专题04 立体几何-备战2022年高考数学之学会解题全国名校精华分项版【北京名校】

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专题04 立体几何
一、单选题
1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1】给出下列命题：
① 若直线上有两个点到平面的距离相等，则直线平面；
② 长方体是直四棱柱；
③ 两相邻侧面所成角相等的棱锥是正棱锥.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①该直线与平面可能相交，位于平面两侧的两个点到平面的距离也是相等的，故错误；
②显然长方体的侧棱是垂直于底面的，故正确；
③两相邻侧面所成角相等的棱锥不一定是正棱锥，例如把如图所示的正方形折叠成三棱锥就不是正棱锥，故错误. 故选：B

2. 【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，根据给定的三视图可知，该几何体表示一个三棱锥，其中三棱锥的底面（俯视图）的面积为，高为，所以该三棱锥的体积为，故选B.
3. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）

A．8 B． C．4 D．
【答案】D
【解析】根据三视图知，该几何体是侧棱底面的四棱锥，如图所示：

结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为PA=2，
∴四棱锥的体积为. 故选：D.
4. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】单位正方体ABCD-，黑、白两蚂蚁从点A出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”．白蚂蚁爬地的路线是AA1→A1D1→‥，黑蚂蚁爬行的路线是AB→BB1→‥，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（iN*）.设白、黑蚂蚁都走完2020段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白两蚂蚁的距离是（ ）
A．1 B． C． D．0
【答案】B
【解析】由题意,白蚂蚁爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，
可以看作以6为周期，由，白蚂蚁爬完2020段后到回到C点；
同理,黑蚂蚁爬行路线为AB→BB1→B1C1→C1D1→D1D→DA，黑蚂蚁爬完2020段后回到D1点，

所以它们此时的距离为. 故选B.
5. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三4月质量检测】某四棱锥的三视图如图所示，记为此棱锥所有棱的长度的集合，则（ ）.

A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
【答案】D
【解析】根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：所以：，，.
故选：D.

6. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是

A．最长棱的棱长为 B．最长棱的棱长为
C．侧面四个三角形都是直角三角形 D．侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形
【答案】C
【解析】（如图所示）：

由图可知，，，面，面，，
所以，，中，，，，，
所以，所以是直角三角形，所以最长的棱长是，侧面都是直角三角形．
本题选择C选项.
7. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为

A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺,可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为，故选B.
8. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则

A．，且直线是相交直线
B．，且直线是相交直线
C．，且直线是异面直线
D．，且直线是异面直线
【答案】B
【解析】如图所示， 作于，连接，过作于．连，平面平面．
平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，．，故选B．

9. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥，
，又，分别为、中点，，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D．

解法二:
设，分别为中点，
，且，为边长为2的等边三角形，
又
中余弦定理，作于，，
为中点，，，
，，又，两两垂直，，，，故选D.
10. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，其体积为（ ）

A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】根据三视图知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱如图，等腰直角三角形斜边上的高为1，斜边长为2，棱柱的高为2，则棱柱的体积,
故选：C

11. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】设是三个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列三个结论：①若，则；②若，则；③若，，则．其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】对于命题①：若，由垂直于同一平面的两条直线平行，可得，即①正确；
对于命题②：若，由垂直于同一直线的两个平面平行，可得，即②正确；
对于命题③：若，，如墙角处的三个平面两两垂直，可判定相交，即不成立，③不正确，故给定的三个结论只有①和②两个正确. 故选：C
12. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么设三棱锥的棱长组成的集合为，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图，棱长为2的正方体中，点D为CQ中点，连接AB，AC，AD，BD，BC而成的三棱锥A-BCD满足条件，

，所以三棱锥的棱长组成的集合.
故选：C
13. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（　　）

A．4 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由三视图可得，该几何体是如图所示的四棱锥，底面是边长为2的正方形，侧面是边长为2的正三角形，且侧面底面．

根据图形可得四棱锥中的最长棱为和，结合所给数据可得，
所以该四棱锥的最长棱为．故选B．
14. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A1B1，C1D1，AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】（1）当0时，点P与点Q运动的速度相等根据下图得出：面OEF把几何体PEFQ分割为相等的几何体，∵S△OEF，P到面OEF的距离为x，VPEFQ＝2VP﹣OEF＝2x＝2•，

（2）当x时，P在AB上，Q在C1D1上，P到，S△OEF，
VPEFQ＝2VP﹣OEF＝2定值．
（3）当x≤2时，S△OEF，P到面OEF的距离为2﹣x，
VPEFQ＝2VP﹣OEF＝2（2﹣x）x，

V
故选：C．
15. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是（ ）

A．6 B．12 C．24 D．36
【答案】B
【解析】

原图如图所示，可得，故选：B.
16. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟】如图，是的直径，垂直于所在平面，是圆周上不同于两点的任意一点，且，，则二面角的大小为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵垂直于所在平面，,又是的直径，∴∠ACB=90°，
即平面，，∴∠PCA即为二面角的平面角．
在△ABC中，∠ACB=90°，又，，∴，∴在中，.故选：C.
17. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三3月统一练习】已知某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的轮廓都是直角梯形，俯视图为正方形，则该几何体的体积是（ ）

A． B． C．4 D．8
【答案】C
【解析】由三视图可知该几何体的直观图为如图所示的几何体，连接，，易知该几何体可看作是四棱锥和四棱锥的组合体，则该几何体的体积，
故选:C．

18. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】如图为正方体，动点从点出发，在正方体表面沿逆时针方向运动一周后，再回到的运动过程中，点与平面的距离保持不变，运动的路程与之间满足函数关系，则此函数图象大致是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】如图连接、、，在正方体中，
因为，，所以四边形为平行四边形，所以，面，面，所以面，同理可证面，又
，所以面面
所以点在的边上沿逆时针方向运动，
设正方体的棱长为，将平面与平面翻折到同一个平面,

当时，，
则，
所以在区间上的图象关于直线对称，又，，所以，
同理在区间上的图象关于直线对称，在区间上的图象关于直线对称，
符合C选项的图象特征.
故选：C.

19. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】某三棱锥的三视图如图所示.已如网格纸上小正方形的边长为1，该三棱锥的体积为（ ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】

如图，根据三视图可得直观图，
底面为等腰直角三角形，高，
所以，
故选：A
20. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期开学考试】北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫像多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.给出下列三个结论：

①正方体各顶点的曲率为；
②任意三棱锥的总曲率均为；
③将棱长为3的正方体正中心去掉一个棱长为1的正方体所形成的几何体的总曲率为.
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】D
【解析】①因为正方体的每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为，故正确；
②如图所示：，
A点的曲率为： ，
B点的曲率为：，
C点的曲率为：，
D点的曲率为：，
则三棱锥的总曲率均为，
，故正确；
③此几何体有16个顶点，每个顶点的曲率为，所以该几何体的总曲率为，故正确.
故选：D
二、解答题
1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1】在四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，与交于点，与交于点，且.

（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求的长度；
（Ⅲ）求直线与所成角的余弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）的长度等于.（Ⅲ）
【解析】
（Ⅰ）证明：由已知，四棱柱中，四边形与四边形是平行四边形，所以，分别是，的中点.
所以中，.
因为平面，所以平面.
（Ⅱ）因为平面，，
所以平面，所以，，
又正方形中，所以以为原点，，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.
设，所以，，，，
，.
因为，所以，
解得，所以的长度等于.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，
设直线与所成角为，
所以.
即直线与所成角的余弦值为.
2. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AEBD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD平面BCD，如图2所示。

（Ⅰ）求证：AE平面BCD；
（Ⅱ）求二面角A-DC-B的余弦值；
（Ⅲ）求三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比（只需写出结果，不要求过程）．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）1:5
【解析】
（Ⅰ）证明：∵平面ABD⊥平面BCD，交线为BD，
又在△ABD中，AE⊥BD于E，AE⊂平面ABD，
∴AE⊥平面BCD．
（Ⅱ）由（1）知AE⊥平面BCD，∴AE⊥EF，
由题意知EF⊥BD，又AE⊥BD，
如图，以E为坐标原点，分别以EF、ED、EA所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系E-xyz，

设AB=BD=DC=AD=2，
则BE=ED=1，∴AE=，BC=2，BF=，
则E（0，0，0），D（0，1，0），B（0，-1，0），A（0，0，），
F（，0，0），C（，2，0），
，，
由AE⊥平面BCD知平面BCD的一个法向量为，
设平面ADC的一个法向量，
则，取x=1，得，
∴，
∴二面角A-DC-B的平面角为锐角，故余弦值为．
（Ⅲ）三棱锥B-AEF与四棱锥A-FEDC的体积的比为：1:5.
3. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三4月质量检测】在四棱锥的底面中，，，平面，是的中点，且

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）线段上是否存在点，使得，若存在指出点的位置，若不存在请说明理由.
【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）存在，点为线段的中点.
【解析】
（Ⅰ）连结，，，则四边形为平行四边形.
平面.
（Ⅱ）平面，四边形为正方形.
所以，，两两垂直，建立如图所示坐标系，

则，，，，
设平面法向量为，则，
连结，可得，又所以，平面，
平面的法向量，
设二面角的平面角为，则.
（Ⅲ）线段上存在点使得，设，
，，，
所以点为线段的中点.
4. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】在四棱锥中，平面平面PCD，底面ABCD为梯形，，，M为PD的中点，过A，B，M的平面与PC交于N.，，，.

（1）求证：N为PC中点；
（2）求证：平面PCD；
（3）T为PB中点，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45°
【解析】
（1），平面，平面，平面，
由线面平行的性质可得，，
又，，
M为PD的中点，为PC的中点；
（2）过点作交与点，

又平面平面PCD，交线为，故平面，
又平面，，
又，，平面PCD；
（3）由（2）可知平面PCD，，故以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图：

求得，
为的中点，故，，，
可设平面的法向量为，平面的法向量为，故有，取得，则，故
，故二面角的大小为45°
5. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】如图，三棱柱中，平面，点E是棱的中点，已知．

（Ⅰ）求证：平面ABC；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）依题意，在中，，
所以，
所以．
又因为三棱锥中，四边形为平行四边形，
所以四边形为矩形，
所以．

因为平面，平面，
所以．
又因为平面ABC，，
所以平面ABC．
（Ⅱ）因为平面，平面，
所以．
如图建立空间直角坐标系B−xyz，
则，
，
设平面的法向量为，则
，
令，则， ，
于是，
设平面的法向量为，则
即
令，则，．
于是，
所以
由题知二面角为锐角，所以其余弦值为
6. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】如图，边长为2的正方形所在的平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．
（1）证明：平面平面；
（2）当三棱锥体积最大时，求面与面所成二面角的正弦值．

【答案】（1）见解析
（2）
【解析】
解：（1）由题设知,平面CMD⊥平面ABCD,交线为CD.因为BC⊥CD,BC平面ABCD,所以BC⊥平面CMD,故BC⊥DM.
因为M为上异于C，D的点,且DC为直径，所以 DM⊥CM.
又 BCCM=C,所以DM⊥平面BMC.
而DM平面AMD,故平面AMD⊥平面BMC.
（2）以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D−xyz.

当三棱锥M−ABC体积最大时，M为的中点.
由题设得，

设是平面MAB的法向量,则
即
可取.
是平面MCD的法向量,因此
，
，
所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.
7. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】如图，在四棱锥E﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面ABCD⊥平面ABE，∠AEB＝90°，BE＝BC，F为CE的中点，

（1）求证：AE∥平面BDF；
（2）求证：平面BDF⊥平面ACE；
（3）2AE＝EB，在线段AE上找一点P，使得二面角P﹣DB﹣F的余弦值为，求P的位置．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）P在E处．
【解析】
证明：（1）设AC∩BD＝G，连接FG，易知G是AC的中点，
∵F是EC中点．
∴在△ACE中，FG∥AE，
∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，
∴AE∥平面BFD．
（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，
平面ABCD∩平面ABE＝AB，
∴BC⊥平面ABE，又∵AE⊂平面ABE，
∴BC⊥AE，
又∵AE⊥BE，BC∩BE＝B，
∴AE⊥平面BCE，即AE⊥BF，
在△BCE中，BE＝CB，F为CE的中点，
∴BF⊥CE，AE∩CE＝E，
∴BF⊥平面ACE，
又BF⊂平面BDF，
∴平面BDF⊥平面ACE．
（3）如图建立坐标系，设AE＝1，
则B（2，0，0），D（0，1，2），C（2，0，2），F（1，0，1），
设P（0，a，0），，，
设平面BDF的法向量为，且，
则由⊥得﹣2x1+y1+2z1＝0，
由⊥得﹣x1+z1＝0，
令z1＝1得x1＝1，y1＝0，从而
设平面BDP的法向量为，且，则
由⊥得﹣2x2+y2+2z2＝0，
由⊥得2x2﹣ay2＝0，
令y2＝2得x2＝a，z2＝a﹣1，从而，
，
解得a＝0或a＝1（舍）
即P在E处．

8. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】如图，在多面体中，平面平面.四边形为正方形，四边形为梯形，且，，，.

（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）证明：四边形为正方形，
，
平面平面，且平面平面，
平面，则.
（2）取上的点，使得，
则且，
且，
则四边形为平行四边形，
则且，
由，，
可得，
过作于，则平面，连接，
则为直线与平面所成角，

在中，求得，

直线与平面所成角的正弦值为 .
9. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟】如图，在四面体ABCD中，E，F，M分别是线段AD，BD，AC的中点，，，.

（1）证明：平面BCD；
（2）证明：平面BCD；
（3）若直线EC与平面ABC所成的角等于，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）因为在中，E，M分别是线段AD，AC的中点，所以.
又因为平面BCD，平面BCD，所以平面BCD.
（2）在中，F是斜边BD的中点，所以.
因为E，F分别是线段AD，BD的中点，
所以，，且，
所以，所以.
又因为，，所以，
又，所以平面BCD.
（3）因为，所以.
又因为，，
所以平面ABC，所以平面ABC.
因此是直线EC与平面ABC所成的角.
故，所以.
由（2）可得，平面BCD，如图，在平面BCD内，过B作x轴，

则BA，BD，x轴两两垂直，建立空间直角坐标系.
则，，.
所以，，，
设平面ACE的法向量，
则即取，得.
设平面BCE的法向量，
则即取，得.
所以，
由图形得二面角为锐角，
因此二面角的余弦值为.
10. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三3月统一练习】如图，已知平面平面，，．

（Ⅰ）连AD，求证：；
（Ⅱ）求与平面所成角的大小；
（Ⅲ）求二面角的余弦值．
【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）45°；（Ⅲ）．
【解析】（Ⅰ）作于点，连接，
因为平面平面，所以平面．
又，，
所以与全等，所以．
又平面，所以，，两两垂直．
以，，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，．
则，，，．
所以，．
所以．所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
平面的一个法向量为．
设与平面所成角为，
则．
因为，所以与平面所成角．
（Ⅲ）设平面的一个法向量为，
由，可得

令，则．
所以．
由题知二面角为钝角，故其余弦值为．
11. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，且AE=AB．

（1）记平面ADE与平面PBC的交线为l，证明：直线l∥平面ABCD；
（2）求直线PC与面ADE所成角的正弦．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为四边形ABCD是正方形，
所以BC∥AD．
又因为ADC平面PBC，BC平面PBC，
所以AD∥平面PBC．
又因为AD平面ADE，平面ADE∩平面PBC=l，
所以AD∥l．
又因为AD平面4BCD，l平面ABCD，
所以l∥平面ABCD．
（2）因为四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，
AB，AD平面ABCD，
所以AB，AD，AP两两垂直，．
建立空间直角坐标系A-xyz，如图．

不妨设正方形ABCD的边长为1，设AP=a>0，
则A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，a)，
因为点E是线段PC的中点，所以E(，，)
所以，，．
因为AE=BC=1，所以，所以，
所以，．
设平面ADE的法向量为，则
即
令z=1，则x=-
于是
所以．
所以直线PC与平面ADE所成角的正弦为．
12. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，点E是棱PC的中点，且AE=AB．

（1）记平面ADE与平面PBC的交线为l，证明：直线l∥平面ABCD；
（2）求直线PC与面ADE所成角的正弦．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）因为四边形ABCD是正方形，
所以BC∥AD．
又因为ADC平面PBC，BC平面PBC，
所以AD∥平面PBC．
又因为AD平面ADE，平面ADE∩平面PBC=l，
所以AD∥l．
又因为AD平面4BCD，l平面ABCD，
所以l∥平面ABCD．
（2）因为四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，
AB，AD平面ABCD，
所以AB，AD，AP两两垂直，．
建立空间直角坐标系A-xyz，如图．

不妨设正方形ABCD的边长为1，设AP=a>0，
则A(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，P(0，0，a)，
因为点E是线段PC的中点，所以E(，，)
所以，，．
因为AE=BC=1，所以，所以，
所以，．
设平面ADE的法向量为，则
即
令z=1，则x=-
于是
所以．
所以直线PC与平面ADE所成角的正弦为．
13. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】如图，在三棱锥中，侧面底面，，，.

（I）求证：
（II）求直线与所成角的大小；
（III）若为棱的中点，求二面角的大小.
【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）.
【解析】
（1）因为侧面底面且，
又由平面平面，且平面，
所以平面，又由平面，所以.
（2）过点作，过点作，与交于点，可得，
以为原点，以分别为轴建立空间直角坐标系，
如图所示，
设，则，
可得，
所以，
所以与所成的角为.
（3）由（2）中的空间直角坐标系，可得，
设平面的法向量为，
则，令，可得，所以，
又由平面的一个法向量为，
所以，
由图象可得二面角为锐角，所以二面角为.

14. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期开学考试】如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点.已知，.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）直线上是否存在点，使得与垂直？若存在，求的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）存在，的长为.
【解析】（1）连接交于，连接.
因为底面是矩形，所以是线段的中点.
是线段的中点，.
又平面，平面，
平面.
（2）因为底面，底面，底面，
所以，.
因为底面是矩形，所以.
如图,以D为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，.
因为是线段的中点，故，，.
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，于是.
因为底面，所以为平面的法向量.
又，所以.
由题知二面角是锐角，所以其余弦值为.
（3）因为为直线上一点，，其中，.
又，且与垂直
，解得.
所以存在点，使得与垂直，
此时，，的长为.