2022年江苏省南京市金陵中学教育集团中考数学一模试卷（含解析）

2022年江苏省南京市金陵中学教育集团中考数学一模试卷

副标题

一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）

1. 如图，若、分别是实数、在数轴上对应的点，则下列式子的值一定是负数的是

A.  B.  C.  D.

2. 李奶奶买了一筐草莓，连筐共，其中筐将草莓平均分给位小朋友，每位小朋友可分得

A.  B.  C.  D.

3. 已知四边形中，，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是

A.  B.  C.  D.

4. 滑雪比赛有位评委给选手打分，统计每位选手得分时，会去掉个最高分和个最低分，这样做，不会影响的所有评委打分的统计量是

A. 极差 B. 平均数 C. 众数 D. 中位数

5. 如图是一个三棱柱和它的侧面展开图，其中线段、、、分别表示这个三棱柱的侧棱，若，，则的长度可能是

A.  B.  C.  D.

6. 二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是

A. ，
B. ，
C. ，
D. ，

二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）

7. 的倒数是______；的相反数是______．
8. 若式子有意义，则的取值范围是______．
9. 分解因式：______．
10. 计算的结果是______．
11. 如图，在正五边形中，是的中点，连接，交于点，则的度数是______．
    
    
     

12. 如图，点在函数的图象上，点在轴上，且，若的面积为，则的值为______．
    
     

13. 如图，正方形的边长为，点为的中点，以为圆心，为半径作圆，分别交、于、两点，与切于点．则图中阴影部分的面积是______．
    
     

14. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的最小值是______．
15. 如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为______．
     

16. 如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于、、、四点．已知，，，则点的坐标为______．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）

17. 计算：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
18. 解方程：．
    
    
    
    
    
    
     
19. 甲、乙两位学生参加校运会射击选拔赛，两人各射击了次，小明根据他们的成绩单位：环列表，并计算了甲成绩的平均数和方差见小明的作业．
    甲、乙两人射击成绩统计表

小明的作业

请参照小明的计算方法，求出乙成绩的平均数与方差．
请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．






 

20. 南京市自年月日起实施“生活垃圾分类管理办法”，阳光花园小区设置了“可回收物”、“有害垃圾”、“厨余垃圾”、和“其他垃圾”四种垃圾箱，分别记为、、、．
    快递包装纸盒应投入______垃圾箱；
    小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是______；
    小丽将二种垃圾“废弃食物”属于厨余垃圾，记为、“打碎的陶瓷碗”属于其他垃圾，记为随机投放，求她投放正确的概率．
    
    
    
    
    
    
     
21. 如图，在▱中，、分别是、的中点，与相交于点，与相交于点．
    证明：四边形是平行四边形；
    当▱具备怎样的条件时，四边形是菱形？请直接写出条件，无需说明理由．
    
    
    
    
    
    
     
22. 哥哥弟弟进行米赛跑，哥哥跑得比弟弟快．图、图均描述了两人次赛跑的实际情形．假设两人次赛跑的速度保持不变，其中所跑路程为米，时间为秒．
    请描述图中两人赛跑的实际情形；
    求哥哥、弟弟的速度；
    求图中直线对应的函数表达式．

23. 如图是一个亭子的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是亭子的高所在的直线．为了测量亭子的高度，在地面上点测得亭子顶端的仰角为，此时地面上点、亭檐上点、亭顶上点三点恰好共线，继续向亭子方向走到达点时，又测得亭檐点的仰角为，亭子的顶层横梁，，交于点点，，在同一水平线上求亭子的高结果精确到．
    参考数据：，，，

24. 在中，，．
    用直尺与圆规作的角平分线；
    找出图中的相似三角形，并证明；
    直接写出的值．
    
    
     

25. 已知二次函数、是常数，过点，，
    若．
    该抛物线的对称轴为直线______；
    求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点．
    若，，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
26. 如图，在中，，以为直径的交于点，点在的延长线上，且．
    求证：直线是的切线；
    若，，求的半径长及的值．
    
    
    
     

如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，，，，分别交于点、，连接．
当平分时，求证：；
当时，求的值．
当点是的中点，点是的中点，当点从点运动到点时，直接写出点运动的路径长．







答案和解析

1.【答案】
 

【解析】解：由数轴得，．
A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、是奇数时，是负数，是偶数时，是正数，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故选：．
根据有理数的运算，可得答案．
本题考查了实数与数轴，利用数轴得出，是解题关键，又利用了有理数的运算．
 

2.【答案】
 

【解析】解：由题意得：每位小朋友可分得的重量为：，
故选：．
根据题意，求出草莓的重量，再除以即可．
本题主要考查列代数式，解答的关键是理解清楚题意．
 

3.【答案】
 

【解析】解：在四边形中，
，
四边形为矩形，
而判断矩形是正方形的判定定理为：有一组邻边相等的矩形是正方形，
故D正确，
故选：．
先判断四边形是矩形，由正方形的判定可直接判断D正确．
本题考查了矩形的判定，正方形的判定等，解题关键是熟练掌握并能够灵活运用正方形的判定等．
 

4.【答案】
 

【解析】解：统计每位选手得分时，会去掉个最高分和个最低分，这样做不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
故选：．
去掉个最高分和个最低分后不会对数据的中间的数产生影响，即中位数．
本题考查了统计量的选择，属于基础题，相对比较简单，解题的关键在于理解这些统计量的意义．
 

5.【答案】
 

【解析】解：由图可知，，
，，
，
设，则，
所以，
解不等式得，
解不等式得，，
所以，不等式组的解集是，
长度的取值范围是，
的长度可能是．
故选：．
根据图形先求出与的和，然后设，表示出，然后利用三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边列出不等式组，求解得到的取值范围，即可得解．
本题考查了几何体的展开图，利用三角形的三边关系求出边的取值范围是解题的关键．
 

6.【答案】
 

【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴在轴左侧，
，
抛物线与轴交点在轴上方，
，
故选：．
由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断，，的符号．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．
 

7.【答案】 
 

【解析】解：的倒数是；的相反数是．
故答案为：；．
乘积是的两数互为倒数；只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据定义直接得出答案．
此题考查了倒数、相反数，掌握倒数、相反数的定义是本题的关键，是一道基础题．
 

8.【答案】
 

【解析】解：式子有意义，
的取值范围是：，
解得：．
故答案为：．
直接利用分式有意义即分母不为零，进而得出答案．
此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
 

9.【答案】
 

【解析】解：
．
故答案为：．
直接提取公因式，再利用公式法分解因式得出答案．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．
 

10.【答案】
 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
直接化简二次根式，进而合并得出答案．
此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．
 

11.【答案】
 

【解析】解：连接，，
在正五边形中，，，，
，
在与中，
，
≌，
，
是的中点，
，
，
，
，
故答案为：．
连接，，根据正五边形的性质得到，，，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，于是得到结论．
本题考查了正多边形与圆，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键
 

12.【答案】
 

【解析】解：过点作轴，设点，

，
，
点，
顶点在反比例函数的图象上，
，
的面积为，
，
即，
，
即．
故答案为：．
过点作轴，设点，可得出，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
本题考查了反比例函数系数的几何意义以及等腰三角形的性质，反比例函数图象上的点一定满足．
 

13.【答案】
 

【解析】解：由题意得，，
，
，，
，
同理，，
，
阴影部分的面积，
故答案为：．
根据直角三角形的性质求出和，根据勾股定理求出，根据扇形面积公式计算，得到答案．
本题考查的是切线的性质、正方形的性质、扇形面积计算，熟记扇形面积公式是解题的关键．
 

14.【答案】
 

【解析】解：方程有两个相等的实数根，
，
，
，
，
的最小值是．
故答案为：．
由方程有两个相等的实数根可得出，解之即可得出结论．
本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
 

15.【答案】
 

【解析】解：，，，
，
四边形是平行四边形，
，，
最短也就是最短，
过作的垂线，
，，
∽，
，
，
，
则的最小值为，
故答案为：．
以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值．
本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形．
 

16.【答案】
 

【解析】解：设圆心为，过点作于点，于点，则，，

，
，
设，则，
连接、，
在中，，
在中，，
，
，
舍正，
，
，
，
，
故答案为：．
设圆心为，过点作于点，于点，先根据垂径定理可得，，进而可求出，再设，即可利用勾股定理表示出，，最后利用列方程即可求出值，进而可得点坐标．
本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．
 

17.【答案】解：原式
；
原式

．
 

【解析】将分子变形计算，再约分即可；
先通分算括号内的，再将除化为乘，约分即可．
本题考查实数运算及分式化简，解题的关键是掌握分式基本性质，将分式通分、约分．
 

18.【答案】解：方程两边同乘得：
，
解得：，
检验：当时，，故此方程无实数根．
 

【解析】直接找出公分母进而去分母解方程即可．
此题主要考查了分式方程的解法，正确掌握解题方法是解题关键．
 

19.【答案】解：环，
环；
选择乙，甲和乙平均成绩相同，乙的方差小，发挥更稳定些，推荐乙出去答案不唯一．
 

【解析】首先求出平均数，再利用方差公式求出即可；
利用两组数据的方差进而利用发挥稳定性比较得出即可．
此题主要考查了方差以及平均数求法等知识，熟练记忆方差公式是解题关键．
 

20.【答案】 
 

【解析】解：快递包装纸盒应投入垃圾箱，
故答案为：；
小明将“弃置药品”随机投放，则她投放正确的概率是，
故答案为：；
画树状图如下：

由树状图知，共有种等可能结果，其中她投放正确的只有种结果，
她投放正确的概率为．
快递包装纸盒属于可回收物；
根据概率公式求解即可；
画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．
 

21.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
、分别是、的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
．
同理：，
四边形是平行四边形；
解：当▱是矩形时，四边形是菱形．理由如下：
四边形是矩形，
，
、分别是、的中点，
，，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
，
即，
平行四边形是菱形．
 

【解析】先证四边形是平行四边形，得同理：，再由平行四边形的判定即可得出结论；
证≌，得，，得，再证，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质，菱形的判定，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握菱形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意可得，
图中两人赛跑的实际情形是：弟弟先跑两秒，然后哥哥出发，两人同时到达终点，弟弟一共用了秒，哥哥一共用了秒；
由图可得，
哥哥的速度为：

米秒，
弟弟的速度为：米秒，
答：哥哥的速度为米秒，弟弟的速度为米秒；
点的纵坐标为：，
则点的坐标为，
设直线对应的函数表达式为，
点，点在该直线上，
，
解得，
直线对应的函数表达式为．
 

【解析】根据题意和图中的数据，可以写出两人赛跑的实际情形；
根据图中的数据，可以分别计算出哥哥、弟弟的速度；
根据题意可以写出点和点的坐标，然后根据待定系数法可以求得直线对应的函数表达式．
本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

23.【答案】解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，，
，，，
在中，，，
，，
，
过作于，
设，
在中，，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
解得：，
，
答：房屋的高约为．
 

【解析】根据题意得到，在中，，，根据三角函数的定义求出，再过作于，设，在中，由三角函数的定义得到，在中，由三角函数的定义得到，由，可求得，即可求得．
本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
 

24.【答案】解：如图所示：

∽，理由如下：
，，
，
平分，
，
，
又，
∽；
，
，，
，
∽，
，
，
负值已经舍去．
 

【解析】作的角平分线，交于点；
由等腰三角形的性质和角平分线的性质可得，可得结论；
由相似三角形的性质可得，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，基本作图，等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．
 

25.【答案】
 

【解析】解：，
，
把代入得，
对称轴为：，
故答案为：；
，，
，
，
不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点；
，
，
把代入，得，
把代入，得，
把代入，得，
，
，
解得．
把点坐标代入抛物线的解析式得与的数量关系，再根据对称轴的求法求得结果；
计算判别式，再说明判别式为正数便可；
把点坐标代入抛物线的解析式得、的数量关系，再把、点坐标代入抛物线的解析式用表示其纵坐标，进而由已知不等式组列出的不等式组便可求得结果．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，抛物线与轴的交点问题，抛物线与不等式的关系，关键在于由已知条件得出、的数量关系．
 

26.【答案】证明：如图，连接，
是的直径，
，即，
，
，
平分，即，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
解：过点作，垂足为，
由可得，
，
，
，
即的半径为；
，，
，
，
，
，
，
，，
．
 

【解析】根据圆周角定理以及等腰三角形的性质可得是角平分线，进而得出，由三角形的内角和定理得出即可；
由锐角三角函数可求出进而得出半径的值，求出，由锐角三角函数的定义求出答案即可．
本题考查切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理以及平行线分线段成比例，掌握切线的判定方法，锐角三角函数的定义以及圆周角定理是正确解答的前提．，
 

27.【答案】证明：延长，交于，

平分，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
；
解：作，交的延长线于，

，，
，
，，
≌，
，，
，，
∽，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
解：作于，于，

，
当点与重合时，点为的中点，
当点与重合时，点仍为的中点，
点运动路径是一条来回的线段，
，，
∽，
，
设，
，
，
当时，最大为，
的最大值为，
点的运动路径为．
 

【解析】延长，交于，利用角平分线的定义和平行线的性质得，则，再利用证明≌，得，可得结论；
作，交的延长线于，首先可证明≌，得，，再利用，，得∽，可知是等腰直角三角形，得，即可得出的长；
作于，于，，当点与重合时，点为的中点，当点与重合时，点仍为的中点，则点运动路径是一条来回的线段，再利用∽，求出的最大值，从而解决问题．
本题是相似形综合题，主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，二次函数的性质，确定点的运动路径是解题的关键．