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甘肃省定西市安定区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)
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这是一份甘肃省定西市安定区2022-2023学年八年级上学期期中数学试卷(含答案)，共27页。试卷主要包含了“致中和，天地位焉，万物育焉，点P等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年甘肃省定西市安定区八年级第一学期期中数学试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分）
1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．清华大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．浙江大学
2．下列四组图形中，是全等形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列选项中的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．3cm，4cm，8cm
C．9cm，6cm，4cm D．5cm，5cm，10cm
4．木工王师傅用四根木条做了一个四边形框架．要使这个框架不变形，他至少需要再钉上木条的数量是（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5．点P（﹣3，1）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）
6．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长7cm，则△ACD的周长（ ）
A．18cm B．22cm C．19cm D．31cm
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．50°
8．如图，已知△ABC≌△BAD，线段AD与BC交于点O，则下面的结论中不正确的是（ ）
A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠CAO＝∠BOD D．∠CAB＝∠DBA
9．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若△ACD的面积等于3，则△ABD的面积为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．12
10．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
二.填空题（共8小题，每小题4分）
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c为奇数，则c＝ ．
12．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，则∠A＝ °．
13．如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，需要添加的条件是 （添加一个即可）．
14．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B、C分别在直线n、m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝50°．则∠2的度数为 ．
15．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝50°，∠E＝65°，则①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝40°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，则有AC∥DE，上述结论中正确的是 ．（填写序号）
16．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
17．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝8，DE＝2，AB＝5，则AC长是 ．
18．如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中结论正确的是 （填序号）．
三.解答题（共8小题）
19．在如图的直线n上作出点C，使AC+BC的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）
20．回答下列问题：
（1）一个等腰三角形的周长是20cm，若它的一条边长为6cm，求它的另两条边长．
（2）一个等腰三角形的一边长是4，另一边长是9，求这个等腰三角形的周长．
21．如图，已知点C，F在直线AD上，且有BC＝EF，AB＝DE，CD＝AF．求证：△ABC≌△DEF．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．
（1）直接写出点A的坐标和点A关于y轴的对称点的坐标，并画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）求△A1B1C1的面积．
23．如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC延长线上的点，AP平分∠BAC，BP平分∠CBD，求证：CP平分∠BCE．
证：过P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC，
∵AP平分∠BAC （ ），
且PF⊥AD，PG⊥AE，
∴ （角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵BP平分∠CBD，
且 ，
∴PF＝PH，
∴ （ ），
又∵PG⊥AE，PH⊥BC，
∴CP平分∠BCE．
24．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE，CF分别是∠DAB
及∠DCB的平分线．
（1）求证：AE∥FC．
（2）若∠BCD＝56°，求∠DAE．
25．已知：如图△ABC中AB＝6cm，AC＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
26．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠MBC的度数是 度；
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
参考答案
一.选择题（共10小题，每小题3分）
1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．清华大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．浙江大学
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列四组图形中，是全等形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案．
解：A．不是全等形，故此选项不合题意；
B．不是全等形，故此选项不合题意；
C．是全等形，故此选项符合题意；
D．不是全等形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形．
3．下列选项中的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．3cm，4cm，8cm
C．9cm，6cm，4cm D．5cm，5cm，10cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
解：根据三角形的三边关系，得：
A、1+2＜4，不能构成三角形，故不符合题意；
B、3+4＜8，不能构成三角形，故不符合题意；
C、4+6＞9，能构成三角形，故符合题意；
D、5+5＝10，不能构成三角形，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．
4．木工王师傅用四根木条做了一个四边形框架．要使这个框架不变形，他至少需要再钉上木条的数量是（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【分析】根据三角形的稳定性可得答案．
解：如图所示：
要使这个木架不变形，他至少还要再钉上1个木条，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
5．点P（﹣3，1）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
解：点P（﹣3，1）关于y轴的对称点的坐标为（3，1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
6．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长7cm，则△ACD的周长（ ）
A．18cm B．22cm C．19cm D．31cm
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长7cm，
∴△ACD周长为：25﹣7＝18（cm）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．50°
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．
解：∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角定理以及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
8．如图，已知△ABC≌△BAD，线段AD与BC交于点O，则下面的结论中不正确的是（ ）
A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠CAO＝∠BOD D．∠CAB＝∠DBA
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
解：∵△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD，BC＝AD，∠CAB＝∠DBA，
故A、B、D正确，不符合题意；
根据题意，无法判定∠CAO＝∠BOD，
故C错误，符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等、对应角相等”是解题的关键．
9．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若△ACD的面积等于3，则△ABD的面积为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．12
【分析】根据角平分线的性质得出DE＝DF，再根据三角形面积公式求解即可．
解：如图，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ACD＝AC•DF＝3，AC＝2，
∴DF＝＝3，
∴DE＝3，
∴S△ABD＝AB•DE＝×4×3＝6．
故选：C．
【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
10．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
【分析】利用HL证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC，然后利用HL证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，再根据图形表示出AE、AF，整理即可得到AC﹣AB＝2BE．进而可以进行判断即可．
解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC﹣FC，
∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，
即AC﹣AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
二.填空题（共8小题，每小题4分）
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c为奇数，则c＝ 5 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
解：∵a，b满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，
解得a＝2，b＝5，
∵5﹣2＝3，5+2＝7，
∴3＜c＜7，
又∵c为奇数，
∴c＝5，
故答案是：5．
【点评】本题主要考查三角形三边关系和非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
12．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，则∠A＝ 90 °．
【分析】由角平分线的定义可得∠ACD＝2∠ACE＝120°，再由三角形的外角性质即可求∠A的度数．
解：∵CE平分∠ACD，∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，
∵∠ACD是△ABC的外角，∠B＝30°，
∴∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝90°．
故答案为：90．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
13．如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，需要添加的条件是 AB＝AC （添加一个即可）．
【分析】根据AD平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD，再根据AD是公共边，可添加角相等或边相等的条件，答案不唯一．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，
∴添加AB＝AC后，根据SAS可判定△ABD≌△ACD．
故答案为：AB＝AC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
14．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B、C分别在直线n、m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝50°．则∠2的度数为 140° ．
【分析】先根据平行线的性质得到∠ECB＝∠1＝50°，再利用互余得到∠ACE＝40°，然后根据邻补角的定义求∠2的度数．
解：∵m∥n
∴∠ECB＝∠1＝50°，
又∵∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝40°，
又∵∠ACE+∠2＝180°
∴∠2＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：在直角三角形中，两个锐角互余．也考查了平行线的性质．
15．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝50°，∠E＝65°，则①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝40°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，则有AC∥DE，上述结论中正确的是 ①②③ ．（填写序号）
【分析】根据平行线的判定和性质、直角三角形的性质判断即可．
解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，故①结论正确；
②∵∠1+∠2+∠2+∠3＝180°，
∴∠CAD+∠2＝180°，故②结论正确；
③∵∠2＝40°，
∴∠3＝90°﹣40°＝50°，
∴∠3＝∠B，
∴BC∥AD，故③结论正确；
④∵∠2＝30°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝65°，
∴AC与DE不平行，故④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
16．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ASA ．
【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题．
解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
∴根据三角形的判定方法ASA可解决此题．
故答案为：ASA．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
17．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝8，DE＝2，AB＝5，则AC长是 3 ．
【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，
∵△ABC的面积为8，
∴△ADC的面积为8﹣5＝3，
∴AC×DF＝3，
∴AC×2＝3，
∴AC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出DF长和△ADC的面积．
18．如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中结论正确的是 ②③④ （填序号）．
【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，由角平分线的性质和判定进行解答即可．
解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，
∵点O是△ABC的两外角平分线的交点，
∴OE＝OG，OF＝OG，
∴OE＝OF＝OG，
∴点O在∠A的平分线上，故②③④正确，
只有点F是BC的中点时，BO＝CO，故①错误，
综上所述，结论正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；正确作出辅助线是解题的关键
三.解答题（共8小题）
19．在如图的直线n上作出点C，使AC+BC的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作A点关于直线n的对称点D，连接BD交直线n于点C，连接AC，点C即为所求．
解：作A点关于直线n的对称点D，连接BD交直线n于点C，连接AC
∵AC＝CD，
∴AC+BC＝CD+BC≥BD，
∴当B、C、D三点共线时，AC+BC有最小值．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
20．回答下列问题：
（1）一个等腰三角形的周长是20cm，若它的一条边长为6cm，求它的另两条边长．
（2）一个等腰三角形的一边长是4，另一边长是9，求这个等腰三角形的周长．
【分析】（1）等腰三角形有一条边长为6cm，没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
（2）分4是腰长和底边长两种情况讨论求解．
解：（1）∵当腰为6cm时，底边长＝20﹣6﹣6＝8（cm），
当底为6cm时，三角形的腰＝×（20﹣6）＝7（cm），
∴其他两边长为6cm，8cm或7cm，7cm．
（2）4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，
∵4+4＝8＜9，
∴不能组成三角形；
4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，
能组成三角形，
周长＝4+9+9＝22，
综上所述，这个等腰三角形的周长为22．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
21．如图，已知点C，F在直线AD上，且有BC＝EF，AB＝DE，CD＝AF．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】首先根据CD＝AF可得CD+CF＝AF+CF，即AC＝DF，可利用SSS证明△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵CD＝AF，
∴CD+CF＝AF+CF，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．
（1）直接写出点A的坐标和点A关于y轴的对称点的坐标，并画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）由图可得点A的坐标；关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得点A关于y轴的对称点的坐标；根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
解：（1）由图可得，A（﹣4，4），
∴点A关于y轴的对称点的坐标为（4，4）．
如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为3×4﹣﹣﹣＝4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
23．如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC延长线上的点，AP平分∠BAC，BP平分∠CBD，求证：CP平分∠BCE．
证：过P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC，
∵AP平分∠BAC （ 已知 ），
且PF⊥AD，PG⊥AE，
∴ PG＝PF （角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵BP平分∠CBD，
且 PF⊥AD，PH⊥BC ，
∴PF＝PH，
∴ PG＝PH （ 等量代换 ），
又∵PG⊥AE，PH⊥BC，
∴CP平分∠BCE．
【分析】过P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC，利用角平分线的性质推知PG＝PF＝PH；然后结合PG⊥AE，PH⊥BC推知结论．
【解答】证明：过P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC，
∵AP平分∠BAC（已知），
且PF⊥AD，PG⊥AE，
∴PG＝PF（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵BP平分∠CBD，
且 PF⊥AD，PH⊥BC，
∴PF＝PH，
∴PG＝PH（等量代换），
又∵PG⊥AE，PH⊥BC，
∴CP平分∠BCE．
故答案为：已知；PG＝PF；PF⊥AD，PH⊥BC；PG＝PH；等量代换．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．使用该结论的前提条件是图中有角平分线．
24．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE，CF分别是∠DAB
及∠DCB的平分线．
（1）求证：AE∥FC．
（2）若∠BCD＝56°，求∠DAE．
【分析】（1）由角平分线定义，两锐角互余的概念，平行线的判定，即可解决问题；
（2）由角平分线定义，平行线的性质，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形的内角和是360°，
∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣∠B﹣∠D＝180°，
∵AE，CF分别是∠DAB和∠DCB的平分线．
∴∠FCB＝∠DCB，∠BAE＝∠DAB，
∴∠FCB+∠BAE＝（∠DAB+∠DCB）＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠FCB＝∠AEB，
∴AE∥FC；
（2）解：∵CF是∠DCB的平分线．
∴∠DCF＝∠DCB＝28°，
∴∠DFC＝90°﹣∠DCF＝62°，
∵AE∥FC，
∴∠DAE＝∠DFC＝62°．
【点评】本题考查角平分线定义，两锐角互余的概念，平行线的性质和判定，关键是掌握并熟练应用以上知识点．
25．已知：如图△ABC中AB＝6cm，AC＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的定义可得∠FCD＝∠BCD，可得∠FCD＝∠FDC，进一步即可得证；
（2）同理（1）可得DE＝BE，根据△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AB+AC，求解即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠BCD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴FD＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠DBE，
∴∠EDB＝∠DBE，
∴DE＝BE，
∵DF＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AE+AF+BE+FC＝AB+AC，
∵AB＝8cm，AC＝6cm，
∴AB+AC＝8+6＝14（cm），
∴△AEF的周长为14cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠MBC的度数是 30 度；
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
【分析】（1）依据△ABC是等腰三角形，即可得到∠ACB的度数以及∠A的度数，再根据MN是垂直平分线，即可得到MA＝MB，∠MBA＝∠A＝40°，进而得出∠MBC的度数；
（2）①依据垂直平分线的性质，即可得到AM＝BM，进而得出△BCM的周长＝AC+BC，再根据AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，即可得到BC的长；
②依据PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，进而得出△PBC的周长最小值．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴MA＝MB，
∴∠MBA＝∠A＝40°，
∴∠MBC＝30°，
故答案为：30；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△BCM的周长＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，
∴BC＝14﹣8＝6（cm）；
②当P与M重合时，△PBC的周长最小．
理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，
∴当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，
∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．
【点评】本题主要考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
2022-2023学年甘肃省定西市安定区八年级第一学期期中数学试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分）
1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．清华大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．浙江大学
2．下列四组图形中，是全等形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列选项中的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．3cm，4cm，8cm
C．9cm，6cm，4cm D．5cm，5cm，10cm
4．木工王师傅用四根木条做了一个四边形框架．要使这个框架不变形，他至少需要再钉上木条的数量是（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
5．点P（﹣3，1）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）
6．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长7cm，则△ACD的周长（ ）
A．18cm B．22cm C．19cm D．31cm
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．50°
8．如图，已知△ABC≌△BAD，线段AD与BC交于点O，则下面的结论中不正确的是（ ）
A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠CAO＝∠BOD D．∠CAB＝∠DBA
9．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若△ACD的面积等于3，则△ABD的面积为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．12
10．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
二.填空题（共8小题，每小题4分）
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c为奇数，则c＝ ．
12．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，则∠A＝ °．
13．如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，需要添加的条件是 （添加一个即可）．
14．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B、C分别在直线n、m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝50°．则∠2的度数为 ．
15．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝50°，∠E＝65°，则①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝40°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，则有AC∥DE，上述结论中正确的是 ．（填写序号）
16．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ．
17．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝8，DE＝2，AB＝5，则AC长是 ．
18．如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中结论正确的是 （填序号）．
三.解答题（共8小题）
19．在如图的直线n上作出点C，使AC+BC的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）
20．回答下列问题：
（1）一个等腰三角形的周长是20cm，若它的一条边长为6cm，求它的另两条边长．
（2）一个等腰三角形的一边长是4，另一边长是9，求这个等腰三角形的周长．
21．如图，已知点C，F在直线AD上，且有BC＝EF，AB＝DE，CD＝AF．求证：△ABC≌△DEF．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．
（1）直接写出点A的坐标和点A关于y轴的对称点的坐标，并画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）求△A1B1C1的面积．
23．如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC延长线上的点，AP平分∠BAC，BP平分∠CBD，求证：CP平分∠BCE．
证：过P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC，
∵AP平分∠BAC （ ），
且PF⊥AD，PG⊥AE，
∴ （角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵BP平分∠CBD，
且 ，
∴PF＝PH，
∴ （ ），
又∵PG⊥AE，PH⊥BC，
∴CP平分∠BCE．
24．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE，CF分别是∠DAB
及∠DCB的平分线．
（1）求证：AE∥FC．
（2）若∠BCD＝56°，求∠DAE．
25．已知：如图△ABC中AB＝6cm，AC＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
26．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠MBC的度数是 度；
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
参考答案
一.选择题（共10小题，每小题3分）
1．“致中和，天地位焉，万物育焉．”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（ ）
A．清华大学 B．北京大学
C．中国人民大学 D．浙江大学
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．下列四组图形中，是全等形的一组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据能够完全重合的两个图形叫做全等形，进而分别判断得出答案．
解：A．不是全等形，故此选项不合题意；
B．不是全等形，故此选项不合题意；
C．是全等形，故此选项符合题意；
D．不是全等形，故此选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是全等图形，做题时要注意运用定义，注意观察题中图形．
3．下列选项中的三条线段能首尾相接构成三角形的是（ ）
A．1cm，2cm，4cm B．3cm，4cm，8cm
C．9cm，6cm，4cm D．5cm，5cm，10cm
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
解：根据三角形的三边关系，得：
A、1+2＜4，不能构成三角形，故不符合题意；
B、3+4＜8，不能构成三角形，故不符合题意；
C、4+6＞9，能构成三角形，故符合题意；
D、5+5＝10，不能构成三角形，故不符合题意．
故选：C．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边．
4．木工王师傅用四根木条做了一个四边形框架．要使这个框架不变形，他至少需要再钉上木条的数量是（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【分析】根据三角形的稳定性可得答案．
解：如图所示：
要使这个木架不变形，他至少还要再钉上1个木条，
故选：B．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，关键是掌握当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．
5．点P（﹣3，1）关于y轴对称点的坐标为（ ）
A．（1，﹣3） B．（3，1） C．（﹣3，﹣1） D．（3，﹣1）
【分析】根据关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，进而得出答案．
解：点P（﹣3，1）关于y轴的对称点的坐标为（3，1）．
故选：B．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确掌握点的坐标特点是解题关键．
6．如图，AD是△ABC的中线，已知△ABD的周长为25cm，AB比AC长7cm，则△ACD的周长（ ）
A．18cm B．22cm C．19cm D．31cm
【分析】根据三角形中线的定义可得BD＝CD，再表示出△ABD和△ACD的周长的差就是AB、AC的差，然后计算即可．
解：∵AD是BC边上的中线，
∴BD＝CD，
∴△ABD和△ACD周长的差＝（AB+BD+AD）﹣（AC+AD+CD）＝AB﹣AC，
∵△ABD的周长为25cm，AB比AC长7cm，
∴△ACD周长为：25﹣7＝18（cm）．
故选：A．
【点评】本题主要考查了三角形的中线的定义，把三角形的周长的差转化为已知两边AB、AC的长度的差是解题的关键．
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，AD平分∠BAC，CE⊥AB于点E，则∠ADC的度数为（ ）
A．100° B．90° C．80° D．50°
【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求出∠B与∠BAD的度数即可求解．
解：∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∵∠BAC＝60°，AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠BAC＝30°，
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝80°．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角定理以及角平分线的定义，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．
8．如图，已知△ABC≌△BAD，线段AD与BC交于点O，则下面的结论中不正确的是（ ）
A．AC＝BD B．BC＝AD C．∠CAO＝∠BOD D．∠CAB＝∠DBA
【分析】根据全等三角形的性质求解即可．
解：∵△ABC≌△BAD，
∴AC＝BD，BC＝AD，∠CAB＝∠DBA，
故A、B、D正确，不符合题意；
根据题意，无法判定∠CAO＝∠BOD，
故C错误，符合题意，
故选：C．
【点评】此题考查了全等三角形的性质，熟记“全等三角形的对应边相等、对应角相等”是解题的关键．
9．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若△ACD的面积等于3，则△ABD的面积为（ ）
A．8 B．4 C．6 D．12
【分析】根据角平分线的性质得出DE＝DF，再根据三角形面积公式求解即可．
解：如图，过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∵S△ACD＝AC•DF＝3，AC＝2，
∴DF＝＝3，
∴DE＝3，
∴S△ABD＝AB•DE＝×4×3＝6．
故选：C．
【点评】此题考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质定理是解题的关键．
10．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，则下列结论：①DE＝DF；②AD平分∠BAC；③AE＝AD；④AC﹣AB＝2BE中，正确的是（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①②④ D．②③④
【分析】利用HL证明Rt△BDE和Rt△CDF全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出AD平分∠BAC，然后利用HL证明Rt△ADE和Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE＝AF，再根据图形表示出AE、AF，整理即可得到AC﹣AB＝2BE．进而可以进行判断即可．
解：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，故①正确；
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC，故②正确；
在Rt△ADE和Rt△ADF中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴AE＝AF，
∴AB+BE＝AC﹣FC，
∴AC﹣AB＝BE+FC＝2BE，
即AC﹣AB＝2BE，故④正确；
由垂线段最短可得AE＜AD，故③错误，
综上所述，正确的是①②④．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，到角的两边距离相等的点在角的平分线上，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．
二.填空题（共8小题，每小题4分）
11．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，c为奇数，则c＝ 5 ．
【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．
解：∵a，b满足|a﹣2|+（b﹣5）2＝0，
∴a﹣2＝0，b﹣5＝0，
解得a＝2，b＝5，
∵5﹣2＝3，5+2＝7，
∴3＜c＜7，
又∵c为奇数，
∴c＝5，
故答案是：5．
【点评】本题主要考查三角形三边关系和非负数的性质：偶次方，解题的关键是明确题意，明确三角形三边的关系．
12．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B＝30°，∠ACE＝60°，则∠A＝ 90 °．
【分析】由角平分线的定义可得∠ACD＝2∠ACE＝120°，再由三角形的外角性质即可求∠A的度数．
解：∵CE平分∠ACD，∠ACE＝60°，
∴∠ACD＝2∠ACE＝120°，
∵∠ACD是△ABC的外角，∠B＝30°，
∴∠ACD＝∠A+∠B，
∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝90°．
故答案为：90．
【点评】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是熟记三角形的外角性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和．
13．如图，已知AD平分∠BAC，要使△ABD≌△ACD，需要添加的条件是 AB＝AC （添加一个即可）．
【分析】根据AD平分∠BAC，可得∠BAD＝∠CAD，再根据AD是公共边，可添加角相等或边相等的条件，答案不唯一．
解：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，
∴添加AB＝AC后，根据SAS可判定△ABD≌△ACD．
故答案为：AB＝AC．
【点评】本题主要考查了全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
14．如图，直线m∥n，△ABC的顶点B、C分别在直线n、m上，且∠ACB＝90°，若∠1＝50°．则∠2的度数为 140° ．
【分析】先根据平行线的性质得到∠ECB＝∠1＝50°，再利用互余得到∠ACE＝40°，然后根据邻补角的定义求∠2的度数．
解：∵m∥n
∴∠ECB＝∠1＝50°，
又∵∠ACB＝∠BCE+∠ACE＝90°，
∴∠ACE＝40°，
又∵∠ACE+∠2＝180°
∴∠2＝140°．
故答案为：140°．
【点评】本题考查了直角三角形的性质：在直角三角形中，两个锐角互余．也考查了平行线的性质．
15．如图，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝50°，∠E＝65°，则①∠1＝∠3；②∠CAD+∠2＝180°；③如果∠2＝40°，则有BC∥AD；④如果∠2＝30°，则有AC∥DE，上述结论中正确的是 ①②③ ．（填写序号）
【分析】根据平行线的判定和性质、直角三角形的性质判断即可．
解：①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠1+∠2＝∠2+∠3，
∴∠1＝∠3，故①结论正确；
②∵∠1+∠2+∠2+∠3＝180°，
∴∠CAD+∠2＝180°，故②结论正确；
③∵∠2＝40°，
∴∠3＝90°﹣40°＝50°，
∴∠3＝∠B，
∴BC∥AD，故③结论正确；
④∵∠2＝30°，
∴∠1＝60°，
∵∠E＝65°，
∴AC与DE不平行，故④不正确．
故答案为：①②③．
【点评】本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质．
16．如图，用纸板挡住部分直角三角形后，能画出与此直角三角形全等的三角形，其全等的依据是 ASA ．
【分析】根据全等三角形的判定方法解决此题．
解：由图得：遮挡住的三角形中露出两个角及其夹边．
∴根据三角形的判定方法ASA可解决此题．
故答案为：ASA．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
17．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝8，DE＝2，AB＝5，则AC长是 3 ．
【分析】根据角平分线性质求出DF，根据三角形面积公式求出△ABD的面积，求出△ADC面积，即可求出答案．
解：过D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF＝2，
∵S△ADB＝AB×DE＝×5×2＝5，
∵△ABC的面积为8，
∴△ADC的面积为8﹣5＝3，
∴AC×DF＝3，
∴AC×2＝3，
∴AC＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了角平分线性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是求出DF长和△ADC的面积．
18．如图，点O是△ABC的两外角平分线的交点，下列结论：①OB＝OC；②点O到AB、AC的距离相等；③点O到△ABC的三边的距离相等；④点O在∠A的平分线上．其中结论正确的是 ②③④ （填序号）．
【分析】过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，由角平分线的性质和判定进行解答即可．
解：如图，过点O作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥AC于G，
∵点O是△ABC的两外角平分线的交点，
∴OE＝OG，OF＝OG，
∴OE＝OF＝OG，
∴点O在∠A的平分线上，故②③④正确，
只有点F是BC的中点时，BO＝CO，故①错误，
综上所述，结论正确的是②③④．
故答案为：②③④．
【点评】本题考查了角平分线的判定与性质，熟记角平分线上的点到角的两边的距离相等，到角的两边距离相等的点在角的平分线上；正确作出辅助线是解题的关键
三.解答题（共8小题）
19．在如图的直线n上作出点C，使AC+BC的值最小．（不写作法，保留作图痕迹）
【分析】作A点关于直线n的对称点D，连接BD交直线n于点C，连接AC，点C即为所求．
解：作A点关于直线n的对称点D，连接BD交直线n于点C，连接AC
∵AC＝CD，
∴AC+BC＝CD+BC≥BD，
∴当B、C、D三点共线时，AC+BC有最小值．
【点评】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法是解题的关键．
20．回答下列问题：
（1）一个等腰三角形的周长是20cm，若它的一条边长为6cm，求它的另两条边长．
（2）一个等腰三角形的一边长是4，另一边长是9，求这个等腰三角形的周长．
【分析】（1）等腰三角形有一条边长为6cm，没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
（2）分4是腰长和底边长两种情况讨论求解．
解：（1）∵当腰为6cm时，底边长＝20﹣6﹣6＝8（cm），
当底为6cm时，三角形的腰＝×（20﹣6）＝7（cm），
∴其他两边长为6cm，8cm或7cm，7cm．
（2）4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9，
∵4+4＝8＜9，
∴不能组成三角形；
4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，
能组成三角形，
周长＝4+9+9＝22，
综上所述，这个等腰三角形的周长为22．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答．
21．如图，已知点C，F在直线AD上，且有BC＝EF，AB＝DE，CD＝AF．求证：△ABC≌△DEF．
【分析】首先根据CD＝AF可得CD+CF＝AF+CF，即AC＝DF，可利用SSS证明△ABC≌△DEF．
【解答】证明：∵CD＝AF，
∴CD+CF＝AF+CF，即AC＝DF，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SSS）．
【点评】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．
（1）直接写出点A的坐标和点A关于y轴的对称点的坐标，并画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；（不写画法，保留画图痕迹）
（2）求△A1B1C1的面积．
【分析】（1）由图可得点A的坐标；关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，即可得点A关于y轴的对称点的坐标；根据轴对称的性质作图即可．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
解：（1）由图可得，A（﹣4，4），
∴点A关于y轴的对称点的坐标为（4，4）．
如图，△A1B1C1即为所求．
（2）△A1B1C1的面积为3×4﹣﹣﹣＝4．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
23．如图，△ABC中，D，E分别是边AB，AC延长线上的点，AP平分∠BAC，BP平分∠CBD，求证：CP平分∠BCE．
证：过P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC，
∵AP平分∠BAC （ 已知 ），
且PF⊥AD，PG⊥AE，
∴ PG＝PF （角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵BP平分∠CBD，
且 PF⊥AD，PH⊥BC ，
∴PF＝PH，
∴ PG＝PH （ 等量代换 ），
又∵PG⊥AE，PH⊥BC，
∴CP平分∠BCE．
【分析】过P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC，利用角平分线的性质推知PG＝PF＝PH；然后结合PG⊥AE，PH⊥BC推知结论．
【解答】证明：过P分别作PF⊥AD，PG⊥AE，PH⊥BC，
∵AP平分∠BAC（已知），
且PF⊥AD，PG⊥AE，
∴PG＝PF（角平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵BP平分∠CBD，
且 PF⊥AD，PH⊥BC，
∴PF＝PH，
∴PG＝PH（等量代换），
又∵PG⊥AE，PH⊥BC，
∴CP平分∠BCE．
故答案为：已知；PG＝PF；PF⊥AD，PH⊥BC；PG＝PH；等量代换．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．使用该结论的前提条件是图中有角平分线．
24．如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AE，CF分别是∠DAB
及∠DCB的平分线．
（1）求证：AE∥FC．
（2）若∠BCD＝56°，求∠DAE．
【分析】（1）由角平分线定义，两锐角互余的概念，平行线的判定，即可解决问题；
（2）由角平分线定义，平行线的性质，即可求解．
【解答】（1）证明：∵四边形的内角和是360°，
∴∠DAB+∠DCB＝360°﹣∠B﹣∠D＝180°，
∵AE，CF分别是∠DAB和∠DCB的平分线．
∴∠FCB＝∠DCB，∠BAE＝∠DAB，
∴∠FCB+∠BAE＝（∠DAB+∠DCB）＝90°，
∵∠AEB+∠BAE＝90°，
∴∠FCB＝∠AEB，
∴AE∥FC；
（2）解：∵CF是∠DCB的平分线．
∴∠DCF＝∠DCB＝28°，
∴∠DFC＝90°﹣∠DCF＝62°，
∵AE∥FC，
∴∠DAE＝∠DFC＝62°．
【点评】本题考查角平分线定义，两锐角互余的概念，平行线的性质和判定，关键是掌握并熟练应用以上知识点．
25．已知：如图△ABC中AB＝6cm，AC＝8cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过D作直线平行于BC，交AB，AC于E，F．
（1）求证：△DFC是等腰三角形；
（2）求△AEF的周长．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的定义可得∠FCD＝∠BCD，可得∠FCD＝∠FDC，进一步即可得证；
（2）同理（1）可得DE＝BE，根据△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AB+AC，求解即可．
【解答】（1）证明：∵EF∥BC，
∴∠FDC＝∠DCB，
∵CD平分∠ACB，
∴∠FCD＝∠BCD，
∴∠FCD＝∠FDC，
∴FD＝FC，
∴△DFC是等腰三角形；
（2）解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝∠DBE，
∴∠EDB＝∠DBE，
∴DE＝BE，
∵DF＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+AF+DE+DF＝AE+AF+BE+FC＝AB+AC，
∵AB＝8cm，AC＝6cm，
∴AB+AC＝8+6＝14（cm），
∴△AEF的周长为14cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
26．如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．
（1）若∠ABC＝70°，则∠MBC的度数是 30 度；
（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长度；
②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．
【分析】（1）依据△ABC是等腰三角形，即可得到∠ACB的度数以及∠A的度数，再根据MN是垂直平分线，即可得到MA＝MB，∠MBA＝∠A＝40°，进而得出∠MBC的度数；
（2）①依据垂直平分线的性质，即可得到AM＝BM，进而得出△BCM的周长＝AC+BC，再根据AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，即可得到BC的长；
②依据PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，即可得到当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小，进而得出△PBC的周长最小值．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝70°，
∴∠A＝40°，
∵AB的垂直平分线交AB于点N，
∴MA＝MB，
∴∠MBA＝∠A＝40°，
∴∠MBC＝30°，
故答案为：30；
（2）①∵MN是AB的垂直平分线，
∴AM＝BM，
∴△BCM的周长＝BM+CM+BC＝AM+MC+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC＝8cm，△MBC的周长是14cm，
∴BC＝14﹣8＝6（cm）；
②当P与M重合时，△PBC的周长最小．
理由：∵PB+PC＝PA+PC，PA+PC≥AC，
∴当P与M重合时，PA+PC＝AC，此时PB+PC最小值等于AC的长，
∴△PBC的周长最小值＝AC+BC＝8+6＝14（cm）．
【点评】本题主要考查了最短路线问题以及等腰三角形的性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
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