x﹣2）（x2﹣mx+1）的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．
7．（3分）如图，点D为边BC的中点，AE为△ABD的中线，△ABE的面积为S1，则下列结论正确的是（ ）
A．S＝3S1 B．S＝4S1 C．S＝5S1 D．S＝6S1
8．（3分）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若∠1比∠2大9°（ ）
A．66° B．68° C．54° D．56°
9．（3分）某校社团举行“母亲节”感恩活动，先用800元购进第一批康乃馨，售完后又用400元购进第二批康乃馨，所购数量是第一批数量的，设第一批康乃馨的单价是x元（ ）
A．+1＝400 B．＝
C． D．＝
10．（3分）如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形BEFH也是正方形2＝CH×GH．设AB＝a，CH＝b．若ab＝5，则图中阴影部分的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．20
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（π﹣2023）0＝ ．
12．（3分）已知一个样本有40个数据，把它分成5组，第一组到第四组的频数分别是10、4、x、16，则x的值为 ．
13．（3分）当m＝2n﹣13时，代数式m2﹣4mn+4n2＝ ．
14．（3分）一同学在解关于x的分式方程的过程中产生了增根，则a的值为 ．
15．（3分）若关于x，y的的解是，n的方程组的解是 ．
16．（3分）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒12°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝ 秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
三、解答题（17题9分，18题5分，19题6分，20题8分，21题6分，22题8分，23题10分，共52分）
17．（9分）（1）计算：；
（2）解方程组：；
（3）解方程：．
18．（5分）先化简，再求值：，并从﹣2，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
19．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将三角形ABC向右平移4格，再向上平移2格（点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C′）．
（1）请画出平移后的三角形A′B′C′，并标明对应字母；
（2）若将三角形ABC经过一次平移得到图（1）中的三角形A′B'C'，则线段AC在平移过程中扫过区域的面积为 ．
20．（8分）为发展学生的综合素养，某校积极开展“四点半课程”试点活动，某校根据实际，B：网球，C：击剑，四种运动项目，为了解学生最喜欢哪一种项目，并将调查结果绘制成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是 ，其所在扇形图中的圆心角的度数是 ；
（2）随机抽查了多少学生？请把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有2000人，请统计全校最喜欢乒乓球的人数是多少？
21．（6分）已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
（1）如图1，点P在线段CD上，∠1＝25°，求∠APB的度数．
（2）如图2，当点P在直线l3上运动时，试判断∠APB，∠1，直接写出结果，不需要说明理由．
22．（8分）小江到某体育用品商店购物，他已选定需购买的篮球和羽毛球的种类，若购买2个篮球和7副羽毛球拍共需360元
（1）每个篮球需 元，每副羽毛球拍 元；
（2）“六一”儿童节，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售
①商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小江在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，并正好用完所带的324元，问他有几种购买方案
23．（10分）如图，将三个边长a，b，c（a＞b＞c）的正方形分别放入长方形ABCD和长方形EFGH中1，C2，C3，C4，面积分别为S1，S2，S3，S4．
（1）若a＝3，b＝2，c＝1；
（2）若长方形ABCD的周长为18，长方形EFGH的周长为15，能求出C1，C2，C3，C4中的哪些值？
（3）若C1+C2＝m，C2﹣C3＝n，C3﹣C4＝P，求S1+S2﹣S3﹣S4 （结果用含m，n，p的代数式表示）．
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（3分）下列调查中，适合用抽样调查的是（ ）
A．返校前每个班级学生健康码情况调查
B．对乘坐高铁的乘客进行安检
C．调查一批防疫口罩的质量情况
D．对新研发导弹的零部件进行检查
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【解答】解：A．返校前每个班级学生健康码情况调查，此选项不符合题意；
B．对乘坐高铁的乘客进行安检，此选项不符合题意；
C．调查一批防疫口罩的质量情况，此选项符合题意；
D．对新研发导弹的零部件进行检查，此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
2．（3分）红细胞的平均直径是0.0000072m，0.0000072这个数用科学记数法可表示为（ ）
A．0.72×10﹣5 B．7.2×10﹣5 C．7.2×10﹣6 D．72×10﹣7
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000072＝7.3×10﹣6．
故选：C．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．a5+a2＝a7 B．（a3）2＝a5
C．（﹣2a）3•a5＝﹣8a8 D．a6÷a2＝a3
【分析】根据同类项，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的乘除法逐一判断即可．
【解答】解：A、a5与a2不是同类项，不能合并；
B、（a2）2＝a6，故本选项错误；
C、（﹣2a）3•a5＝﹣6a8，故本选项正确；
D、a6÷a3＝a4，故本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查的是合并同类项，幂的运算法则，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方和同底数幂的除法是解决此题的关键．
4．（3分）若将分式中的x和y都扩大到原来的10倍，则分式的值（ ）
A．缩小到原来的 B．不变
C．扩大到原来的10倍 D．缩小到原来的
【分析】根据分式的性质进行解答即可．
【解答】解：设＝a中的x和y都扩大到原来的10倍为：
＝＝×＝a，
所以将分式中的x和y都扩大到原来的10倍，
故选：A．
【点评】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是正确解答的关键．
5．（3分）若是二元一次方程组的解b的值为（ ）
A．﹣5 B．5 C． D．﹣
【分析】先把代入原方程组，再解关于a、b的二元一次方程组，代入要求的代数式即可得出答案．
【解答】解：把代入二元一次方程组得，
，解得：，
∴ab＝，
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的解，先将x，y的值代入，再计算即可．
6．（3分）若（x﹣2）（x2﹣mx+1）的展开式中不含x的二次项，则化简后的一次项系数是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C． D．
【分析】根据多项式乘多项式计算法则展开后合并同类项，再根据展开式中不含x的二次项求出m的值即可．
【解答】解：原式＝x3﹣mx2+x﹣2x2+2mx﹣3
＝x3﹣（m+2）x8+（2m+1）x﹣2，
∵展开式中不含x的二次项，
∴m+2＝0，
解得m＝﹣8．
∴2m+1＝﹣3+1＝﹣3，
∴一次项系数为﹣4．
故选：A．
【点评】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练根据多项式乘多项式的计算法则将算式展开．
7．（3分）如图，点D为边BC的中点，AE为△ABD的中线，△ABE的面积为S1，则下列结论正确的是（ ）
A．S＝3S1 B．S＝4S1 C．S＝5S1 D．S＝6S1
【分析】根据三角形中线的性质即可证明S△ADB＝S△ADC；由此解答即可．
【解答】解：作AF⊥BC．
∵S△ADB＝BD×AF×＝△ABC，
S△ADC＝CD×AF×＝S△ABC，
又∵AD为△ABC中BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴S△ADB＝S△ADC，
同理，
∴S△ABE＝S△ABC，
S＝S△ADC+S△ADE＝S△ABC+S△ABC＝S△ABC，
即S1＝S，
∴S＝3S1，
故选：A．
【点评】考查了三角形的面积和三角形中线的性质，三角形中线将三角形分成面积相等的两部分．
8．（3分）如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠，若∠1比∠2大9°（ ）
A．66° B．68° C．54° D．56°
【分析】根据平行线的性质、折叠的性质，可以计算出∠2的度数，然后即可计算出∠1的度数．
【解答】解：如图所示，由题意可得：∠3＝∠4，
∵AB∥CD，
∴∠4＝∠3，
∴∠2＝∠2，
由图可得，∠1+∠2+∠2＝180°，
∵∠1比∠2大12°，
∴（∠8+12°）+∠2+∠2＝180°，
解得∠3＝56°，
∴∠1＝∠2+12°＝56°+12°＝68°，
故选：B．
【点评】本题考查平行线的性质、折叠的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9．（3分）某校社团举行“母亲节”感恩活动，先用800元购进第一批康乃馨，售完后又用400元购进第二批康乃馨，所购数量是第一批数量的，设第一批康乃馨的单价是x元（ ）
A．+1＝400 B．＝
C． D．＝
【分析】设第一批康乃馨的单价是x元，则第二批康乃馨的单价是（x+1）元，根据第二批所购数量是第一批所购数量的三分之一列出方程即可．
【解答】解：设第一批康乃馨的单价是x元，则第二批康乃馨的单价是（x+1）元，
根据题意，得＝．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．
10．（3分）如图，正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，且四边形BEFH也是正方形2＝CH×GH．设AB＝a，CH＝b．若ab＝5，则图中阴影部分的周长是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．20
【分析】首先根据正方形的性质及AB＝a，CH＝b，可得出BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，AE＝AB+BE＝2a﹣b，进而可求出S正方形ABCD＝a2，S长方形AEFG＝2a2﹣3ab+b2，据此可得a2+b2＝3ab，然后根据完全平方公式得（a+b）2＝5ab，将ab＝20代入可求出a+b的值，进而可得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD，四边形BEFH为正方形，CH＝b，
∴BC＝AB＝CD＝a，BE＝BH＝EF＝BC﹣CH＝a﹣b，
∴S正方形ABCD＝AB2＝a2，
S长方形AEFG＝AE•EF＝（8a﹣b）（a﹣b）＝2a2﹣5ab+b2，
∵正方形ABCD和长方形AEFG的面积相等，
∴a2＝3a2﹣3ab+b5，
整理得：a2+b2＝7ab，
∴（a+b）2＝5ab，
∵ab＝5，
∴（a+b）2＝5×7，
∴a+b＝5，
∴阴影部分的周长为：2（CD+CH）＝8（a+b）＝10．
故选：C．
【点评】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质，正方形和矩形的面积，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握正方形和矩形的性质．
二、填空题（每小题3分，共18分）
11．（3分）（π﹣2023）0＝ 1 ．
【分析】根据零指数幂运算即可．
【解答】解：（π﹣2023）0＝1．
故答案为：5．
【点评】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
12．（3分）已知一个样本有40个数据，把它分成5组，第一组到第四组的频数分别是10、4、x、16，则x的值为 6 ．
【分析】根据频率＝可求出第5组的频数，再根据频数之和等于样本容量进行计算即可．
【解答】解：第5组的频数为：40×0.8＝4，
所以x＝40﹣10﹣4﹣16﹣8＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查频数与频率，掌握频率＝以及频数之和等于样本容量是正确计算的前提．
13．（3分）当m＝2n﹣13时，代数式m2﹣4mn+4n2＝ 169 ．
【分析】首先利用完全平方公式进行分解，然后再代入m＝2n﹣3计算即可．
【解答】解：因为m＝2n﹣13，
所以m2﹣2mn+4n2
＝（m﹣7n）2
＝（2n﹣13﹣8n）2
＝169．
故答案为：169．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是关键．
14．（3分）一同学在解关于x的分式方程的过程中产生了增根，则a的值为 ﹣7 ．
【分析】先去分母，再将增根x＝3代入求解即可．
【解答】解：去分母，得a+7＝14（x﹣3），
将增根x＝2代入，得a+7＝0，
解得a＝﹣6，
故答案为：﹣7．
【点评】本题考查了分式方程的增根，熟练掌握分式方程增根的含义是解题的关键．
15．（3分）若关于x，y的的解是，n的方程组的解是 ．
【分析】仿照已知方程组的解法求出所求方程组的解即可．
【解答】解：原方程组可变为，
∵关于x，y的，
∴，
解得：．
故答案为：．
【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16．（3分）两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC边重合，∠BAC＝45°，将三角板ACD绕着点C按顺时针以每秒12°的速度旋转90°后停止．在此旋转过程中，当旋转时间t＝ 或或 秒时，三角板A′CD′有一条边与三角板ABC的一条边恰好平行．
【分析】分三种情况，根据平行线的性质解答即可．
【解答】解：分三种情况：
①当A′C∥AB时，如图：
∴∠A′CA＝∠BAC＝45°，
∴12t＝45，
∴t＝．
②当A'D'∥AC时，
∴∠A′CA＝∠A′＝30°，
∴12t＝30，
∴t＝．
③当A'D'∥AB时，
∴∠A′CA＝∠A+∠A′＝75°，
∴12t＝75，
∴t＝．
综上所述，当旋转时间t＝2或5或5秒时．
故答案为：或或．
【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
三、解答题（17题9分，18题5分，19题6分，20题8分，21题6分，22题8分，23题10分，共52分）
17．（9分）（1）计算：；
（2）解方程组：；
（3）解方程：．
【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，有理数的乘方运算求解即可；
（2）根据加减消元法解二元一次方程组即可；
（3）先去分母，化为整式方程，再解一元一次方程即可．
【解答】解：（1）
＝﹣1+3+1
＝4；
（2），
由①，得x+1＝4y，
∴x﹣6y＝﹣1③，
由②，得6x+2﹣y＝11，
∴2x﹣y＝6④，
③×2﹣②，得﹣11y＝﹣11，
解得y＝1，
将y＝5代入③，得x﹣6＝﹣1，
解得x＝5，
∴原方程组的解为．
（3）去分母，得x﹣（5x﹣1）＝﹣3，
整理，得﹣x＝﹣3，
解得x＝4，
经检验，x＝4是原分式方程的根，
∴x＝6．
【点评】本题考查了解分式方程，解二元一次方程组，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握这些知识是解题的关键，解分式方程注意检验．
18．（5分）先化简，再求值：，并从﹣2，0，1，2中选取一个合适的数作为a的值代入求值．
【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，然后把a的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【解答】解：
＝•
＝•
＝•
＝a（a﹣1）
＝a2﹣a，
∵a+8≠0，a﹣1≠5，
∴a≠﹣2，a≠1，
∴当a＝5时，原式＝22﹣4＝4﹣2＝4．
【点评】本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．（6分）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，将三角形ABC向右平移4格，再向上平移2格（点A，B，C的对应点分别为A'，B'，C′）．
（1）请画出平移后的三角形A′B′C′，并标明对应字母；
（2）若将三角形ABC经过一次平移得到图（1）中的三角形A′B'C'，则线段AC在平移过程中扫过区域的面积为 10 ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可；
（2）四边形面积看成矩形的面积减去周围的四个三角形面积即可．
【解答】解：（1）如图1，△A′B′C′即为所求；
（2）如图2，
线段AC在平移过程中扫过区域的面积为＝2×8﹣2××4×3﹣2×，
故答案为：24．
【点评】本题考查作图﹣平移变换，四边形的面积等知识，解题关键是掌握平移变换的性质，学会用割补法求四边形面积．
20．（8分）为发展学生的综合素养，某校积极开展“四点半课程”试点活动，某校根据实际，B：网球，C：击剑，四种运动项目，为了解学生最喜欢哪一种项目，并将调查结果绘制成如下统计图，请你结合图中信息解答下列问题．
（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是 20% ，其所在扇形图中的圆心角的度数是 72° ；
（2）随机抽查了多少学生？请把条形统计图补充完整；
（3）已知该校有2000人，请统计全校最喜欢乒乓球的人数是多少？
【分析】（1）分析统计图可知，样本中最喜欢B项目的人数百分比可用1减去其他项目所占的百分比求得，求出后再乘以360度即可求出度数；
（2）根据（1）的计算结果补全图形；
（3）用全校学生数×选乒乓球的学生所占百分比即可．
【解答】解：（1）样本中最喜欢B项目的人数百分比是1﹣44%﹣8%﹣28%＝20%，其所在扇形图中的圆心角的度数是360°×20%＝72°．
故答案为：20%；72°；
（2）B组人数44÷44%×20%＝20（人），画图如下：
（3）2000×44%＝880（人），
答：全校最喜欢乒乓球的人数大约是880人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．（6分）已知直线l1∥l2，l3和l1，l2分别交于C，D点，点A1，l2上，且位于l3的左侧，点P在直线l3上，且不和点C，D重合．
（1）如图1，点P在线段CD上，∠1＝25°，求∠APB的度数．
（2）如图2，当点P在直线l3上运动时，试判断∠APB，∠1，直接写出结果，不需要说明理由．
【分析】作辅助线使PN∥l1∥l2，平行线的性质的灵活运用，两直线平行内错角相等，∠APN＝∠1，∠NPB＝∠2进而作答．
【解答】解：（1）过点P作PN∥l1如图1，
又直线l5∥l2，
∴PN∥l1∥l7，
∵PN∥l1，
∴∠APN＝∠1＝25°，
∵PN∥l3，
∴∠NPB＝∠2＝40°，
∴∠APB＝∠NPB+∠APN＝25°+40°＝65°．
故∠APB的度数为65°.
（2）过点P作PN∥l2，①当点P在直线l7，l2上方时如图2，
又直线l3∥l2，
∴PN∥l1∥l6，
∵PN∥l1，
∴∠APN＝∠1，
∵PN∥l8，
∴∠NPB＝∠2，
∴∠2＝∠APN+∠APB＝∠8+∠APB，
即：∠2＝∠1+∠APB；
②当点P在直线l4，l2中间时如图3，又直线l4∥l2，
∴PN∥l1∥l3，
∵PN∥l1，
∴∠APN＝∠1，
∵PN∥l2，
∴∠NPB＝∠2，
∴∠APB＝∠NPB+∠APN＝∠1+∠8，即∠APB＝∠1+∠2；
③当点P在直线l8，l2下方时如图4，又直线l5∥l2，
∴PN∥l1∥l3，
∵PN∥l1，
∴∠APN＝∠1，
∵PN∥l6，
∴∠NPB＝∠2，
∴∠1＝∠APB+∠4，即∠APB＝∠1+∠2.
【点评】本题考查平行线的性质的灵活运用，两直线平行内错角相等，有关平行线中相关角的等量关系．解题的关键是逢拐点作平行线．
22．（8分）小江到某体育用品商店购物，他已选定需购买的篮球和羽毛球的种类，若购买2个篮球和7副羽毛球拍共需360元
（1）每个篮球需 54 元，每副羽毛球拍 36 元；
（2）“六一”儿童节，该体育用品商店举行让利促销活动，篮球和羽毛球拍均以相同折扣进行销售
①商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行几折销售？
②小江在这次让利促销活动中同时购买篮球和羽毛球拍，并正好用完所带的324元，问他有几种购买方案
【分析】（1）设篮球的单价为x元，羽毛球拍的单价为y元，根据“购买2个篮球和7副羽毛球拍共需360元；购买3个篮球和1副羽毛球拍共需198元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行m折销售，利用数量＝总价÷单价，结合用243元购买篮球的个数比用324元购买羽毛球拍的副数少5，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论；
②小江共有3种购买方案，设购买a个篮球，b副羽毛球拍，利用总价＝单价×数量，可列出关于a，b的二元一次方程，再结合a，b均为正整数，即可得出小江共有3种购买方案．
【解答】解：（1）设篮球的单价为x元，羽毛球拍的单价为y元，
根据题意得：，
解得：，
∴篮球的单价为54元，羽毛球拍的单价为36元．
故答案为：54，36；
（2）①设商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行m折销售，
根据题意得：﹣＝5，
解得：m＝9，
经检验，m＝3是所列方程的解．
答：商店本次活动对篮球和羽毛球拍进行9折销售；
②小江共有3种购买方案，理由如下：
设购买a个篮球，b副羽毛球拍，
根据题意得：54×a+36×，
∴b＝10﹣a，
又∵a，b均为正整数，
∴或或，
∴小江共有3种购买方案．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①找准等量关系，正确列出分式方程；②找准等量关系，正确列出二元一次方程．
23．（10分）如图，将三个边长a，b，c（a＞b＞c）的正方形分别放入长方形ABCD和长方形EFGH中1，C2，C3，C4，面积分别为S1，S2，S3，S4．
（1）若a＝3，b＝2，c＝1；
（2）若长方形ABCD的周长为18，长方形EFGH的周长为15，能求出C1，C2，C3，C4中的哪些值？
（3）若C1+C2＝m，C2﹣C3＝n，C3﹣C4＝P，求S1+S2﹣S3﹣S4 （结果用含m，n，p的代数式表示）．
【分析】根据三个边长a，b，c（a＞b＞c）的正方形，分别表示四个长方形的长和宽，进而表示出四个长方形的周长和面积，进而作答．
【解答】解：（1）长方形ABCD的长为：a+b+c，
长方形ABCD的宽为：a+b﹣c，
故长方形ABCD的面积为：（a+b+c）（a+b﹣c），
a＝3，b＝2，
面积为：5×4＝24，
∴长方形ABCD的面积为24；
（2）长方形ABCD的周长为18，
即2（a+b+c+a+b﹣c）＝7a+4b＝18，
a+b＝①，
同理，长方形EFGH的周长为15，
即2（a+b+b+c）＝2a+4b+2c＝15，
a+2b+c＝②，
②﹣①得b+c＝3，
如图，C1＝6（a+c+b﹣c）＝2a+2b＝3，
C2＝2（a﹣c+b+c）＝4a+2b＝9，
C4＝2（b+c﹣a+a）＝2b+2c＝6，
C4＝8（b﹣c+c）＝2b，
∴能求出C1，C7，C3的值；
（3）C1+C4＝4a+4b＝m，
a+b＝，
C2﹣C3＝2a+2b﹣（2b+7c）＝2a﹣2c＝n，
a﹣c＝，
C3﹣C4＝6b+2c﹣2b＝5c＝P，
c＝，
S1+S6﹣S3﹣S4
＝（a+c）（b﹣c）+（a﹣c）（b+c）﹣a（b+c﹣a）﹣c（b﹣c）
＝ab﹣ac﹣bc+a5﹣3c2
＝（a+b）（a﹣c）﹣3c2
＝×﹣3×（）7
＝﹣，
∴S1+S2﹣S3﹣S4＝﹣．
【点评】本题考查根据长方形和正方形的边长，表示周长和面积，解题的关键是代数式的变换和代入．
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