专题06 概率与统计-备战2022年高考数学之学会解题全国名校精华分项版【北京名校】

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专题06 概率与统计
一、单选题
1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图，白圈为阳数，黑点为阴数，若从阴数和阳数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
因为阳数：，阴数：，所以从阴数和阳数中各取一数差的绝对值有：个，满足差的绝对值为5的有：共个，则.
故选A.
2. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】气象意义上从春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度均不低于22℃．现有甲乙丙三地连续5天的日平均温度（都是正整数，单位：℃）的记录数据如下：
①甲地5个数据的中位数为26，众数为22；
②乙地5个数据的平均数为26，方差为5.2；
③丙地5个数据的中位数为26，平均数为26.4，极差为8.
则从气象意义上肯定进入夏季的地区是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】①因为众数为22，所以至少出现2次，若有一天低于22，则中位数不可能是26，所以甲地肯定进入夏季；
②设温度由低到高为：，根据方差的定义，
所以，
若有一天低于22，不妨设，则只有21，25，26，26，26，而不满足平均数26，
故没有低于22的，所以乙地进入夏季；
③设温度由低到高为：，由题意得：，
由平均数的定义得：，即，
若，取，则，
不满足中位数26，故没有低于22的，所以丙地肯定进入夏季；
故选：D
3. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】为了解某年级400名女生五十米短跑情况，从该年级中随机抽取8名女生进行五十跑测试，她们的测试成绩（单位：秒）的茎叶图（以整数部分为茎，小数部分为叶）如图所示.由此可估计该年级女生五十米跑成绩及格（及格成绩为9.4秒）的人数为（ ）

A．150 B．250 C．200 D．50
【答案】B
【解析】由茎叶图可知，成绩在9.4秒以内的都为合格，即合格率为，故估计该年级女生五十米跑成绩及格的人数为，故选：B
二、填空题
1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】某中学数学竞赛培训班共有10人，分为甲、乙两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，若甲组5名同学成绩的平均数为81，乙组5名同学成绩的中位数为73，则x- y的值为________．

【答案】
【解析】
根据茎叶图中的数据，得：
甲班5名同学成绩的平均数为，
解得；
又乙班5名同学的中位数为73，则；
.
故答案为：.
2. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三4月质量检测】在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制.下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：


根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处.
①_________________________________________________.
②_________________________________________________.
【答案】甲省比乙省的新增人数的平均数低 甲省比乙省的方差要大
【解析】根据折线图知：①甲省比乙省的新增人数的平均数低；②甲省比乙省的方差要大.
故答案为：甲省比乙省的新增人数的平均数低；甲省比乙省的方差要大.
3. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟】某单位有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍，老､中､青职工共有430人，为了解职工身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工64人，则该样本中的老年职工人数为__________.
【答案】36
【解析】设老年职工有人，则中年职工有人，可得，解得，即老年职工有人，
设样本中老年职工的人数为人，则，解得，所以该样本中老年职工人数为人.
故答案为：.
4. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三3月统一练习】在某项技能测试中，甲乙两人的成绩(单位：分)记录在如图所示的茎叶图中，其中甲的某次成绩不清晰，用字母代替．已知甲乙成绩的中位数相等，那么的值为___________．

【答案】
【解析】
由茎叶图知乙成绩的中位数为，
甲乙成绩的中位数相等，，解得：.
故答案为：.
5. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】为了解某班同学的100m成绩，体育老师抽取了6名男生和5名女生进行了测试，结果绘制成茎叶图如图所示.记这6名男生，5名女生测试成绩的中位数分别为，，则，的大小关系为________.

【答案】
【解析】根据茎叶图中的数据可得这6名男生测试成绩的中位数
5名女生测试成绩的中位数
所以
故答案为：
6. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期开学考试】为了解某校学生的视力情况，现采用《晓观数学》公众号随机抽样的方式从该校的，两班中各抽4名学生进行视力检测.检测的数据如下：
班：4.1，4.6，4.4，4.9；班：4.9，4.6，4.2，4.5.
（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，___________班的4名学生视力较好；
（2）___________班的4名学生视力方差较大.
【答案】
【解析】（1）班数据的平均数
班数据的平均数
从计算结果看，班的4名学生视力较好；
（2）班数据的方差

班数据的方差

所以班的4名学生视力方差较大
故答案为：，
三、解答题
1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1】自由购是通过自助结算方式购物的一种形式. 某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：

20以下





70以上
使用人数
3
12
17
6
4
2
0
未使用人数
0
0
3
14
36
3
0
（Ⅰ）现随机抽取 1 名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；
（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数，求随机变量的分布列及数学期望；
（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.
【答案】；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）2200
【解析】
（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，
所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．
（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，
,
,
.
所以的分布列为

1
2
3





所以的数学期望为.
（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，
使用自由购的共有人，
所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为.
2. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修．工厂规定当日损坏的元件A在次日早上 8：30 之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作．每个工人独立维修A元件需要时间相同．维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：
日期
1 日
2 日
3 日
4 日
5 日
6 日
7 日
8 日
9 日
10 日
元件A个数
9
15
12
18
12
18
9
9
24
12
日期
11 日
12 日
13 日
14 日
15 日
16 日
17 日
18 日
19 日
20 日
元件A个数
12
24
15
15
15
12
15
15
15
24
从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数．
（Ⅰ）求X的分布列与数学期望；
（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；
（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？（只需写出结论）
【答案】（Ⅰ）分布列见解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.
【解析】
(Ⅰ)X的取值为：9，12，15，18，24；
,,,
,，
X的分布列为：
X
9
12
15
18
24
P






故X的数学期望；
(Ⅱ)当P(a≤X≤b)取到最大值时,
a,b的值可能为：,或,或.
经计算,,，
所以P(a≤X≤b)的最大值为.
(Ⅲ)至少增加2人.
3. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三4月质量检测】2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩(单位:分)统计结果用茎叶图记录如下:

(Ⅰ)试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于5000)，并在每组中随机选取个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出的最小值.(结论不要求证明)
【答案】(Ⅰ)万；(Ⅱ)分布列见解析， ；(Ⅲ)
【解析】
(Ⅰ)样本中女生英语成绩在分以上的有人，故人数为：万人.
(Ⅱ) 8名男生中，测试成绩在70分以上的有人，的可能取值为：.
，，.
故分布列为：








.
(Ⅲ) 英语测试成绩在70分以上的概率为 ，故，故.
故的最小值为.
4. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生、理化历、史地政其中，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政，现采用分层抽样的方法从中抽出6人，调查他们每天完成作业的时间.
（1）应从这三个组合中分别抽取多少人？
（2）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内.现从这6人中随机抽取3人进行座谈.
用X表示抽取的3人中每天完成作业所需时间在3小时以上的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
【答案】（1）3；2；1（2）分布列见解析；EX=2
【解析】
（1）由题知，选择史地政的人数为：人，故选择理化生、理化历、史地政的人数比为：，故从这三个组合中应抽取理化生的人数为：人；
抽取理化历的人数为：人；抽取理化历的人数为：人；
（2）由题可知X的取值有1，2，3，
；
；
；
故随机变量X的分布列为：
X
1
2
3
P





5. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人执行任务，且每个人只派一次．每人工作时间均不超过10分钟，如果10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人；如果10分钟内已完成任务则不再派人．现在一共只有甲乙丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为，，．假定各人能否完成任务相互独立．
（Ⅰ）计划依次派甲乙丙执行任务，
①求能完成任务的概率；
②求派出人员数X的分布列和数学期望E(X)．
（Ⅱ）欲使完成任务的概率尽可能大，且所取需派出人员数X的数学期望尽可能小，你认为应该按什么次序派出甲乙丙？（直接写出答案即可）
【答案】（Ⅰ）①；②分布列见解析，；（Ⅱ）依次派出丙甲乙．
【解析】
解：（Ⅰ）设“计划依次派出甲乙丙，能完成任务”为事件A．
因为甲乙丙各自能完成任务的概率分别为
各人能否完成任务相互独立．
所以
或
依题意，X的所有可能取值为1，2，3．

所以X的分布列为
X
1
2
3
P



故X的期望
（Ⅱ）依次派出丙甲乙．
6. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元，现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记表示2台机器三年内其需更换的易损零价数，表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）从这100台机器中随机抽取1台，求该台机器二年内更换的易损零件数为8的概率；
（2）求的分布列；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与之中选其一，应选用哪个？
【答案】(1)；(2)分布列见解析；(3)应选用.
【解析】
(1)从100台机器中随机抽取1台，更换的易损零件数为8的有30台，则其概率；
(2)每台机器更换的易损零件数为8，9，10，
记事件为第一台机器3年内换掉i+7(i=1,2,3)个零件，记事件为第二台机器3年内换掉i+7个零件(i=1,2,3)，
由题意知，，
2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为X，则X的可能取值为16，17，18，19，20，
，
，
，
，
，
X的分布列为：
X
16
17
18
19
20
P
0.09
0.24
0.34
0.24
0.09
(3)购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用：
当n=18时，费用的期望为(元)，
当n=19时，费用的期望为(元)，
因3845>3810，则应选用n=18.
7. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图

请根据图中所提供的信息，完成下列问题：
（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；
（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；
（3）记该市26个景点的交通平均得分为，安全平均得分为，写出和的大小关系？（只写出结果）
【答案】（1）（2）见解析，1．（3）．
【解析】
（1）由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个，
∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为．
（2）结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个，
ξ的可能取值为0，1，2．
P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P




∴E（ξ）＝0121．
（3）由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近，
安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而．
8. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】国家环境标准制定的空气质量指数（简称AQI）与空气质量等级对应关系如下表：
空气质量等
优
良
轻度污染
中度污染
中度污染
严重污染
AQI值范围





300及以上
下表是由天气网获得的全国东西部各6个城市在某一个月内测到的数据的平均值：
西部城市
AQI数值
东部城市
AQI数值
西安
108
北京
104
合肥
90
金门
42
克拉玛依
37
上海
82
鄂尔多斯
56
苏州
114
巴彦淖尔
61
天津
105
库尔勒
456
石家庄
93
合计：808
合计：540
（1）从表中东部城市中任取一个，空气质量为良的概率是多少？
（2）环保部门从空气质量“优”和“轻度污染”的两类城市随杋选取3个城市组织专家进行调研，记选到空气质量“轻度污染”的城市个数为，求的分布列和数学期望.
（3）设东部城市的AQI数值的方差为，如果将合肥纳入东部城市，则纳入后AQI数值的方差为，判断和的大小.（只需写出结论）
附：方差计算公式.
【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3）.
【解析】
（1）东部城市共个，空气质量为良有个，
东部城市中任取一个，空气质量为良的概率.
（2）空气质量“优”的城市有个，“轻度污染”的城市有个，
根据题意的所有可能取值为，
，，
，
的分布列为：








所以.
（3）如果将合肥纳入东部城市，可得
9. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟】某企业发明了一种新产品，其质量指标值为，其质量指标等级如下表：
质量指标值m





质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品
为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产.现从试生产的产品中随机抽取了1000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制如下频率分布直方图：

（1）若将频率作为概率，从该产品中随机抽取2件产品，求抽出的产品中至少有1件不是废品的概率；
（2）若从质量指标值的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求的件数X的分布列及数学期望；
（3）若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表：
质量指标值m





利润y(元)
4t
9t
4t
2t

试分析生产该产品能否盈利？若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大(参考数值：，).
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）当时，每件产品的利润取得最大值.
【解析】（1）设“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，
则由频率分布直方图可得，1件产品为废品的概率为，
则.
（2）由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
的频率为；
的频率为；
的频率为.
故利用分层抽样抽取的7件产品中，的有4件，
的有2件，的有1件.
从这7件产品中任取3件产品，质量指标值的件数X可为，
，，，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



所以.
（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y(元)的关系如下表所示：
质量指标值m





利润y
4t
9t
4t
2t

P
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3
故每件产品的利润.
则，令得，
故当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减.
所以当时，y取得最大值，为.
所以生产该产品能够盈利，当时，每件产品的利润取得最大值1.5元.
10. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三3月统一练习】某商超举办有奖促销活动，设计的抽奖活动如下：一个不透明的箱子中装有12个质地均匀且大小相同的小球，其中3个红球，9个白球，搅拌均匀后，顾客从中随机抽取一个球，有放回地抽取3次．方案①：若抽到红球则顾客获得80元的返金券，若抽到白球则获得20元的返金券；方案②：若抽到红球则顾客获得120元的返金券，若抽到白球则未中奖．
（Ⅰ）若顾客选择抽奖方案①，设其获得返金劵金额为X元，求X的分布列及期望；
（Ⅱ）顾客选择哪种方案更划算？（直接写出结果）
【答案】（Ⅰ）分布列见解析，105元；（Ⅱ）应选择方案①更划算.
【解析】（Ⅰ）依题意，取值可为，，，
．
每次摸到红球的概率为，摸到白球的概率为．
依题意，，，
，．
所以的分布列为

60
120
180
240





的期望(元) ．
（Ⅱ）选择方案①更划算．
若选择方案②，设三次摸球的过程中，摸到红球的次数为Y，最终获得返金券的
金额为Z元．
依题意，，所以．
该顾客获得返金劵金额的数学期望为(元)．
从而有，所以应选择方案①更划算．
11. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】某工厂每天生产1000箱某型号口罩，每箱300个，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa的为合格品，否则为不合格品，不可出厂销售.生产过程中随机抽取了20个口罩进行检测，其吸气阻力值（单位：pa）如下表所示：




















（1）从样本中随机抽取1个口罩，求其为不合格品的概率；
（2）从样本中随机抽取3个口罩，求其中含有不合格品的概率；
（3）已知每个口罩的检测费用为0.05元.按有关规定，该型号口罩出厂前，工厂要对每一个口罩进行吸气阻力检测，为督促工厂执行此规定，每天生产的口罩出厂后，质检部门将随机抽取100箱，每箱抽3个口罩进行检测，每检测出一个不合格品，罚款500元.这个处罚标准是否合理？说明理由.
【答案】（1）； （2）； （3）不合理，理由见解析.
【解析】
（1）由题意，该型号口罩吸气阻力不超过343.2pa的为合格品，否则为不合格品，
根据图表中的数据，可得合格品18个，不合格品有2个，
所以从样本中随机抽取1个口罩，其不合格品的概率为.
（2）由（1）知样本中合格品18个，不合格品有2个，
所以从中随机抽取3个，其中含有不合格品的概率为.
（3）由题意，总检测费用为元，
每箱检测出不合格品的概率为，
每箱检测出1个不合格品的概率为，
每箱检测出2个不合格品的概率为，
每箱检测出3个不合格品的概率为，
则每箱罚钱的期望为：，
所以100箱罚钱的期望值为：元，
所以罚钱的期望值与检测的费用相等，所以不合理，罚钱的金额应大于检测费用.
12. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期开学考试】某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况，随机抽取了一些客户进行回访，调查结果如下表：
汽车型号
Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ
Ⅳ
Ⅴ
回访客户(人数)
250
100
200
700
350
满意率
0.5
0.5
0.6
0.3
0.2
满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假设客户是否满意互相独立，且每种型号汽车客户对于此型号《晓观数学》公众号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.
（1）从所有的回访客户中随机抽取1人，求这个客户满意的概率；
（2）若以样本的频率估计概率，从Ⅰ型号和Ⅴ型号汽车的所有客户中各随机抽取1人，设其中满意的人数为，求的分布列和期望；
（3）用“”，“”，“”，“”，“”分别表示Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ型号汽车让客户满意，“”，“”，“”，“”，“”分别表示不满意.写出方差，，，，的大小关系.
【答案】（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）.
【解析】
（1）设“从所有的回访客户中随机抽1人，这个客户满意”为事件.
由题意知，样本中的回访客户的总数是，
满意的客户人数是，
故所求概率为.
（2）.
设“从Ⅰ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件，
“从Ⅴ型号汽车所有客户中随机抽取的人满意”为事件.
根据题意，估计为0.5，估计为0.2，与相互独立.
所以；

；
.
所以的分布列为

0
1
2

0.4
0.5
0.1
所以的期望.
（3）由题知：；
；；
；
故.