2021-2022学年浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团八年级（下）期中数学试卷（含解析）

2021-2022学年浙江省金华市义乌市稠州中学教育集团八年级（下）期中数学试卷

副标题

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列根式中，最简二次根式的是

A.  B.  C.  D.

2. 下列几种名车标志中，是中心对称图形的有

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

3. 下列方程中，关于的一元二次方程是

A.  B.
C.  D.

4. 平行四边形一定具有的性质是

A. 内角和为 B. 是中心对称图形
C. 邻边相等 D. 对角互补

5. 疫情无情人有情，爱心捐款传真情，新型冠状病毒感染的肺炎疫情期间，某班学生积极参加献爱心活动，该班名学生的捐款统计情况如表：

则他们捐款金额的中位数是

A.  B.  C.  D.

6. 若用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时，则首先应该假设这个四边形中

A. 至少有一个角是钝角或直角 B. 没有一个角是锐角
C. 没有一个角是钝角或直角 D. 每一个角都是钝角或直角

7. 若关于的一元二次方程有实数根，则应满足

A.  B. 且 C. 且 D.

8. 某地区举办的篮球比赛共有支球队参加，每两队之间都只进行一场比赛，共进行了场比赛，则下列方程中符合题意的是

A.  B.  C.  D.

9. 若，化简的结果为

A.  B.  C.  D.

10. 如图，▱的顶点，分别在直角的两边，上运动不与点重合，▱的对角线，相交于点，连接，若，则▱的周长最小值是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 若二次根式有意义，则的取值范围是______．
12. 一个多边形的每个外角都是，则这个多边形边数为______．
13. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则________。
14. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点若，，则______．
15. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故，由，解得，即根据以上方法，化简后的结果为______．
16. 电脑系统中有个扫雷游戏，要求游戏者标出所有的雷，游戏规则：一个方块下面最多埋一个雷，如果无雷，掀开方块下面就标有数字，提醒游戏者此数字周围的方块最多八个中雷的个数实际游戏中，通常省略不标，为方便大家识别与印刷，我把图乙中的都标出来了，以示与未掀开者的区别，如图甲中的 表示它的周围八个方块中仅有 个埋有雷图乙是张三玩游戏中的局部，图中有 个方块己确定是雷方块上标有旗子，则图乙第一行从左数起的七个方块中方块上标有字母，能够确定一定是雷的有_______________________请填入方块上的字母

三、解答题（本大题共8小题，共66.0分）

17. 计算：
    ；
    
    
    
    
    
    
    
     
18. 解方程：
    ；
    ．
    
    
    
    
    
    
     
19. 如图，、、为一个平行四边形的三个顶点，且、、三点的坐标分别为、、．
    请直接写出这个平行四边形第四个顶点的坐标；
    求出平行四边形的面积．

20. 已知点、分别是▱的边、的中点．
    求证：四边形是平行四边形；
    若，，求▱的周长．
    
    
    
    
    
    
     
21. 为弘扬泰山文化，我市某校举办了“泰山诗文大赛”活动，小学、初中部根据初赛成绩，各选出名选手组成小学代表队和初中代表队参加学校决赛．两个队各选出的名选手的决赛成绩如下图所示．
    
    根据图示填写图表；

结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；
计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．






 

22. 某种商品的标价为元件，经过两次降价后的价格为元件，并且两次降价的百分率相同。

求该种商品每次降价的百分率；

若该商品进价为元件，两次降价共售此种商品件，为使两次降价销售的总利润不少于元，则第一次降价后至少要售出这种商品多少件？






 

23. 如图，四边形是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是和边长，易知，这时我们把关于的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
    请解决下列问题：
    试判断方程是否为“勾系一元二次方程”；
    求证：关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
    若是“勾系一元二次方程”的一个根，且四边形的周长是，求面积．
    
    
    
    
    
    
     
24. 如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是，，动点从点出发，沿轴正方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，沿射线方向以每秒个单位的速度运动．以，为邻边构造▱，在线段延长线上取点，使，设点运动的时间为秒．
    当点运动到线段的中点时，求的值及点的坐标；
    当点在线段上时，求证：四边形为平行四边形；
    在线段上取点，使，过点作，截取，，且点，分别在第一、四象限，在运动过程中，当点，中，有一点落在四边形的边上时，直接写出所有满足条件的的值．

答案和解析

1.【答案】

【解析】

解：、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，被开方数中含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；
D、是最简二次根式，符合题意；
故选：．
根据最简二次根式的概念判断即可．
本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
 

2.【答案】

【解析】

解：左起第一、三、四共个标志都能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，
第二个标志不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
本题考查的是中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

3.【答案】

【解析】

解：、，化简后为，不是关于的一元二次方程，故此选项不合题意；
B、，当时，不是关于的一元二次方程，故此选项不合题意；
C、是关于的一元二次方程，故此选项符合题意；
D、含有个未知数，不是关于的一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫一元二次方程进行分析即可．
此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．
 

4.【答案】

【解析】

解：、平行四边形的内角和为，故此选项错误；
B、平行四边形是中心对称图形，故此选项正确；
C、平行四边形的对角相等，邻边不一定相等，故此选项错误；
D、平行四边形的对角相等，但不一定互补，故此选项错误；
故选：．
直接利用平行四边形的性质分别分析得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质，正确把握相关性质是解题关键．
 

5.【答案】

【解析】

解：把名同学捐款从小到大排列，最中间的两个数是，，中位数是．
故选：．
中位数是把个数据从小到大排列，最中间两个数的平均数，据此选择正确的答案．
本题主要考查了中位数的知识，解答本题要掌握中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数，此题难度不大．
 

6.【答案】

【解析】

解：用反证法证明“四边形中至少有一个角是钝角或直角”时第一步应假设：四边形中没有一个角是钝角或直角．
故选：．
反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
此题考查了反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．
 

7.【答案】

【解析】

解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得：，
方程是一元二次方程，
，
的范围是：且．
故选：．
由关于的一元二次方程有实数根，即可得判别式且，继而可求得的范围．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式间的关系是解题的关键．
 

8.【答案】

【解析】

解：有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
共比赛场数为，
共比赛了场，
，
故选：．
先列出支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛场，再根据题意列出方程为．
此题是由实际问题抽象出一元二次方程，主要考查了从实际问题中抽象出相等关系．
 

9.【答案】

【解析】

解：，


．
故选：．
直接利用二次根式以及绝对值的性质化简得出答案．
此题主要考查了绝对值的性质以及二次根式的性质，正确开平方是解题关键．
 

10.【答案】

【解析】

解：如图，取的中点，连接，，

四边形是平行四边形，
，
又点是中点，，
，，
，
，
▱的周长最小值为，
故选：．
由平行四边形的性质可得，由三角形中位线定理和直角三角形的性质可得，，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，三角形三边关系，直角三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
 

11.【答案】

【解析】

解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
根据二次根式有意义的条件可得，再解不等式即可．
此题主要考查了二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
 

12.【答案】

【解析】

解：．
故这个多边形边数为．
故答案为：．
利用外角和除以外角的度数即可得到边数．
此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都．
 

13.【答案】

【解析】

解：关于的一元二次方程有一个根为，
，
解得，，
故答案为．
根据关于的一元二次方程有一个根为，将代入方程即可求得的值．
此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程得到待定系数的方程即可解决问题．
 

14.【答案】

【解析】

解：平分，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
由角平分线定义得到；再根据得到，从而，所以，可求，再利用平行四边形对边相等求．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证明是解题的关键．
 

15.【答案】

【解析】

解：令，



，
，
，
，



，
故答案为：．
令，可求，再由，可得，再将所求式子化简即可．
本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，灵活应用完全平方公式是解题的关键．
 

16.【答案】

B、、、
 

【解析】

解：图乙中第三行连续两个“”，可得第二行最左边的方格必定是雷；
再结合下方的“”，可得第一行、、对应的方格中只有一个雷；
再结合下方的“”，可得第一行对应的方格必定是雷，且、对应的方格中只有一个雷；
于是，对应的方格一定不是雷；
对下方的“”，它周围的雷已经够数，从而，、对应的方格一定不是雷，则对应的方格必定是雷，如下图所示：

进行下一步推理：
根据下方的“”周围应该有个雷，结合不是雷，可得对应的方格一定是雷；
根据下方的“”周围应该有个雷，结合不是雷，是雷，可得对应的方格一定是雷．
综上所述，、、对应的方格不是雷，且、、、对应的方格是雷．
故答案为：、、、．
根据题意，初步推断出第二行最左边的方格必定是雷，第一行、、对应的方格中只有一个雷，再结合下方的“”，可得第一行对应的方格必定是雷，且、对应的方格中只有一个雷，于是可知、、不是雷，是雷．再观察下方的“”，下方的“”，可得、对应的方格是雷；从而推断出、、对应的方格不是雷，且、、、对应的方格是雷．由此得到本题答案．
此题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理、、、、、对应方格是否为雷．着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识，属于较难题．
 

17.【答案】

解：

；


．
 

【解析】

先化简，再进行减法运算即可；
利用平方差公式及二次根式的乘法运算的法则进行求解，再算加减即可．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．
 

18.【答案】

解：，
，
所以，；
，
，
或，
所以，．
 

【解析】

先移项得到，然后利用直接开平方法解方程；
先把方程整理为一般式，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法．
 

19.【答案】

解：如图，分三种情况：
为对角线时，第四个顶点的坐标为；
为对角线时，第四个顶点的坐标为；
为对角线时，第四个顶点的坐标为；
平行四边形第四个顶点的坐标为或或；
，
．
 

【解析】

画出图形，分三种情况求解即可；
由分割法求出的面积，再由平行四边形的性质即可求解．
本题考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质、分类讨论以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

20.【答案】

证明：四边形是平行四边形，
，，
点、分别是▱的边、的中点，
，，
，
又，
四边形是平行四边形；
解：，，是的中点．
，
平行四边形是菱形，
▱的周长．
 

【解析】

根据平行四边形的性质得，，再证，即可得出结论；
根据直角三角形斜边上的中线性质得到，再证平行四边形是菱形，于是得到结论．
此题主要考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
 

21.【答案】

【解析】

解：填表：小学部平均数  分，众数分；初中部中位数  分．
故答案为，，．

小学部成绩好些．
因为两个队的平均数都相同，小学部的中位数高，
所以在平均数 相同的情况下中位数高的小学部成绩好些．
，，
，
因此，小学代表队选手成绩较为稳定．
根据平均数，众数，中位数的定义解决问题即可．
在平均数 相同的情况下中位数高的小学部成绩好些．
根据方差的定义求出方差，方差越小成绩越稳定．
本题考查方差，平均数，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

22.【答案】

解：设该种商品每次降价的百分率为，
根据题意得：，
解得：，舍去．
答：该种商品每次降价的百分率为．
设第一次降价后售出该种商品件，则第二次降价后售出该种商品件，
根据题意得：，
解得：．
答：第一次降价后至少要售出该种商品件．
 

【解析】

本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程；根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式并求解．
设该种商品每次降价的百分率为，根据该种商品的原价及经两次降价后的价格，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
设第一次降价后售出该种商品件，则第二次降价后售出该种商品件，根据总利润单件利润销售数量结合两次降价销售的总利润不少于元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
 

23.【答案】

解：是“勾系一元二次方程”，
理由：，
，
，，
，
以、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边的长，
是“勾系一元二次方程”．
证明：是“勾系一元二次方程“，
、、为同一直角三角形的三边长，且为斜边的长，
，
，
关于的“勾系一元二次方程”必有实数根．
解：是“勾系一元二次方程”的一个根，
，
，
四边形的周长是，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
面积是．
 

【解析】

由“勾系一元二次方程”的定义可得，则，即可证明，则以、、为三边长的三角形是直角三角形，且为斜边的长，所以是“勾系一元二次方程”；
由是“勾系一元二次方程“得，因为，所以关于的“勾系一元二次方程”必有实数根；
由是“勾系一元二次方程”的一个根得，整理得，由四边形的周长是得，所以，则，则，所以，而，所以，即可求出的值及的值，得到面积．
此题考查一元二次方程的应用、一元二次方程根据的判别式、勾股定理、新定义问题的求解等知识与方法，准确把握“勾系一元二次方程”的内涵并运用到解题过程之中是解题的关键．
 

24.【答案】

解：，则，
，则，
则的坐标是；
四边形是平行四边形，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
四边形是平行四边形；
的坐标是，的坐标是，
则的坐标是，的坐标是，的坐标是．
设的解析式是，
则，
解得：
则的解析式是，
同理的解析式是．
当在上时，的坐标是，
则，
解得：．
当在上时，的坐标是，
则，
解得：．
总之：，．
 

【解析】

本题考查了平行四边形的判定与待定系数法求函数解析式，属于较难题．
当运动到的中点时，根据时间路程速度即可求得，进而求得的坐标；
证明≌，则和平行且相等，则四边形为平行四边形；
利用待定系数法求得和的解析式，然后用表示出、的坐标，代入解析式即可求得的值．