2022-2023学年浙江省杭州十五中教育集团八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省杭州十五中教育集团八年级（上）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    如果一个三角形的其中两个内角之和为，那么这个三角形是(    )

A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 无法确定

2.    下列命题中，是真命题的是(    )

A. 全等三角形的对应角相等 B. 面积相等的两个三角形是全等三角形
C. 的解是 D. 如果，则

3.    下列各组数可以是一个三角形的三边长的是(    )

A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，

4.    等腰三角形的一个底角是，则顶角的度数是(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

5.    下列说法正确的有(    )

A. 全等的两个三角形一定关于某直线对称
B. 关于某直线对称的两个图形一定能完全重合
C. 轴对称图形的对称轴一定只有一条
D. 等腰三角形的对称轴是底边上的高线

6.    不等式的解集在数轴上表示正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

7.    若，则成立的条件是(    )

A.  B.  C.  D.

8.    作的角平分线的作图过程如下，作法：在和上分别截取，，使；分别以，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线，就是的平分线．用下面的三角形全等判定方法解释其作图原理，最为恰当的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.    如图，中，，平分，，，则的面积为(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在和中，，，与互补，连接、，是的中点，下列结论正确的是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11. 用适当的不等号填空： ______，______
12. 如图，在中，的中垂线交边于点，，，则______．

13. 命题“若，那么”是一个______命题填真、假，写出它的逆命题：______．
14. “的倍与的差不大于”可列不等式为______．
15. 已知关于的不等式组的解集为，则______．
16. 已知，在关于，的二元一次方程组中，，，则的取值范围是______，______．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    解不等式：
    ；
    ．
18. 本小题分
    解不等式组：，并把解表示在数轴上：
    
    写出中不等式组的所有整数解．
19. 本小题分
    如图，在和中，点，，，在同一直线上，，，，求证：≌．

20. 本小题分
    如图，，分别是的中线和角平分线，．
    若的面积是，且，求的长．
    若，求的度数．

21. 本小题分
    如图，为任意三角形，以边、为边分别向外作等边三角形和等边三角形，连接、，、相交于点．
    试说明：≌；
    求的度数．

22. 本小题分
    某中学准备购进、两种教学用具共件，种每件价格比种每件贵元，同时购进件种教学用具和件种教学用具恰好用去元．
    和两种教学用具的单价分别是多少元？
    学校准备用不超过元的金额购买、两种教学用具，问至多能购买多少件种教学用具？
23. 本小题分
    如图，在等腰中，，，是的高，是的角平分线，与交于点当的大小变化时，的形状也随之改变．
    当时，求的度数；
    设，，求变量与的关系式；
    当是等腰三角形时，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：一个三角形的其中两个内角之和为，
另一个内角的度数为，
三角形是直角三角形．
故选：．
因为三角形的两个内角之和为，根据内角和定理可知另一个内角的度数为，故三角形是直角三角形．
本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和是以及直角三角形的判定方法是解题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：利用全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等，
故选项A正确，是真命题，符合题意；
B.利用能够完全重合的两个三角形是全等三角形，面积相等的两个三角形不一定重合，
故面积相等的两个三角形是全等三角形，不正确，
故选项B是假命题，不符合题意；
C.利用解得：，
故选项C是假命题，不符合题意；
，
当，时，则，
故选项D是假命题，不符合题意．
故选：．
根据全等三角形的性质以及全等三角形的判定，一元一次不等式的解法逐一判断即可．
本题主要考查命题与定理，解题的关键是掌握真命题与假命题的定义．
 

3.【答案】 

【解析】解：，不能组成三角形，故A不符合题意；
B.，能组成三角形，故B符合题意；
C.，不能组成三角形，故C不符合题意
D.，能组成三角形，故D不符合题意．
故选：．
根据三角形三边关系定理判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，掌握三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理．通过三角形内角和，列出方程求解是正确解答本题的关键．由已知底角为，根据等腰三角形的两底角相等的性质及三角形内角和定理，即可求出它的顶角的值．
【解答】
解：等腰三角形的底角为，
它的一个顶角为．  

5.【答案】 

【解析】解：全等的两个三角形不一定关于某直线对称，原说法错误，故本选项不合题意；
B.关于某直线对称的两个图形一定能完全重合，说法正确，故本选项符合题意；
C.轴对称图形的对称轴不一定只有一条，可以有多条，如圆有无数条对称轴，原说法错误，故本选项不合题意；
D.等腰三角形的对称轴是底边上的高线所在的直线，原说法错误，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据轴对称的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质以及轴对称图形的定义逐一判断即可．
本题考查了轴对称图形的概念，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及全等三角形的性质，掌握相关定义与性质是解答本题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得．
表示在数轴上为：
．
故选：．
通过“移项、合并同类项以及系数化为”解不等式即可．
此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：，
满足的条件是，
故选：．
根据不等式的性质得出答案即可．
本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，注意：不等式的性质、不等式的两边都加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的性质：不等式的两边都乘或除以同一个负数，不等号的方向改变．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，连接，．

在和中，
，
≌，
，
平分．
故选：．
利用基本作图得到，，然后根据全等三角形的判定得到进行判断．
本题考查作图基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并求出边上的高是解题的关键．
过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解．
【解答】 解：如图，过点作于，
，平分，
，
的面积．
故选C．  

10.【答案】 

【解析】解：连接、，
，，
需满足的条件是≌，
与不一定相等，
与不一定相等，
与不一定全等，
与不一定相等，
故A错误；
作交的延长线于点，则，
是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故B正确；
，
需满足的条件是，
显然与已知条件不符，
不一定等于，
故C错误；
，且，，
，
，
故D错误，
故选：．
连接、，需满足的条件是≌，由与不一定相等，可推导出与不一定相等，则与不一定全等，可判断A错误；
作交的延长线于点，则，可证明≌，则，再证明≌，得，可判断B正确；
由，可知需满足的条件是，与已知条件不符，可判断C错误；
由，得，则，可判断D错误．
此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质、同角的补角相等、三角形的三边关系等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
 

11.【答案】   

【解析】解：，
．
故答案为：，．
根据圆周率以及偶次方的非负性减法即可．
本题考查了有理数大小比较以负负数性质，掌握圆周率的定义以及偶次方的非负数初中生解答本题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：的中垂线交边于点，，
，
，，
，
故答案为：．
连接，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可以得到，再根据线段的和差求解即可．
此题主要考查线段垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．
 

13.【答案】假  若，那么 

【解析】解：“若，那么”是一个假命题，它的逆命题是“若，那么”，
故答案为：假，若，那么
根据模的概念可判断命题的真假，交换题设和结论即得原命题的逆命题．
本题考查向量的模，解题的关键是掌握模的概念与向量的关系．
 

14.【答案】 

【解析】解：根据题意，得．
故答案为：．
理解：不大于，即是小于或等于．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，读懂题意，抓住关键词语，弄清运算的先后顺序和不等关系，才能把文字语言的不等关系转化为用数学符号表示的不等式．
 

15.【答案】 

【解析】解：，
解不等式，得，
解不等式，得，
所以不等式组的解集是，
关于的不等式组的解集为，
，，
，，
，
故答案为：．
先求出不等式组的解集，根据已知不等式组的解集是得出，，求出、，再求出即可．
本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式组的解集得出和是解此题的关键．
 

16.【答案】   

【解析】解：由方程组解得，
又，，
，
解得，
，
．


．
故答案为：，．
在关于，的二元一次方程组中，利用参数的代数式表示，，然后根据，列出关于参数的不等式组即可求，进一步得到的取值范围，即可化简．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

17.【答案】解：移项得：，
合并得：，
解得：；
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
解得：． 

【解析】不等式移项，合并，把系数化为，即可求出解集；
不等式去分母，去括号，移项，合并，把系数化为，即可求出解．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
 

18.【答案】解：，
由得：，
由得：，
不等式组的解集为，
；
不等式组的整数解为，，． 

【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可；
求出不等式组的所有整数解即可．
此题考查了一元一次不等式组的整数解，在数轴上表示不等式的解集，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
 

19.【答案】证明：，
，即．
在和中，

≌． 

【解析】依据等式的性质可证明，最后依据进行证明即可．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
 

20.【答案】解：是的中线，．
，
的面积是，且，
，
，
；
是的中线，，，
，．
是的角平分线，
． 

【解析】根据等腰三角形三线合一的性质可得，三角形的面积公式即可求解；
先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，再利用角平分线定义即可得出．
本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键．
 

21.【答案】解：和都是等边三角形，
，，，
，
在和中，
，
≌．
由得，
，
，
． 

【解析】由和都是等边三角形得，，，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明≌；
由推导出，因为，所以．
此题重点考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．
 

22.【答案】解：设种教学用具的单价为元，种教学用具的单价为元，
依题意得：，
解得：，
答：种教学用具的单价为元，种教学用具的单价为元；
设购买件种教学用具，则购买件种教学用具，
依题意得：，
解得：，
的最小值为．
答：至多能购买件种教学用具． 

【解析】设种教学用具的单价为元，种教学用具的单价为元，根据“种每件价格比种每件贵元，购进件种教学用具和件种教学用具恰好用去元”，列出二元一次方程组，解方程组即可；
设购买件种教学用具，则购买件种教学用具，利用总价单价数量，结合学校准备用不超过元的金额购买、两种教学用具，列出一元一次不等式，解不等式即可．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找出数量关系，正确列出一元一次不等式．
 

23.【答案】解：，，
，
，
，
平分，
，
；
，，，
，
由可得：，，
，
即与的关系式为；
设，，
若，
则，
而，，
则有：，
由知，
，
解得：，
；
若，
则，
由得：，
，
，
，
解得：，
；
若，
则，，
由得：，
，
，
，
解得：，不符合题意，
综上：当是等腰三角形时，的度数为或． 

【解析】根据等边对等角求出等腰的底角度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再根据高的定义得到，从而可得；
按照中计算过程，即可得到与的关系，即可得到结果；
分若，若，若，三种情况，利用，以及；解出即可得的度数．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余的性质，高与角平分线的定义等知识，解题的关键关键是找到角之间的等量关系，利用方程思想以及分类讨论的思想解决问题．