北师大版 (2019)必修 第一册4.3 一元二次不等式的应用巩固练习

1.4.3一元二次不等式的应用

一、单选题

1．不等式的解集是（    ）

A． B． C．D．

2．已知不等式的解集为则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

3．不等式的解集为（    ）

A．或 B．或

C． D．

4．已知不等式的解集为，则（    ）

A． B． C． D．

5．商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售．每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件可定为（    ）

A．11元 B．16元

C．12元到16元之间 D．13元到15元之间

6．关于x的不等式的解集为，则实数a的取值范围为（    ）

A． B．

C． D．

7．下列各组不等式中，解集完全相同的是（    ）

A．与 B．与

C．与 D．与

8．已知关于的不等式的解集为，则实数，的值是（    ）

A．， B．，

C．，  D． ，

9．若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

10．一元二次不等式的解集为，那么（　　）

A． B． C． D．

二、填空题

11．不等式的解集为___________.

12．若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是__________.

13．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件与货价元/件之间的关系为，生产件所需成本为元，则该厂日产量是____________时，日获利不少于1300元．

14．糖水不等式：成立的实数是有条件限制的，使糖水不等式：不成立的的值可以是_____________________（只需填满足题意的一个值即可）．

三、解答题

15．已知函数为二次函数,,且关于的不等式解集为.

（1）求函数的解析式;

（2）当时,恒成立,求实数的取值范围.

16．已知．

（1）若不等式对任意的恒成立，求a的取值范围；

（2）若不等式的解集为，求的值．

参考答案

1．C

【分析】

根据分式不等式的解法，即可得答案.

【详解】

不等式，等价于，

所以.

故选：C

2．A

【分析】

利用判别式小于等于零列不等式求解即可.

【详解】

因为不等式的解集为

所以，

解得，

所以的取值范围是，

故选：A.

3．B

【分析】

先将分式不等式化为一元二次不等式，再解不等式，即可得出结果.

【详解】

因为等价于，解得或，

即不等式的解集为或.

故选：B.

4．A

【分析】

由题意可得：方程的两个根分别为和，利用根与系数的关系即可求解.

【详解】

由题意可得：方程的两个根分别为和，

则 ，解得： ，所以，

故选：A

【点睛】

关键点点睛：本题关键点是理解和是方程的两个根，利用根与系数的关系得出关于的方程即可求出的值.

5．C

【分析】

设销售价定为每件元，利润为元，根据题意可得利润的函数解析式.由题意可得关于的一元二次不等式，解不等式即可求得每件销售价的范围.

【详解】

设销售价定为每件元,利润为元，

则，

由题意可得：，

即， 所以，

解得：，

所以每件销售价应定为12元到16元之间，

故选：C

6．D

【分析】

当时，得，而，则原不等式可化为，，则原不等式可化为，而不等式的解集为，所以取；当，可得且，从而可求得实数a的取值范围

【详解】

当时，，若，则原不等式可化为，显然恒成立；若，则原不等式可化为，不恒成立，所以舍去；

当时，因为的解集为，

所以只需且，解得.

综上，实数a的取值范围为.

故选：D.

7．D

【分析】

逐项分析两个不等式之间是否为等价转化可得正确的选项.

【详解】

对于A，等价于，

该不等式与不等价，故A错.

对于B，等价于即，

此不等式的解为，与的解不同，故B错.

对于C，等价于，

此不等式的解为，与的解不同，故C错.

对于D，因为，

故等价于，故D正确.

故选：D.

8．D

【分析】

由不等式的解集可知，且，是方程的两根，利用根与系数的关系可得，，即可求解.

【详解】

因为关于的不等式的解集为，

所以，且，是方程的两根，

所以，，

解得，，

故选：D

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是由题意得出对应方程的两根是，，利用根与系数的关系可得实数，的值.

9．B

【分析】

利用基本不等式“1”的代换求的最小值，根据不等式恒成立有即可，进而求的取值范围.

【详解】

∵由题意知：当且仅当时等号成立，

∴恒成立，只需即可，解得，

故选：B

【点睛】

本题考查了由不等式恒成立求参数范围，运用了基本不等式“1”的代换求最值，属于基础题.

10．D

【分析】

由题意可得的图像开口向上，且在x轴上方，据此即可得解.

【详解】

由一元二次不等式的解集为，则，

可得的图像开口向上，且在x轴上方，

所以，

故选：D.

【点睛】

本题考查了三个“一元二次”之间的关系，考查了转化思想，属于基础题.

11．

【分析】

把分式不等式化整式不等式直接解得.

【详解】

同解于，解得：或

即原不等式的解集为

故答案为：

【点睛】

常见解不等式的类型：

(1)解一元二次不等式用图像法或因式分解法；

(2)分式不等式化为标准型后利用商的符号法则；

(3)高次不等式用穿针引线法；

(4)含参数的不等式需要分类讨论．

12．

【分析】

根据一元二次不等式恒成立，得出判别式小于零，由此可直接求出结果.

【详解】

因为不等式对任意实数恒成立，

所以，解得，即实数的取值范围是.

故答案为：.

13．20件至45件

【分析】

根据题意将实际问题转化为一元二次不等式，解一元二次不等式，注意求解的结果要符合实际，即日产量要为正整数.

【详解】

由题知，

整理得，

解得，.

所以该厂日产量是20件至45件时，日获利不少于1300元．

故答案为：20件至45件.

14．1（答案不唯一）

【分析】

解不等式即得解.

【详解】

因为，

所以，

所以，

所以或.

使糖水不等式不成立的的值可以是1.

故答案为：1(答案不唯一)

15．（1）（2）

【分析】

（1）设函数 ,根据,解集为,利用根与系数的关系即可求出函数的解析式.

（2）根据,求出的值域,即可求出实数的取值范围.

【详解】

解: （1）设函数 ,

那么,则,

又因为解集为.

的两根为,

故,解得,

所以.

（2）由（1）得,

又因为,

则,

当时,恒成立

则实数的取值范围为:.

【点睛】

本题主要考查根据二次函数的性质求函数解析式,考查二次函数在某区间上恒成立问题,是基础题.

16．（1）；（2）

【分析】

（1）利用即可求解；

（2）由题可得和3是方程的两个根，利用韦达定理即可求出.

【详解】

（1）由题可得对任意的恒成立，

则，解得；

（2）不等式整理可得，

不等式的解集为，

和3是方程的两个根，

，解得.