专题06 函数与导数-【大题小卷】冲刺2022年高考数学大题限时集训（全国通用）

专题06 函数与导数

导数的应用不管文科还是理科一般作为高考的压轴题出现，出现在21题，难度比较大。一般主要考查题型为证明不等式，恒成立问题，能成立问题，隐零点问题，双变量问题，求取值范围问题以及极值点偏移问题等，属于理解层次，对函数以及导数性质要求比较高。

类型一：利用导数解不等式

例题1．1．已知，．

(1)若函数在处的切线的斜率为，求出的单调区间；

(2)已知，，求证：当时，．

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)证明见解析.

【解析】

(1)函数的定义域为，，

，∴，

可得，，可得函数的单调递增区间为，

，∴，函数的单调递减区间为，

可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

(2)由（1）可得，当时，，

所以，所以要证当时，，

即证，只需证，

设，∴，

设，∴，

∴在区间上是增函数，

∴，即，∴在上是增函数．

∵，∴只需证，

设，∴，

∴在上是增函数，∴，∴，

∴．

类型二：恒成立问题

例题 2 已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)若对，恒成立，求的取值范围．

【答案】(1)极小值，无极大值(2)

【解析】(1)当时，，．

当时，；当时，．

所以有极小值，无极大值．

(2)由题得，．

①当时，，，故，在上单调递增．

所以，解得（舍去）．

②当时，，，

令，则

所以在上单调递增，

故在上有唯一零点，且．

当，，单调递减；

当，，单调递增．

所以，

即，解得．

又因为在上单调递增，所以．

综上，的取值范围为．

类型三：能成立问题（存在使成立）

例题 3 已知函数.

(1)当时，证明函数在区间上只有一个零点；

(2)若存在，使不等式成立，求的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

(2)或

【解析】

(1)证明：当时，，

令，

∴在上为增函数，

∵，

∴，使，

∴当时，；当时，，

因此，在上为减函数，在 上为增函数，

当时，，当时，，

故函数在上只有一个零点．

(2)：当时，，由（1）可知，，即，

∴当时，，在上为减函数，当时，，在 上为增函数，∴，

由，知，

设，则，

∴在上为减函数，又，

∴当时，，当时，，

∴存在，使不等式成立，此时；

当时，由（1）知，在上为减函数，在上为增函数，

所以，所以不存在，使不等式 成立，

当时，取，即，所以，

所以存在，使不等式 成立，综上所述，的取值范围是或．

类型四：函数零点问题

例题 4已知函数．求证：

(1)；

(2)当时，有且仅有2个零点．

【答案】(1)证明见解析；

(2)证明见解析.

【解析】(1)函数定义域为，求导得：，

令，，令，，则，

当时，，当且仅当时取“=”，在上单调递增，

则当时，，即，，

所以.

(2)记，则，当时，，在上单调递减，，，则，使得，

则当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，，，，即，使得，

当时，令，，则在上单调递增，

而，，则，使得，当时，，当时，，

则有在上递减，在上递增，，，

则，使得，当时，，当时，，即在上递减，在上递增，而，，于是，使得，

所以，当时，有且仅有2个零点.

类型五： 双变量问题

例题 5．已知函数，．

(1)求的最小值；

(2)证明：，，不等式恒成立．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【解析】(1)由题可知．

令，则．

令，得，当时，，单调递增，即单调递增

当时，，单调递减，即单调递减．

则，

又，，所以存在，使得，

当时，，单调递增当时，，单调递减，

又，，故．

(2)由（1）知，对任意的恒成立，

即对任意的恒成立．

要证，只需证．

令，，则，

即在区间上单调递增，则．

令，.则．

令，.则在上恒成立，

则在上单调递减，即在上单调递减．

又，，所以，使得．

所以当时，，在上单调递增；

当时，，在上单调递减．

又因为，所以，

即在上恒成立，即，

则恒成立

故，，不等式恒成立．

【点睛】

函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

类型六： 极值点偏移问题

例6   已知函数（为自然对数的底数，）．

(1)求的单调区间和极值；

(2)若存在，满足，求证：．

【答案】(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

(1)解：.当时，，所以在上单调增，无极值；当时，令，得，

当时，；当时，；所以在上单调递减，在单调递增．所以函数的极小值为，无极大值.

(2)解：由题（1）可知，当时才存在，满足，

不妨设，设，则

，因为，所以，所以，

所以在上单调递减，所以，所以，即

故，因为，又在上单调递增，

所以，所以，下面证明：；因为，所以，所以，所以，得证.

例7．已知函数.

(1)若f（1）=2，求a的值；

(2)若存在两个不相等的正实数，满足，证明：

①；

②.

【答案】(1)2；(2)证明过程见解析.

【解析】(1)由，化简得：，两边平方，解得：.

(2)不妨令，

①当时，在上单调递增，故不能使得存在两个不相等的正实数，满足，舍去；

当时，为定值，不合题意；

当时，，由对勾函数知识可知：当时，在上单调递增，在上单调递增，两个分段函数在处函数值相同，故函数在上单调递增，不能使得存在两个不相等的正实数，满足，舍去；

当时，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，且，即分段函数在处函数值相等，要想存在两个不相等的正实数，满足，则有三种类型，第一种：，显然，令，则，当时，，即在单调递增，所以，即，由于，所以，又因为，所以，因为，而在上单调递减，所以，即，综上：；第二种情况：，显然满足，

接下来证明，令，则，当时，，即在单调递增，所以，又，所以，又，所以，因为，，在上单调递增，所以，即，综上：；第三种情况：，由第一种情况可知满足，由第二种情况可知：，则，

综上：，证毕.

②由①可知：当时，由得：，整理得：，即；

当时，，整理得：，整理得：，因为，所以，综上：，证毕.

类型七：导数隐零点问题

例题8   已知函数，其中.

(1)若时，恒成立，求实数的取值范围；

(2)若函数的最小值为，试证明：函数有且仅有一个零点.

【答案】(1)(2)证明见解析

(1)由题意得，

因为当 时，

所以原不等式等价于，

当与相切时，设切点，则，

所以切线的斜率，又，，联立解得，

所以切线斜率，同理当与相切时，

可求得切线斜率，因为，所以

(2)，

则，，所以在上为增函数，

又，所以在上存在唯一零点，且，

此时，即，当时，，则为减函数，

当时，，则为增函数，所以的最小值为，

令，整理得，

令，则，在上为增函数，

因为，所以，

所以在上存在唯一零点，且，

当时，，为减函数，

当时，，为增函数，

所以，因为，所以，即，

又，所以，又函数在上为增函数，

所以，所以

=

因为，

所以，则在上恒成立，

所以有且仅有一个根，

所以函数有且仅有一个零点.

解题技巧：

1.函数零点的求解与判断方法：

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．

(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

2.解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有:

（1）方程法：直接解方程得到函数的零点；

（2）图象法：直接画出函数的图象分析得解；

（3）方程与图象法：令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解.

3.利用导数解决函数零点问题的方法：

（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；

（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；

（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.

2  极值点偏移的相关概念

所谓极值点偏移，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性。若函数在处取得极值，且函数与直线交于两点，则的中点为，而往往。如下图所示。

图1 极值点不偏移           图2  极值点偏移

极值点偏移的定义：对于函数在区间内只有一个极值点，方程的解分别为，且，（1）若，则称函数在区间上极值点偏移；（2）若，则函数在区间上极值点左偏，简称极值点左偏；（3）若，则函数在区间上极值点右偏，简称极值点右偏。

2、对称变换

主要用来解决与两个极值点之和、积相关的不等式的证明问题．其解题要点如下：(1)定函数(极值点为)，即利用导函数符号的变化判断函数单调性，进而确定函数的极值点x0.

(2)构造函数，即根据极值点构造对称函数，若证 ，则令.

(3)判断单调性，即利用导数讨论的单调性．

(4)比较大小，即判断函数在某段区间上的正负，并得出与的大小关系．

(5)转化，即利用函数的单调性，将与的大小关系转化为与之间的关系，进而得到所证或所求．

[提醒]若要证明的符号问题，还需进一步讨论与x0的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处导数值的正负．

3  利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如a≥f(x)(或a≤f(x))的形式，通过求函数y＝f(x)的最值求得参数范围．恒成立问题的求解方法：a≥f(x)在x∈D上恒成立，则a≥f(x)max(x∈D)；a≤f(x)在x∈D上恒成立，则a≤f(x)min．

含全称、存在量词不等式恒成立问题的方法

（1）存在x1∈A，任意x2∈B使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)max≥g(x)max．

（2）任意x1∈A，存在x2∈B，使f(x1)≥g(x2)成立，则f(x)min≥g(x)min．

（3）任意x1∈A，x2∈B，使f(x1)≥g(x2)，则f(x)min≥g(x)max．

（4）存在x1∈A，x2∈B，使f(x1)≤g(x2)，则f(x)min≤g(x)max．

知识点二：洛必达法则

若函数f(x)和g(x)的导函数分别为f′(x)和g′(x)，当g(x)≠0，且g′(x)≠0时，则

(1)若f(x)＝0及g(x)＝0，则 ＝；

(2)若f(x)＝∞及g(x)＝∞，则 ＝；

(3)若f(x)＝0及g(x)＝0，则＝.

1．（2022·全国·模拟预测）已知函数，.

(1)讨论函数的单调性；

(2)若函数在上恰有两个零点，求实数a的取值范围.

2．（2022·全国·模拟预测）已知函数，其中.

(1)讨论的单调性；

(2)若在区间内恒成立，求实数a的取值范围.

3．（2022·全国·高三专题练习）已知函数

(1)令，若时，恒成立，求实数的取值范围；

(2)当时．证明：

4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，其中

(1)若，其函数在,的值域；

(2)若对任意的，恒成立，求正实数的取值范围．

5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求a的取值范围；

（3）满足（2）的条件下，记两个零点分别为，证明：

6．（2022·四川·模拟预测（理））已知函数，曲线在点处的切线为l.    (1)求l的方程；

(2)是否存在实数a，使得l与函数的图象有2个不同公共点？若存在，求a的值或取值范围；若不存在，请说明理由.

7．（2022·全国·模拟预测）已知函数有两个极值点，.

(1)求实数的范围；

(2)求证：.

8．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)若对，，不等式恒成立，求实数m的取值范围．

9．（2022·四川泸州·模拟预测）已知函数（其中为自然对数的底数）.

(1)讨论函数的导函数的单调性；

(2)设，当时，证明为的极小值点.

一、解答题

1．（2021·全国乙·文）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

2．（2021··全国乙 理）设函数，已知是函数的极值点．

（1）求a；

（2）设函数．证明:．

3．（2021·全国甲· 理）已知且，函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．

4．（2021·全国Ι·）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

5．（2021·全国Ⅱ·）已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）从下面两个条件中选一个，证明：只有一个零点

①；

②．

6．（2020·全国·（文Ι）已知函数.

（1）当时，讨论的单调性；

（2）若有两个零点，求的取值范围.

7．（2020·全国·Ι理）已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

8．（2020·全国文·Ⅱ文）已知函数f（x）=2lnx+1．

（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围；

（2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性．

9．（2020·全国Ⅱ·理）已知函数f(x)=sin2xsin2x.

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

（2）证明：；

（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.

10．（2020·全国·（理）Ⅲ）设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．