专题07 圆锥曲线-备战2022年高考数学之学会解题全国名校精华分项版【北京名校】

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专题07 圆锥曲线
一、单选题
1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1】直线与圆的公共点的个数（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．不能确定
【答案】C
【解析】因为圆，圆心为
则圆心到直线的距离为
所以公共点有2个
故选：C
2. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于点、，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，三角形AOB的面积为，则p=．
A．1 B． C．2 D．3
【答案】C
【解析】抛物线的准线为，双曲线的离心率为2，则，
，渐近线方程为，求出交点，，
，则；选C
3. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三4月质量检测】已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】D
【解析】如图所示：过点作垂直准线于，交轴于，则，
设，，则，
当，即时等号成立.
故选：.

4. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】已知抛物线，点，O为坐标原点，若在抛物线C上存在一点，使得，则实数m的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，由得，即，显然，因此，所以，即．选B．
5. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点.若，，则C的方程为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，由椭圆的定义有．在中，由余弦定理推论得．在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，由椭圆的定义有．在和中，由余弦定理得，又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．

6. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】点P在曲线上，过P分别作直线及的垂线，垂足分别为G，H，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题可知是抛物线的准线，交点，
由抛物线的性质可知,，

如图，当在一条直线上时，取得最小值为，
利用点到直线距离公式可以求出，
所以的最小值为.
故选：B.
7. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】若圆P的半径为1，且圆心为坐标原点，过圆P上一点作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】由题意可知，点在圆上，圆的圆心，半径
过点作圆的切线，切点为，则
当最小时，最小
又由点在圆上，则的最小值为
则的最小值为；
故选：B．
8. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】已知点,.若椭圆上存在点,使得为等边三角形,则椭圆的离心率是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】过点C做x轴垂线，垂足为D，根据正三角形性质可知D为A，B的中点，C坐标为（1，），
C点的坐标代入椭圆方程得，解得m＝6，所以椭圆的离心率为：．
故选C．
9. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】定义曲线为椭圆的“倒椭圆”，已知椭圆，它的倒椭圆为，过上任意一点做直线垂直轴于点，作直线垂直轴于点，则直线与椭圆的公共点个数为（ ）
A．0 B．1
C．2 D．与点的位置关系
【答案】B
【解析】设点,则,,，
所以直线的方程为，进而与椭圆联立方程得：，
所以，
所以方程有且只有一个实数根，故直线与椭圆的公共点个数为个.
故选：B
10. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（ ）
A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2
【答案】D
【解析】∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，
显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．∴，即p＞2．故选：D．
11. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟】设抛物线的焦点为F，点P在C上，，若以线段PF为直径的圆过点，则C的方程为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【解析】由题意可知，准线方程为，设点．，，又线段为直径的圆过点，圆的半径为，圆心坐标为，，，即代入抛物线方程得，，解得或，所以抛物线方程为或
故选：．
12. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三3月统一练习】已知双曲线的左、右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，直线与轴相交于点，若为等边三角形，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】

如图：设，由轴垂直平分线段，可得，
因为为等边三角形，所以，
因为点为双曲线右支上一点，所以，
所以，
所以，
在中，由余弦定理可得：
，
所以，
所以双曲线的离心率为：，
故选：B.
13. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为直线与抛物线交于两点，且，
根据抛物线的对称性可以确定，所以，
代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，
故选：B.
14. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】已知θ∈(0，)，直线l：与圆C：的公共点的个数是（ ）
A．2个 B．1个 C．0个 D．以上都不对
【答案】D
【解析】圆C：的圆心坐标为 ，半径为2，
圆心到直线：的距离；

则，可得，
则直线与圆公共点的个数可能是2个，也可能是1个.
故选:D.
15. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】已知圆经过点和，且与直线只有一个公共点，则圆心的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】B
【解析】由圆经过点和，则圆心一定在轴上，设圆心为
由圆与直线只有一个公共点，即圆与直线相切.
由圆的半径为.
所以圆心到直线的距离 ，解得
故选：B
16. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】聚光式太阳灶（如图1）广泛应用于我国西部农村地区.其轴截面图（如图2）中，点为抛物线的焦点，此处放置烧水壶，按照一般制作工艺，抛物线的顶点与焦点关于其外沿所在的平面对称.已知、两点间的距离为0.5米，则该太阳灶的最大口径（外沿所在圆的直径）大约为（ ）

A．1.2米 B．1.4米 C．1.6米 D．1.8米
【答案】B
【解析】

建立坐标系，使得抛物线顶点在原点，焦点在轴上，
由、两点间的距离为0.5米，
设抛物线方程为，
则，所以，所以，
由中点横坐标为，即，
，所以，
所以弦长，
最大口径就是的长，
故选：B
17. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练5】已知抛物线的焦点与双曲线的一个焦点重合，则（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【解析】
抛物线的焦点是，
双曲线中，，由题意可知，解得：.
故选：C
18. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练5】圆上到直线的距离等于1的点有
A．1个 B．3个 C．2个 D．4个
【答案】B
【解析】
由圆的方程，得到圆心A坐标为（3，3），半径AE＝3，
则圆心（3，3）到直线3x+4y﹣11＝0的距离为d2，即AD＝2，
∴ED＝1，即圆周上E到已知直线的距离为1，同时存在P和Q也满足题意，
∴圆上的点到直线3x+4y﹣11＝0的距离为1的点有3个．
故选B．

19. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期开学考试】已知双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.则的离心率为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
【答案】B
【解析】当时，点坐标为，带入可得：，
因为，则有，即，两边同除可得：，解得：.
故选：.
20. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期开学考试】若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】表示点的轨迹是以为圆心，以2为半径的圆，
表示点到点的距离，
表示点到直线的距离，
如图所示：

的最小值为线段的长3.
故选：C.
二、填空题
1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
因为sin α∈[－1，1]，
所以－sin α∈[－1，1]，
所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．
答案：
2. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】双曲线的离心率是____________；渐近线方程是____________．
【答案】
【解析】 ，所以离心率e=，渐近线方程为,
3. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是 ______.
【答案】
【解析】设圆心坐标为（a,2a+1）,圆与两坐标轴相切，所以a=-(2a+1),，所以圆心为，半径，所以圆的标准方程为,
4. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．
【答案】2.
【解析】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，
又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．
5. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】双曲线的焦距是__________．
【答案】10
【解析】根据双曲线的标准方程得，
所以，即，
所以双曲线的焦距为.
故答案为：
6. 【北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中】圆与直线相切于点，则圆的半径为_________，直线的方程为_________.
【答案】
【解析】
（1）由条件可知点在圆上，即，解得：，
圆的方程，
所以圆的半径；
（2）设圆的圆心，，
由条件可知直线与直线垂直，所以直线的斜率，
所以直线的方程，即.
故答案为：；
7. 【北京市第四中学2021届高三12月】若直线与直线相互平行，则实数a等于______；这两条平行直线间的距离为______.
【答案】
【解析】
根据题意，若直线与直线相互平行，
则有，解可得，
则直线的方程为和，即，
故这两条平行直线间的距离.
故答案为：，．
8. 【北京市第四中学2021届高三12月】已知双曲线，则渐近线方程为______；离心率e为______.
【答案】
【解析】
由已知得双曲线的焦点在轴上，，
故其渐近线方程为，即，
离心率.
故答案为：①，②
9. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】直线xsinα＋y＋2＝0的倾斜角的取值范围是________________．
【答案】
【解析】
因为sin α∈[－1，1]，
所以－sin α∈[－1，1]，
所以已知直线的斜率范围为[－1，1]，由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是．
答案：
10. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆有相等焦距，则C的方程为_____
【答案】x21
【解析】由椭圆的方程可得焦距为4，再由双曲线的渐近线方程可得：tan60°，由题意可得a2+b2＝4，解得：a2＝1，b2＝3，所以双曲线的方程为：x21；故答案为：x21．
11. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】抛物线的焦点到准线的距离是___________.
【答案】
【解析】由变形得，故抛物线焦点在的正半轴，，，故抛物线的焦点到准线的距离是 故答案为：
12. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】在平面直角坐标系中，以双曲线，的右焦点为圆心，以实半轴为半径的圆与其渐近线相交，则双曲线的离心率的取值范围是___________.
【答案】
【解析】根据题意有圆与双曲线的渐近线相交，
则有圆心到直线的距离，
所以，
因为，所以，
所以，
故答案为：.
13. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟】已知F是双曲线的右焦点，P是双曲C上的点，，
(1)若点P在双曲线右支上，则的最小值为__________；
(2)若点P在双曲线左支上，则的最小值为__________.
【答案】9 11
【解析】(1)根据题意得，双曲线右焦点，根据三角形的两边之和大于第三边，
可知当，，三点共线时，最小，即；
(2) 根据题意得，双曲线左焦点，根据双曲线的定义可知，
，故，
根据三角形的两边之和大于第三边，可知当，，三点共线时，最小，
故.
故答案为：；11.
14. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】若直线l：与双曲线C：有两个公共点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】联立方程组 ，整理得，
因为直线l：与双曲线C：有两个公共点，
所以，解得，且，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
15. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】已知双曲线的右焦点为，两条渐近线分别为和，若点关于的对称点恰好在上，则双曲线的离心率为________.
【答案】2
【解析】
由题意可知：，，设关于直线的对称点为，则，消去，得
，
即，.
故答案为：2
16. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练5】已知椭圆的焦距等于其过焦点且与长轴垂直的弦长，则该椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】如下图所示，设椭圆的左、右焦点分别为、，
设过椭圆右焦点且垂直于长轴的弦为，则，，
由勾股定理可得，

由椭圆的定义可得，即，
所以，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
17. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练5】椭圆：的左、右焦点分别为，，点在椭圆上且同时满足：
①是等腰三角形；
②是钝角三角形；
③线段为的腰；
④椭圆上恰好有4个不同的点．
则椭圆的离心率的取值范围是______．
【答案】
【解析】如图，根据椭圆的对称性知，点及关于x轴，y轴，原点对称的其它3点，即为椭圆满足条件的4个不同的点．
根据题意可知是以，为两腰的等腰三角形，故，即点在以为圆心，为半径的圆上，
由题知以为圆心，2c为半径的圆与椭圆有两个交点，即可存在两个满足条件的等腰，
此时必有，即，即，所以离心率；
又为钝角，则，利用余弦定理知，即，
整理得，两边同除以得，，解得：
综上，可知椭圆的离心率的取值范围是
故答案为：

18. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期开学考试】已知点，点在直线上，若过点，且与直线相切的圆有且仅有1个，则点的坐标为___________.
【答案】或.
【解析】由题可得圆心到的距离等于它到直线的距离，
则根据抛物线定义可得圆心在以为焦点的抛物线上，抛物线方程为，
又都在圆上，则圆心还在的垂直平分线上，
若斜率不存在，则，此时的垂直平分线为，与抛物线只有一个交点，满足题意；
若斜率为0，则，此时的垂直平分线为，与抛物线有两个交点，不符合题意；
若斜率存在且不为0时，设，中点为，
则，的垂直平分线斜率为，
则的垂直平分线方程为，
与抛物线方程联立可得，
由题可得，整理可得，
解得，此时，
综上，点的坐标为或.
故答案为：或.
三、解答题
1. 【2020届北京市第四中学高三第二学期数学统练1】设O为坐标原点，动点M在椭圆C上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足.
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点在直线上，且.证明：过点P且垂直于OQ的直线过C的左焦点F.
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）设P（x，y），M（）,则N（），
由得.
因为M（）在C上，所以.
因此点P的轨迹为.
由题意知F（-1,0），设Q（-3，t），P（m，n），则
，
.
由得-3m-+tn-=1，又由（1）知，故3+3m-tn=0.
所以，即.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
2. 【2020届北京市第四中学高三第二学期统练】已知点到抛物线C：y2=2px准线的距离为2．
（Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；
（Ⅱ）设点P关于原点O的对称点为点Q，过点Q作不经过点O的直线与C交于两点A，B，直线PA，PB，分别交x轴于M，N两点，求的值．
【答案】(Ⅰ)C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；（Ⅱ）2
【解析】

(Ⅰ)由已知得，所以p=2.
所以抛物线C的方程为,焦点F的坐标为(1,0)；
(II)设点A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(−1,−2)，
由题意直线AB斜率存在且不为0.
设直线AB的方程为y=k(x+1)−2(k≠0).
由得，
则,.
因为点A,B在抛物线C上,所以
,.
因为PF⊥x轴，
所以
，
所以|MF|⋅|NF|的值为2.
3. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三4月质量检测】设椭圆，直线经过点，直线经过点，直线直线，且直线分别与椭圆相交于两点和两点.
(Ⅰ)若分别为椭圆的左、右焦点，且直线轴，求四边形的面积;
(Ⅱ)若直线的斜率存在且不为0，四边形为平行四边形，求证:;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下，判断四边形能否为矩形，说明理由.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ)不能，证明见解析
【解析】
(Ⅰ)，，故，，，.
故四边形的面积为.
(Ⅱ)设为，则，故，
设，，故，
，
同理可得，
，故，
即，，故.
(Ⅲ)设中点为，则，，
相减得到，即，
同理可得：的中点，满足，
故，故四边形不能为矩形.
4. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三开学复习质量检测】已知椭圆C：（）的左、右顶点分别为A，B，左焦点为F，O为原点，点P为椭圆C上不同于A、B的任一点，若直线PA与PB的斜率之积为，且椭圆C经过点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P点不在坐标轴上，直线PA，PB交y轴于M，N两点，若直线OT与过点M，N的圆G相切.切点为T，问切线长是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.
【答案】（1）；（2）是定值，定值为3
【解析】
（1）设，由题意得，，，
而得：①，
又过②，所以由①②得：，；
所以椭圆的方程：；
（2）由（1）得：，设，，则直线的方程，令，则，所以的坐标，
直线的方程：，令，，所以坐标，


（圆的切割线定理），再联立，

5. 【2020届北京市中国人民大学附属中学高三下学期数学统练二】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【答案】(1) .
(2)证明见解析.
【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.
又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.
因此，解得.
故C的方程为.
（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，
如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为（t，），（t，）.
则，得，不符合题设.
从而可设l：（）.将代入得

由题设可知.
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.
而

.
由题设，故.
即.
解得.
当且仅当时，，欲使l：，即，
所以l过定点（2，）
6. 【2021届北京市人民大学附属中学高三（上）8月练习】已知椭圆的左右顶点分别为，上顶点为，离心率为，点为椭圆上异于的两点，直线相交于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若点在直线上，求证：直线过定点．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】（Ⅰ）依题意，
解得
所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）设，则
①当直线垂直于轴时，
由对称性，直线交于轴，不合题意，舍去．
②当直线不垂直于轴时，设其方程为．
联立得．
依题意，
所以．
因为，
所以直线方程为，
直线方程为
依题意，设，因为为直线的交点，
所以
所以
所以．
所以．
所以．
所以
因为，所以．
所以，，直线MN方程为．
所以直线过定点.
7. 【北京市第四中学2020-2021学年高三上学期期中】已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（﹣2，0）的直线l与圆x2+y2＝1交于P，Q两点．
（Ⅰ）若，求直线l的方程；
（Ⅱ）若△OMP与△OPQ的面积相等，求直线l的斜率．
【答案】（Ⅰ）xy+2＝0，或xy+2＝0．（Ⅱ）．
【解析】
（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，因为直线l过点M（﹣2，0），可设直线l：y＝k（x+2）．
因为P、Q两点在圆x2+y2＝1上，所以，，
因为，所以，，
所以，∠POQ＝120°，所以，O到直线l的距离等于． 所以，，得，
所以直线l的方程为x﹣15y+20，或 x+15y+20，
即 xy+2＝0，或xy+2＝0．
（Ⅱ）因为△OMP与△OPQ的面积相等，所以，，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以，，．
所以，，即（*）； 因为P，Q两点在圆上，
所以，把（*）代入，得，所以，，
所以，直线l的斜率，即 ．
8. 【北京市第四中学2021届高三12月】已知椭圆，直线过点与椭圆交于两点，为坐标原点.
（1）设为的中点，当直线的斜率为时，求线段的长；
（2）当△面积等于时，求直线的斜率.
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）因为直线l过，斜率为，所以：.
联立，得到.
由韦达定理，有，
设，则，，
所以，.
（2）由题意，可知直线斜率存在，设斜率为，则为：，
联立，得到，
由韦达定理，有，
O到直线l的距离为，
.
则.
所以，化简得，解得，
所以直线：或.
9. 【北京市第四中学2021届高三12月】已知抛物线C：y2＝2px过点P(1,1)．过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点．
(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
(2)求证：A为线段BM的中点．
【答案】（1）抛物线C的焦点坐标为 ，准线方程为x＝－；（2）见解析.
【解析】（Ⅰ）由抛物线C：过点P（1，1），得.
所以抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为（，0），准线方程为.
（Ⅱ）由题意，设直线l的方程为（），l与抛物线C的交点为，.
由，得.
则，.
因为点P的坐标为（1，1），所以直线OP的方程为，点A的坐标为.
直线ON的方程为，点B的坐标为.
因为




，
所以.
故A为线段BM的中点.
10. 【北京市一零一中学2021届高三下学期统考四】椭圆（）的离心率是，点在短轴上，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于两点，是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
（1）由已知，点C，D的坐标分别为（0，－b），（0，b）
又点P的坐标为（0，1），且＝－1
于是，解得a＝2，b＝
所以椭圆E方程为.
（2）当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1
A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2）
联立，得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0
其判别式△＝（4k）2＋8（2k2＋1）＞0
所以
从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋（y1－1）（y2－1）]
＝（1＋λ）（1＋k2）x1x2＋k（x1＋x2）＋1
＝
＝－
所以，当λ＝1时，－＝－3，
此时，＝－3为定值.
当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD
此时＝－2－1＝－3
故存在常数λ＝1，使得为定值－3.
11. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三3月月考】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）设为椭圆右顶点，过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于，两点（异于），直线，分别交直线于，两点. 求证：，两点的纵坐标之积为定值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.
【解析】（Ⅰ）因为以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切，
所以半径等于原点到直线的距离，，即.
由离心率，可知，且，得.
故椭圆的方程为.
（Ⅱ）由椭圆的方程可知.
若直线的斜率不存在，则直线方程为，
所以.
则直线的方程为，直线的方程为.
令，得，.
所以两点的纵坐标之积为.
若直线的斜率存在，设直线的方程为,
由得，
依题意恒成立.
设，
则.
设，
由题意三点共线可知，
所以点的纵坐标为.同理得点的纵坐标为.
所以

综上，两点的纵坐标之积为定值.
12. 【北京市中国人民大学附属中学2020届高三6月统一练习（三模）】椭圆的离心率是，过点作斜率为的直线，椭圆与直线交于，两点，当直线垂直于轴时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）当变化时，在轴上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，若存在，求出的取值范围，若不存在说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】（1）因为椭圆的离心率为，所以，整理得，
故椭圆的方程为，
由已知得椭圆过点，所以，解得，
所以椭圆的方程为；
（2）由题意得直线的方程为，
设，，的中点，
由，消去整理得，，
则，，
所以，∴，
所以点的坐标为，
假设在轴上存在点，使得是以为底的等腰三角形，
则点为线段的垂直平分线与轴的交点.
①当时，则过点且与垂直的直线方程，
令，则，
若，则，当且仅当时，等号成立，
所以，所以；
若，则，当且仅当时，等号成立，
所以，，所以；
②当时，则有.
所以存在点满足条件，且的取值范围是.
13. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三1月期末模拟】已知椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆C的方程.
（2）已知O为坐标原点，A，B为椭圆C上两点，若，且，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）∵椭圆C过，∴，
又，，解得，
∴C的方程为：；
（2）依题意，直线AB斜率存在，设直线方程为，
联立，得，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，

，
∵，∴，则，直线OA为：.
联立，得，
∴，，
代入，，∴.
∴，
∴，
又∵.
∴，得，
∴，∴.
此时，∴成立.
由，
∴的面积.
14. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三3月统一练习】如图，设椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，，，的面积为.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在轴上的圆，使圆在轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）；（2）存在满足条件的圆，其方程为.
【解析】（1）设，其中，
由得
从而故.
从而，由得，因此.
所以，故
因此，所求椭圆的标准方程为：

（2）如图，设圆心在轴上的圆与椭圆相交，是两个交点，，,是圆的切线，且由圆和椭圆的对称性，易知
，
由（1）知，所以，再由得，由椭圆方程得，即，解得或.
当时，重合，此时题设要求的圆不存在.
当时，过分别与,垂直的直线的交点即为圆心，设
由得而故
圆的半径
综上，存在满足条件的圆，其方程为：
15. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三12月统一练习】已知椭圆C： 的离心率为，且经过点,直线l与椭圆C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为原点，若，求证：直线l经过定点．
【答案】（1）；（2）证明见解析．
【解析】
（1）依题意，椭圆C： 的离心率为，且经过点，
可得，解得，
所以椭圆C的方程为.
（2）设，则，
因为，所以直线PM方程为，
联立方程组，整理得，
即，
即，
所以，，
同理，，
猜想：直线AB过定点，其中待定．
证明：因为，，
由
，
所以当时，恒成立．
所以直线AB即直线l过定点．
16. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三考前热身】已知椭圆经过如下四个点中的三个点：，，，.
（I）求椭圆的方程；
（II）过原点的直线与椭图交于，两点（，不是精圆的顶点）.点在椭圆上，且，直线与轴交于点.过点作轴的垂线，垂足为点，直线与直线相交于点，求证：为等腰三角形.
【答案】（1） （2）证明见解析.
【解析】
（I）由，所以与和不可能同时再椭圆上.
又，两点关于轴对称，所以椭圆过点，
由椭圆过，则
椭圆过，，则，解得
所以椭圆的方程为：
（II）设，则
设直线的方程为，则，且
由，可得
所以，
所以直线的斜率为
则直线的方程为：，令，可得，即点
所以，则直线的方程为：
又点，所以
所以直线的方程为:
由可得，则，即
设线段的中点为，则
所以轴，又轴，即,且为中点.
所以在中，，即为等腰三角形.

17. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三上学期统练5】已知椭圆经过两点，.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点的直线交椭圆于，两点，且直线与以线段为直径的圆交于另一点（异于点），求的最大值.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）最大值为
【解析】
（Ⅰ）椭圆过点，
，解得：
椭圆的标准方程为
（Ⅱ）由题易知直线的斜率不为，可设：
由得：，则
设，，则，
又，以为直径的圆的圆心坐标为，半径为
故圆心到直线的距离为


，即
（当且仅当，即时取等号）
当时，直线与椭圆有交点，满足题意，且
的最大值为
18. 【北京市中国人民大学附属中学2021届高三下学期开学考试】已知椭圆：的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的右焦点作直线，与椭圆交于，两点，与轴交于点.若，，求证：为定值.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
（1）因为椭圆的焦距，所以.
又因为椭圆过点，所以.
又因为，所以，.
所以椭圆的标准方程为：.
（2）设点，，，.
由题意可知，直线的斜率存在，可设直线的方程为.
联立，得.
由于点在椭圆的内部，直线与椭圆必有两个交点，必有.
由韦达定理可得，.
因为，，
得，.
依题意，，，
所以，.
所以.
所以为定值.