2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨市暨阳教育共同体八年级（下）期中数学试卷-（含解析）

2021-2022学年浙江省绍兴市诸暨市暨阳教育共同体八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列式子是最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列方程中，属于一元二次方程的是

A.  B.  C.  D.

3. 在某校“我的中国梦”演讲比赛中，有名学生参加比赛，他们决赛的最终成绩各不相同，其中的一名学生要想知道自己能否进入前名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这名学生成绩的

A. 众数 B. 方差 C. 平均数 D. 中位数

4. 一个多边形的内角和与外角和相等，则这个多边形是

A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形

5. 某平行四边形的一条边长为，则它的两条对角线长可以为

A. ， B. ， C. ， D. ，

6. 某超市一月份的营业额为万元，第一季度的营业额共为万元，如果平均每月增长率为，则由题意可列方程为

A.  B.
C.  D.

7. 用配方法解一元二次方程时可配方得

A.  B.  C.  D.

8. 如果，则的值是

A.  B.  C.  D.

9. 已知关于的方程，下列说法正确的是

A. 当时，方程无解
B. 当时，方程有一个实数解
C. 当时，方程有两个相等的实数解
D. 当时，方程总有两个不相等的实数解

10. 如图所示，点为▱内一点，连接，，，，，已知的面积为，的面积为，则阴影部分的面积为

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）

11. 二次根式中的字母的取值范围是______．
12. 在▱中，，则______
13. 为了考察甲、乙两种小麦的长势，分别从中抽出株测得其高度，并求得它们的方差分别为，，则______ 种小麦的长势比较整齐．
14. 已知数据，，的平均数是，方差是则数据；；的平均数是______，方差是______．
15. 关于的一元二次方程的一个根，则值为______．
16. 如图所示，在平行四边形中，对角线，相交于点，已知与的周长之差为，平行四边形的周长为，则的长度为______．
17. 对于实数，，定义运算“”如下：若，则______．
18. 如图，是一个长为，宽为的矩形花园，现要在花园中修建等宽的小道，剩余的地方种植花草如图所示，要使种植花草的面积为，那么小道进出口的宽度应为______
19. 已知等腰三角形的每条边长都是一元二次方程的根，则这个三角形的周长为______；
20. 如图所示，在▱中，点在线段上且，点是边的中点，若，，且，则的长是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共40.0分）

21. 化简：
    
     
22. 解一元二次方程：
    ．
    ．
23. 年是特殊的一年，这一年我们经历了新型冠状病毒肺炎疫情，举国上下众志成城，共同抗疫．口罩成为人们防护防疫的必备武器．西安某药店有枚口罩准备出售，从中随机抽取了一部分口罩，根据它们的价格单位：元，绘制出如图的统计图，请根据相关信息，解答下列问题：
    图中的值为______；
    统计的这组数据的中位数为______；众数为______；
    根据样本数据，估计这枚口罩中，价格为元的口罩有多少枚？

24. 如图，四边形为平行四边形，为上的一点，连接并延长，使，连接并延长，使，连接为的中点，连接．
    求证：四边形为平行四边形；
    若，，，求的度数．

25. 某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为元，销售价为元时，每天可售出件，为了迎接“六一”儿童节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每件童装降价元，那么平均可多售出件．
    每件童装降价多少元时，能让利于顾客并且商家平均每天能赢利元．
    要想平均每天赢利元，可能吗？请说明理由．

如图，在四边形中，，，，，动点从点出发，沿线段的方向以每秒个单位长的速度运动，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长的速度向点运动，点，分别从点，同时出发，当点运动到点时，点随之停止运动．设运动的时间为秒．
当时，求的面积；
若四边形为平行四边形，求运动时间；
当为何值时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形？
答案和解析

1.【答案】

【解析】解：选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
选项，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项，原式，故该选项不符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的概念：被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式是解题的关键．
 

2.【答案】

【解析】解：是二元一次方程，故本选项不合题意；
B.是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.是分式方程，故本选项不合题意；
D.是一元一次方程，故本选项不合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义判断即可．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
 

3.【答案】

【解析】解：由于总共有个人，且他们的分数互不相同，第的成绩是中位数，要判断是否进入前名，故应知道中位数的多少．
故选：．
人成绩的中位数是第名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
 

4.【答案】

【解析】解：设此多边形是边形，
多边形的外角和为，
，
解得：．
这个多边形是四边形．
故选：．
首先设此多边形是边形，由多边形的外角和为，即可得方程，解此方程即可求得答案．
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意多边形的外角和为，边形的内角和等于．
 

5.【答案】

【解析】解：平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形；
A、，故无法构成三角形，此选项错误；
B、，
即，故此选项正确；
C、，故无法构成三角形，此选项错误；
D、，故无法构成三角形，此选项错误；
故选：．
平行四边形的这条边和两条对角线的一半构成三角形，应该满足第三边大于两边之差小于两边之和才能构成三角形．
本题考查平行四边形的性质和三角形的性质，第三边大于两边之差小于两边之和．
 

6.【答案】

【解析】解：一月份的营业额为万元，平均每月增长率为，
二月份的营业额为，
三月份的营业额为，
可列方程为．
即．
故选D．
先得到二月份的营业额，三月份的营业额，等量关系为：一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，把相关数值代入即可．
考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为，变化后的量为，平均变化率为，则经过两次变化后的数量关系为得到第一季度的营业额的等量关系是解决本题的关键．
 

7.【答案】

【解析】解：，
，
，
故选B．
此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要先把常数项移项、二次项系数化，然后左右两边加上一次项系数一半的平方．
配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为，一次项的系数是的倍数．
 

8.【答案】

【解析】解：，
，
故

．
故选D．
由已知判断，的符号，根据二次根式的性质解答即可．
本题主要考查二次根式的性质：时，；时，；
解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式及绝对值的运算．
 

9.【答案】

【解析】

【分析】
此题主要考查了一元二次方程的解以及根的判别式，代入 的值判断方程根的情况是解题关键．利用 的值，分别代入求出方程的根的情况即可．
【解答】
解：关于 的方程 ，
A 、当 时， ，则 ，故此选项错误；
B 、当 时， ，方程有两个实数解，故此选项错误；
C 、当 时， ，则 ，此时方程有两个相等的实数解，故此选项正确；
D 、 ，所以当 且 时，方程总有两个不相等的实数解，故此选项错误．
故选： ．   

10.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，

设和的和边上的高分别为和，
，，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
过点作于点，设和的和边上的高分别为和，根据平行四边形的性质可得，，进而可得．
本题考查了平行四边形的性质．三角形的面积，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．
 

11.【答案】

【解析】解：由题意得，，
解得：．
故答案为：．
根据二次根式的被开方数为非负数，可得出关于的不等式，继而可得出的取值范围．
此题考查了二次根式有意义的条件，解答本题的关键是掌握二次根式的被开方数为非负数，难度一般．
 

12.【答案】

【解析】【试题解析】

解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
．
故答案为：．
由平行四边形的性质得出，，再由已知条件求出，即可得出．
本题考查了平行四边形的性质；熟练掌握平行四边形的对角相等，同旁内角互补是解决问题的关键．

13.【答案】甲

【解析】解：因为，方差小的为甲，所以长势比较整齐的小麦是甲．
故填甲．
根据方差的定义判断．方差越小小麦的长势越整齐．
本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
 

14.【答案】 

【解析】解：数据，，的平均数是，
数据；；的平均数是；
数据，，的方差是，
数据；；的方差是；
故答案为：，．
根据方差和平均数的变化规律可得：数据，，的平均数是，方差是，再进行计算即可．
本题考查方差的计算公式的运用：一般地设有个数据，，，，若每个数据都放大或缩小相同的倍数后再同加或同减去一个数，其平均数也有相对应的变化，方差则变为这个倍数的平方倍．
 

15.【答案】

【解析】

【分析】
本题考查了对一元二次方程的定义，一元二次方程的解等知识点的理解和运用，注意根据已知得出 且 ，题目比较好，但是一道比较容易出错的题．根据一元二次方程的定义和一元二次方程的解的定义得出 ， ，求出 的值即可．
【解答】
解：把 代入方程得： ，
解得： ，
是关于 的一元二次方程，
，
即 ，
的值是 ．
故答案为 ．   

16.【答案】

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
与的周长之差为，
，
平行四边形的周长为，
，
，．
故答案为：．
由在平行四边形中，对角线，相交于点，已知与的周长之差为，平行四边形的周长为，可得，，解此方程组即可求得答案．
此题考查了平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
 

17.【答案】或

【解析】解：根据题意得，
，
，
或，
所以，．
故答案为或．
利用新定义得到，整理得到，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
 

18.【答案】

【解析】解：设小道进出口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
当时，，符合题意；
当时，，不合题意，舍去．
故答案为：．
设小道进出口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

19.【答案】或或

【解析】解：，
，
或，
所以，，
等腰三角形的每条边长都是一元二次方程的根，
等腰三角形的边长为、、或、、或、、，
这个三角形的周长为或或．
故答案为：或或．
先利用因式分解法解方程得到，，利用三角形三边的关系和等腰三角形的性质的等腰三角形的边长为、、或、、或、、，然后计算三角形的周长．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了等腰三角形的性质和三角形三边的关系．
 

20.【答案】

【解析】解：如图，过点作于点，过点作交于点，连接，

，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
是三角形的中位线，
，，
，
点是边的中点，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，，
，
，
．
故答案为：．
过点作于点，过点作交于点，连接，可得是等腰直角三角形，证明是三角形的中位线，可得四边形是平行四边形，再根据勾股定理即可得的长．
本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握平行四边形的判定与性质．
 

21.【答案】解：

；



．

【解析】先化简，然后合并同类二次根式即可；
先化简括号内的式子，然后计算括号外的除法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
 

22.【答案】解：，
，
则或，
解得，；
，
，
则，
或，
解得，．

【解析】利用因式分解法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
 

23.【答案】  元  元

【解析】解：，
即的值是，
故答案为：；

本次调查了枚，
中位数是：元，众数是元；
故答案为：元，元；

枚，
答：价格为元的口罩有枚．
根据扇形统计图中的数据，可以计算出的值，从而可以得到的值；
根据条形统计图中的数据可以得到这组数据的众数和中位数；
根据统计图中的数据，可以计算出价格为元的口罩有多少枚．
本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

24.【答案】证明：，，
为的中位线，
，，
又是的中点，
，
．
又四边形是平行四边形，
，，
，，
四边形是平行四边形；
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
．

【解析】证明为的中位线，得出，，证出，由平行四边形的性质得出，，得出，，即可得出结论；
由平行四边形的性质得出，由等腰三角形的性质得出，由三角形内角和定理求出，得出，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．
 

25.【答案】解：设每件童装降价元，则销售量为件，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，．
要让利于顽客，
．
答：每件童装降价元时，能让利于顽客并且商家平均每天能赢利元．
设每件童装降价元，则销售量为件，
根据题意得：，
整理得：．
，
该方程无解，
不可能每天盈利元．

【解析】设每件童装降价元，则销售量为件，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论；
设每件童装降价元，则销售量为件，根据总利润每件利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式可得出原方程无解，进而即可得出不可能每天盈利元．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
 

26.【答案】解：过点作于，则四边形为矩形．

，
，
．
把代入得到：；

当四边形是平行四边形时，，
即，
解得：，
当时，四边形是平行四边形．

由图可知，，，若以、、为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：
若，在中，，由得，解得；
若，在中，，由得，即，
此时，，
所以此方程无解，．
若，由得得，不合题意，舍去．
综上所述，当或时，以，，三点为顶点的三角形是等腰三角形．

【解析】若过点作于，则四边形为矩形，得出，由，可知：；
当四边形为平行四边形时，，即，可将求出；
本题应分三种情况进行讨论，若，在中，由，，将各数据代入，可将时间求出；
若，在中，由，，将数据代入，可将时间求出；
若，，，将数据代入，可将时间求出．
本题主要考查四边形综合题，注意梯形的性质、平行四边形的性质及勾股定理的应用．在解题时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象．