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甘肃省平凉市2021-2022学年八年级上学期期中质量检测数学试卷（word版 含答案）
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这是一份甘肃省平凉市2021-2022学年八年级上学期期中质量检测数学试卷（word版 含答案），共21页。
2021-2022学年甘肃省八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14
3．（3分）已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
4．（3分）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
5．（3分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
6．（3分）如图所示，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．45° D．60°
7．（3分）下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．（3分）等腰三角形的两边长为3和6，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．12或15 B．12 C．15 D．18
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝10（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
10．（3分）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）如图，AD是△ABC的对称轴，点E，若△ABC的面积为30cm2，则图中阴影部分的面积是 cm2．
12．（4分）赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD） ．
13．（4分）一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是 边形．
14．（4分）小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 ．
15．（4分）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，则∠1+∠2＝ ．
16．（4分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）
17．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20° ．
18．（4分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，使CE＝2，连接DE，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒 秒时，△ABP和△DCE全等．
三．作图题（共1小题，6分）
19．（6分）如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，B的距离必须相等，到两条公路m（不写作法但保留作图痕迹）．
四．简答题（共6小题，总计52分）
20．（6分）一个等腰三角形的周长是36cm
（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长等于8cm，求其他两边长．
21．（8分）在一次数学课上，老师在黑板上画出如图所示的图形，并写下四个等式，（1），（2）BD＝AC，（3）∠B＝∠C，（4），推出第四个，请你试着完成王老师提出的要求（写出三种）
22．（8分）已知BC＝ED，AB＝AE，∠B＝∠E，求证：AF⊥CD．
23．（8分）如图，三角形纸片中，AB＝8cm，AC＝5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长．
24．（10分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
25．（12分）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在底边BC上，AE＝AD
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
2021-2022学年甘肃省八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：D．
2．（3分）下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵5+6＝11，故A选项错误；
B、∵4+8＝16，故B选项错误；
C、∵5+8＜10，故C选项错误；
D、∵6+9＞14，故D选项正确．
故选：D．
3．（3分）已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【分析】先求出每一个外角的度数，再用360°除即可求出边数．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于135°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣135°＝45°，
∴边数n＝360°÷45°＝8．
故选：D．
4．（3分）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
【分析】作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案．
【解答】解：作射线AM，
由题意得，MG＝MH，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
故选：A．
5．（3分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①去，不能得到与原来一样的三角形；
B、带②去，也是不能得到与原来一样的三角形；
C、带③去，符合ASA判定；
D、带①和②去，同样不能得到与原来一样的三角形．
故选：C．
6．（3分）如图所示，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．45° D．60°
【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1的值．
【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1＝50°．
故选：B．
7．（3分）下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】依据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形．即可求解．
【解答】解：①全等三角形的对应边相等，正确；
②、全等三角形面积相等．故该选项错误；
③、全等三角形的周长相等，不一定是全等三角形；
④、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形；故正确的是①④．
8．（3分）等腰三角形的两边长为3和6，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．12或15 B．12 C．15 D．18
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：∵三角形中任意两边之和大于第三边
∴当另一边为3时3+2＝6不符
∴另一边必须为6
∴周长为8+6+6＝15
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝10（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE＝3，根据三角形的面积求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝DE＝3，
∴△BDC的面积是×DE×BC＝，
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【解答】解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故①正确；
②∵∠CEG＝∠ACB，而∠GEC与∠GCE不一定相等，
∴CA不一定平分∠BCG，故②错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；
④∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠DFB＝∠EBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，
∵∠CGE＝90°，
∴∠DFB＝∠CGE．
故选：C．
二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）如图，AD是△ABC的对称轴，点E，若△ABC的面积为30cm2，则图中阴影部分的面积是 15 cm2．
【分析】根据轴对称的性质可得△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．
【解答】解：∵S△ABC＝30cm2，AD是△ABC的对称轴，点E，
∴阴影部分面积＝30÷2＝15（cm3）．
故答案为：15．
12．（4分）赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD） 三角形的稳定性 ．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
13．（4分）一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是 8 边形．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则1080°＝（n﹣2）•180°，解得n＝8．
故答案为：4．
14．（4分）小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 16：25：08 ．
【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．
【解答】解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵5的对称数字为2，4的对称数字是5，
∴这时的时刻应是16：25：08．
故答案为：16：25：08．
15．（4分）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，则∠1+∠2＝ 240° ．
【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．
【解答】解：根据三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°＝120°，
则根据四边形的内角和定理得：
∠2+∠2＝360°﹣120°＝240°．
故答案为：240°．
16．（4分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 BC＝EF或∠BAC＝∠EDF ．（只填一个即可）
【分析】BC＝EF或∠BAC＝∠EDF，若BC＝EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC＝∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．
【解答】解：若添加BC＝EF，
∵BC∥EF，
∴∠B＝∠E，
∵BD＝AE，
∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
若添加∠BAC＝∠EDF，
∵BC∥EF，
∴∠B＝∠E，
∵BD＝AE，
∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：BC＝EF或∠BAC＝∠EDF
17．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20° 50° ．
【分析】结合角平分线的定义求出∠BAD的度数，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，
∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝30°+10°＝40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∵∠ADE+∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
故答案为50°．
18．（4分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，使CE＝2，连接DE，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒 1或7 秒时，△ABP和△DCE全等．
【分析】由条件可知BP＝2t，当点P在线段BC上时可知BP＝CE，当点P在线段DA上时，则有AD＝CE，分别可得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：
设点P的运动时间为t秒，则BP＝2t，
当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，
此时有△ABP≌△DCE，
∴BP＝CE，即2t＝7；
当点P在线段AD上时，
∵AB＝4，AD＝6，
∴BC＝2，CD＝4，
∴AP＝BC+CD+DA＝6+8+6＝16，
∴AP＝16﹣2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP＝CE，即16﹣4t＝2；
综上可知当t为1秒或8秒时，△ABP和△CDE全等．
故答案为：1或7．
三．作图题（共1小题，6分）
19．（6分）如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，B的距离必须相等，到两条公路m（不写作法但保留作图痕迹）．
【分析】作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点．
【解答】解：如图所示．
四．简答题（共6小题，总计52分）
20．（6分）一个等腰三角形的周长是36cm
（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长等于8cm，求其他两边长．
【分析】（1）设底边BC＝acm，则AC＝AB＝2acm，代入求出即可；
（2）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．
【解答】解：（1）设底边BC＝acm，则AC＝AB＝2acm，
∵三角形的周长是36cm，
∴2a+8a+a＝36，
∴a＝，2a＝，
∴等腰三角形的三边长是cm，，cm．
（2）①当等腰三角形的底边长为8cm时，腰长＝（36﹣8）÷6＝14（cm）；
则等腰三角形的三边长为8cm、14cm，能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为8cm时，底边长＝36﹣5×8＝20；
则等腰三角形的三边长为8cm，2cm，不能构成三角形．
故等腰三角形另外两边的长为14cm，14cm．
21．（8分）在一次数学课上，老师在黑板上画出如图所示的图形，并写下四个等式，（1），（2）BD＝AC，（3）∠B＝∠C，（4），推出第四个，请你试着完成王老师提出的要求（写出三种）
【分析】利用“SSS”或“AAS”或“SAS”写出三个命题即可．
【解答】解：命题一：若（1）AB＝DC，（2）BD＝AC，（4）∠BDA＝∠CAD；
命题二：若（3）∠B＝∠C，（4）∠BDA＝∠CAD，（2）BD＝AC；
命题三：若（1）AB＝DC，（4）∠BDA＝∠CAD，（3）∠B＝∠C．
证明命题一：在△ABD和△DCA中，
，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠B＝∠C，∠BDA＝∠CAD．
22．（8分）已知BC＝ED，AB＝AE，∠B＝∠E，求证：AF⊥CD．
【分析】连接AC、AD，由已知证明△ABC≌△AED，得到AC＝AD，又因为点F是CD的中点，利用等腰三角形的三线合一可得AF⊥CD．
【解答】解：如图，连接AC，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）．
∴AC＝AD．
∴△ACD是等腰三角形．
又∵点F是CD的中点，
∴AF⊥CD．
23．（8分）如图，三角形纸片中，AB＝8cm，AC＝5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长．
【分析】根据翻折变换的性质可得BE＝BC，DE＝CD，然后求出AE，再求出△ADE的周长＝AC+AE．
【解答】解：∵折叠这个三角形点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴BE＝BC，DE＝CD，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝4cm，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE，
＝AD+CD+AE，
＝AC+AE，
＝5+2，
＝6cm．
24．（10分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN的周长＝AB；
（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
25．（12分）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在底边BC上，AE＝AD
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD＝60°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝75°﹣45°＝30°；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°﹣x，根据等腰三角形的性质得到∠AED＝45°+，于是得到结论；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝180°﹣2y，由∠BAD＝x，于是得到∠DAE＝y+x，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；
（2）设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°+，
∴∠CDE＝x；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，
∵AB＝AC，∠C＝y，
∴∠BAC＝180°﹣2y，
∵∠BAD＝x，
∴∠AED＝y+x，
∴x．
2021-2022学年甘肃省八年级（上）期中数学试卷
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14
3．（3分）已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
4．（3分）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
5．（3分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
6．（3分）如图所示，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．45° D．60°
7．（3分）下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
8．（3分）等腰三角形的两边长为3和6，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．12或15 B．12 C．15 D．18
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝10（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
10．（3分）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）如图，AD是△ABC的对称轴，点E，若△ABC的面积为30cm2，则图中阴影部分的面积是 cm2．
12．（4分）赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD） ．
13．（4分）一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是 边形．
14．（4分）小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 ．
15．（4分）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，则∠1+∠2＝ ．
16．（4分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 ．（只填一个即可）
17．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20° ．
18．（4分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，使CE＝2，连接DE，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒 秒时，△ABP和△DCE全等．
三．作图题（共1小题，6分）
19．（6分）如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，B的距离必须相等，到两条公路m（不写作法但保留作图痕迹）．
四．简答题（共6小题，总计52分）
20．（6分）一个等腰三角形的周长是36cm
（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长等于8cm，求其他两边长．
21．（8分）在一次数学课上，老师在黑板上画出如图所示的图形，并写下四个等式，（1），（2）BD＝AC，（3）∠B＝∠C，（4），推出第四个，请你试着完成王老师提出的要求（写出三种）
22．（8分）已知BC＝ED，AB＝AE，∠B＝∠E，求证：AF⊥CD．
23．（8分）如图，三角形纸片中，AB＝8cm，AC＝5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长．
24．（10分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
25．（12分）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在底边BC上，AE＝AD
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
2021-2022学年甘肃省八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、是轴对称图形；
C、是轴对称图形；
D、不是轴对称图形；
故选：D．
2．（3分）下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A．5，11，6 B．8，8，16 C．10，5，4 D．6，9，14
【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、∵5+6＝11，故A选项错误；
B、∵4+8＝16，故B选项错误；
C、∵5+8＜10，故C选项错误；
D、∵6+9＞14，故D选项正确．
故选：D．
3．（3分）已知一个多边形的每一个内角都等于135°，则这个多边形是（ ）
A．五边形 B．六边形 C．七边形 D．八边形
【分析】先求出每一个外角的度数，再用360°除即可求出边数．
【解答】解：∵多边形的每一个内角都等于135°，
∴多边形的每一个外角都等于180°﹣135°＝45°，
∴边数n＝360°÷45°＝8．
故选：D．
4．（3分）已知△ABC，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在AB，且这组对应边所对的顶点重合于点M，点M一定在（ ）
A．∠A的平分线上 B．AC边的高上
C．BC边的垂直平分线上 D．AB边的中线上
【分析】作射线AM，根据角平分线的判定定理得到AM平分∠BAC，得到答案．
【解答】解：作射线AM，
由题意得，MG＝MH，MH⊥AC，
∴AM平分∠BAC，
故选：A．
5．（3分）如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃（ ）
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【分析】此题可以采用全等三角形的判定方法以及排除法进行分析，从而确定最后的答案．
【解答】解：A、带①去，不能得到与原来一样的三角形；
B、带②去，也是不能得到与原来一样的三角形；
C、带③去，符合ASA判定；
D、带①和②去，同样不能得到与原来一样的三角形．
故选：C．
6．（3分）如图所示，∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，则∠2＝（ ）
A．40° B．50° C．45° D．60°
【分析】本题要求∠2，先要证明Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），则可求得∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1的值．
【解答】解：∵∠B＝∠D＝90°
在Rt△ABC和Rt△ADC中
，
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴∠2＝∠ACB＝90°﹣∠1＝50°．
故选：B．
7．（3分）下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【分析】依据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形．即可求解．
【解答】解：①全等三角形的对应边相等，正确；
②、全等三角形面积相等．故该选项错误；
③、全等三角形的周长相等，不一定是全等三角形；
④、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形；故正确的是①④．
8．（3分）等腰三角形的两边长为3和6，则此等腰三角形的周长为（ ）
A．12或15 B．12 C．15 D．18
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和6，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：∵三角形中任意两边之和大于第三边
∴当另一边为3时3+2＝6不符
∴另一边必须为6
∴周长为8+6+6＝15
故选：C．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝10（ ）
A．10 B．15 C．20 D．30
【分析】过D作DE⊥BC于E，根据角平分线性质求出DE＝3，根据三角形的面积求出即可．
【解答】解：过D作DE⊥BC于E，
∵∠A＝90°，
∴DA⊥AB，
∵BD平分∠ABC，
∴AD＝DE＝3，
∴△BDC的面积是×DE×BC＝，
故选：B．
10．（3分）如图，△ABC的角平分线CD、BE相交于F，∠A＝90°，且CG⊥EG于G，下列结论：①∠CEG＝2∠DCB；③∠ADC＝∠GCD；④∠DFB＝（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据平行线的性质、角平分线的定义、垂直的性质及三角形内角和定理依次判断即可得出答案．
【解答】解：①∵EG∥BC，
∴∠CEG＝∠ACB，
又∵CD是△ABC的角平分线，
∴∠CEG＝∠ACB＝2∠DCB，故①正确；
②∵∠CEG＝∠ACB，而∠GEC与∠GCE不一定相等，
∴CA不一定平分∠BCG，故②错误；
③∵∠A＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD，
∴∠ADC+∠BCD＝90°．
∵EG∥BC，且CG⊥EG，
∴∠GCB＝90°，即∠GCD+∠BCD＝90°，
∴∠ADC＝∠GCD，故③正确；
④∵∠ABC+∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，BE平分∠ABC，
∴∠EBC＝∠ABC∠ACB，
∴∠DFB＝∠EBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝45°，
∵∠CGE＝90°，
∴∠DFB＝∠CGE．
故选：C．
二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分）
11．（4分）如图，AD是△ABC的对称轴，点E，若△ABC的面积为30cm2，则图中阴影部分的面积是 15 cm2．
【分析】根据轴对称的性质可得△CEF和△BEF的面积相等，所以阴影部分的面积是三角形面积的一半．
【解答】解：∵S△ABC＝30cm2，AD是△ABC的对称轴，点E，
∴阴影部分面积＝30÷2＝15（cm3）．
故答案为：15．
12．（4分）赵师傅在做完门框后，为防止变形，如图中所示的那样在门上钉上两条斜拉的木条（即图中的AB，CD） 三角形的稳定性 ．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
【解答】解：赵师傅这样做是运用了三角形的稳定性．
故答案为：三角形的稳定性．
13．（4分）一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是 8 边形．
【分析】多边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，依此列方程可求解．
【解答】解：设所求正n边形边数为n，
则1080°＝（n﹣2）•180°，解得n＝8．
故答案为：4．
14．（4分）小明从平面镜子中看到镜子对面电子钟示数的像如图所示，这时的时刻应是 16：25：08 ．
【分析】关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字．
【解答】解：∵是从镜子中看，
∴对称轴为竖直方向的直线，
∵5的对称数字为2，4的对称数字是5，
∴这时的时刻应是16：25：08．
故答案为：16：25：08．
15．（4分）如图所示，一个角60°的三角形纸片，剪去这个60°角后，则∠1+∠2＝ 240° ．
【分析】三角形纸片中，剪去其中一个60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于360度即可求得∠1+∠2的度数．
【解答】解：根据三角形的内角和定理得：
四边形除去∠1，∠2后的两角的度数为180°﹣60°＝120°，
则根据四边形的内角和定理得：
∠2+∠2＝360°﹣120°＝240°．
故答案为：240°．
16．（4分）如图，点B、A、D、E在同一直线上，BD＝AE，要使△ABC≌△DEF，则只需添加一个适当的条件是 BC＝EF或∠BAC＝∠EDF ．（只填一个即可）
【分析】BC＝EF或∠BAC＝∠EDF，若BC＝EF，根据条件利用SAS即可得证；若∠BAC＝∠EDF，根据条件利用ASA即可得证．
【解答】解：若添加BC＝EF，
∵BC∥EF，
∴∠B＝∠E，
∵BD＝AE，
∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（SAS）；
若添加∠BAC＝∠EDF，
∵BC∥EF，
∴∠B＝∠E，
∵BD＝AE，
∴BD﹣AD＝AE﹣AD，即BA＝ED，
在△ABC和△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（ASA），
故答案为：BC＝EF或∠BAC＝∠EDF
17．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20° 50° ．
【分析】结合角平分线的定义求出∠BAD的度数，再利用三角形的内角和定理求解即可．
【解答】解：∵AE平分∠BAC，∠BAE＝30°，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∵∠CAD＝20°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，
∴∠BAD＝∠BAE+∠EAD＝30°+10°＝40°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∵∠ADE+∠B+∠BAD＝180°，
∴∠B＝180°﹣90°﹣40°＝50°．
故答案为50°．
18．（4分）已知：如图，在长方形ABCD中，AB＝4，使CE＝2，连接DE，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒 1或7 秒时，△ABP和△DCE全等．
【分析】由条件可知BP＝2t，当点P在线段BC上时可知BP＝CE，当点P在线段DA上时，则有AD＝CE，分别可得到关于t的方程，可求得t的值．
【解答】解：
设点P的运动时间为t秒，则BP＝2t，
当点P在线段BC上时，
∵四边形ABCD为长方形，
∴AB＝CD，∠B＝∠DCE＝90°，
此时有△ABP≌△DCE，
∴BP＝CE，即2t＝7；
当点P在线段AD上时，
∵AB＝4，AD＝6，
∴BC＝2，CD＝4，
∴AP＝BC+CD+DA＝6+8+6＝16，
∴AP＝16﹣2t，
此时有△ABP≌△CDE，
∴AP＝CE，即16﹣4t＝2；
综上可知当t为1秒或8秒时，△ABP和△CDE全等．
故答案为：1或7．
三．作图题（共1小题，6分）
19．（6分）如图，电信部门要在公路m，n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P．按照设计要求，B的距离必须相等，到两条公路m（不写作法但保留作图痕迹）．
【分析】作线段AB的垂直平分线，再作直线m与n的夹角的角平分线，两线的交点就是P点．
【解答】解：如图所示．
四．简答题（共6小题，总计52分）
20．（6分）一个等腰三角形的周长是36cm
（1）已知腰长是底边长的2倍，求各边的长；
（2）已知其中一边长等于8cm，求其他两边长．
【分析】（1）设底边BC＝acm，则AC＝AB＝2acm，代入求出即可；
（2）分类讨论，然后根据三角形三边关系定理判断求出的结果是否符合题意．
【解答】解：（1）设底边BC＝acm，则AC＝AB＝2acm，
∵三角形的周长是36cm，
∴2a+8a+a＝36，
∴a＝，2a＝，
∴等腰三角形的三边长是cm，，cm．
（2）①当等腰三角形的底边长为8cm时，腰长＝（36﹣8）÷6＝14（cm）；
则等腰三角形的三边长为8cm、14cm，能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为8cm时，底边长＝36﹣5×8＝20；
则等腰三角形的三边长为8cm，2cm，不能构成三角形．
故等腰三角形另外两边的长为14cm，14cm．
21．（8分）在一次数学课上，老师在黑板上画出如图所示的图形，并写下四个等式，（1），（2）BD＝AC，（3）∠B＝∠C，（4），推出第四个，请你试着完成王老师提出的要求（写出三种）
【分析】利用“SSS”或“AAS”或“SAS”写出三个命题即可．
【解答】解：命题一：若（1）AB＝DC，（2）BD＝AC，（4）∠BDA＝∠CAD；
命题二：若（3）∠B＝∠C，（4）∠BDA＝∠CAD，（2）BD＝AC；
命题三：若（1）AB＝DC，（4）∠BDA＝∠CAD，（3）∠B＝∠C．
证明命题一：在△ABD和△DCA中，
，
∴△ABD≌△DCA（SSS），
∴∠B＝∠C，∠BDA＝∠CAD．
22．（8分）已知BC＝ED，AB＝AE，∠B＝∠E，求证：AF⊥CD．
【分析】连接AC、AD，由已知证明△ABC≌△AED，得到AC＝AD，又因为点F是CD的中点，利用等腰三角形的三线合一可得AF⊥CD．
【解答】解：如图，连接AC，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS）．
∴AC＝AD．
∴△ACD是等腰三角形．
又∵点F是CD的中点，
∴AF⊥CD．
23．（8分）如图，三角形纸片中，AB＝8cm，AC＝5cm．沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB边上的点E处，求△ADE的周长．
【分析】根据翻折变换的性质可得BE＝BC，DE＝CD，然后求出AE，再求出△ADE的周长＝AC+AE．
【解答】解：∵折叠这个三角形点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，
∴BE＝BC，DE＝CD，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝4cm，
∴△ADE的周长＝AD+DE+AE，
＝AD+CD+AE，
＝AC+AE，
＝5+2，
＝6cm．
24．（10分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AM＝CM，BN＝CN，然后求出△CMN的周长＝AB；
（2）根据三角形的内角和定理列式求出∠MNF+∠NMF，再求出∠A+∠B，根据等边对等角可得∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝CM，BN＝CN，
∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB＝15cm；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，
∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，
∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，
∵AM＝CM，BN＝CN，
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，
∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．
25．（12分）探究与发现：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D在底边BC上，AE＝AD
（1）当∠BAD＝60°时，求∠CDE的度数；
（2）当点D在BC（点B、C除外）上运动时，试猜想并探究∠BAD与∠CDE的数量关系；
（3）深入探究：若∠BAC≠90°，试就图②探究∠BAD与∠CDE的数量关系．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠CAD＝∠BAD＝60°，由于AD＝AE，于是得到∠ADE＝60°，根据三角形的内角和即可得到∠CDE＝75°﹣45°＝30°；
（2）设∠BAD＝x，于是得到∠CAD＝90°﹣x，根据等腰三角形的性质得到∠AED＝45°+，于是得到结论；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝180°﹣2y，由∠BAD＝x，于是得到∠DAE＝y+x，即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠C＝45°，
∵∠BAD＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∵AD＝AE，
∴∠AED＝75°，
∴∠CDE＝∠AED＝∠C＝30°；
（2）设∠BAD＝x，
∴∠CAD＝90°﹣x，
∵AE＝AD，
∴∠AED＝45°+，
∴∠CDE＝x；
（3）设∠BAD＝x，∠C＝y，
∵AB＝AC，∠C＝y，
∴∠BAC＝180°﹣2y，
∵∠BAD＝x，
∴∠AED＝y+x，
∴x．
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