专题05 解析几何-【大题小卷】冲刺2022年高考数学大题限时集训（全国通用）

专题05 解析几何

解析几何作为高考数学必考大题，一般包含圆，椭圆。双曲线，抛物线相关的综合问题。一般解答题椭圆与抛物线作为重点，双曲线一般考查小题，但是2021年高考新课标中解答题出现了双曲线。一般出现在20或21题左右，考查内容主要包含直线过定点，求值或者是相应的范围问题，以及定值问题等，对于直线过定点问题可采用齐次化解。对于求值以及范围问题一般做法均是万能方法韦达定理去转化。

类型一：斜率之和或之积，直线过定点问题

方法一：韦达定理

方法二：齐次化解决（简单方便）

例题1．为椭圆上两个动点，且，过原点作直线的垂线，求的轨迹方程.

解法一（常规方法）：设，,设直线方程为，联立化简可得:

，所以

因为所以

又因为直线方程等价于为，即对比于，则代入中，化简可得：.

解法二（齐次式）：

设直线方程为，联立

化简可得:

整理成关于的齐次式：，进而两边同时除以，则

因为所以，

又因为直线方程等价于为，即对比于，则代入中，化简可得：.

齐次化方法技巧:例如要证明直线AP与AQ斜率之和或者斜率之积为定值，将公共点A平移到原点，设平移后的直线为mx+ny=1(为什么这样设？因为这样齐次化更加方便)，与圆锥方程联立，一次项乘以mx+ny，常数项乘以（mx+ny）²，构造ay²+bxy+cx²，然后等式两边同时除以x²（前面注明x不等于0），得到 ，化简为ak²+bk+c=0，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在反平移回去。

  总结方法：1、平移，

2、联立并齐次化，

3、同除x²，

4、韦达定理，证明完毕，如果过定点，还需要还原。

  优点是：大大减小了计算量，提高准确率！如果你掌握这个方法，你会知道以前的方法有多么的low！

  缺点：mx+ny=1不能表示过原点的直线！

类型二：解析几何中中点弦问题

例题 2 ．已知抛物线的焦点为F，过F且斜率为1的直线与抛物线C交于A，B两点，且的中点的纵坐标为2．

（1）求C的方程

（2）已知，若P在线段上，是抛物线C的两条切线，切点为H，G，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】解（1）设点，则，所以，又因为直线AB的斜率为1，所以，将A、B两点代入抛物线方程中得：，将上述两式相减得，，

即，所以，即，所以，

因此，抛物线的方程为；

（2）因为，P在线段上，所以设，且，

设点，，则切线PH、PG的斜率定存在，设直线PH的方程为，与抛物线联立消y得：，

所以，即，解得，所以切线PH的方程为，即，

同理得切线PG的方程为，

又点P在切线PG、PH上，所以，所以直线GH的方程为，即，

直线GH的方程与抛物线联立 ，整理得，所以，

又点P到直线GH的距离为，

所以的面积为，

因为，所以，，所以，所以面积的最大值为．

类型三： 参数取值范围问题

例题 3 如图，已知点在半圆：上一点，过点P作抛物线C：的两条切线，切点分别为A，B，直线AP，BP，AB分别与x轴交于点M，N，T，记的面积为，的面积为．

(1)若抛物线C的焦点坐标为（0，2），求p的值和抛物线C的准线方程：

(2)若存在点P，使得，求p的取值范围．

【答案】(1)；准线方程为直线

(2)

【解析】(1)，．准线方程为直线．

(2)设，，过点A的切线方程：，于是；

过点的切线方程：，于是；

点在两条切线上，所以，

可得点P坐标为．

且：，于是．

，，

而，所以．

于是点，点P的轨迹方程为，

问题转化为抛物线与半圆：有交点．

记，则，又因为，

解得：．

类型四： 存在性问题

例题 4已知椭圆C：的离心率为，直线与椭圆仅有一个公共点.

(1)求椭圆C的方程；

(2)若直线l：，试问在x轴上是否存在一定点M，使得过M的直线交椭圆于P，Q两点，交l于N，且满足，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)；

(2)存在，(4，0).

【解析】(1)∵，∴，，

将代入，整理得，

∴，解得，

∴，，

∴椭圆C的方程为.

(2)设，，，，直线PQ的方程为，

由，得，即.

将代入椭圆方程，整理得，

，即，

∴，.

∴.

将(1，n)代入，可得，代入上式可得.

当直线PQ的方程为时，也满足题意.

故定点M为(4，0).

类型五： 面积问题

例题 5．已知椭圆C：，经过圆O：上一动点P作椭圆C的两条切线．切点分别记为A，B，直线PA，PB分别与圆O相交于异于点P的M，N两点．

(1)求证：M，O，N三点共线；

(2)求△OAB面积的最大值．

【答案】(1)证明见解析；(2).

【解析】

(1)由圆的对称性，不妨设在第一象限，

若斜率不存在，则直线为，

所以，则另一条切线为(即斜率为0)，此时；

若、斜率存在且不为0时，设切线方程为，

联立椭圆方程有，整理得，

所以，整理得，且，

所以，又，故，即；

综上，有，又M，N两点圆O上，即，

由圆的性质知：是圆O的直径，所以M，O，N三点共线，得证；

(2)同（1），由圆的对称性，设在第一象限，，，

当时，；

当时，、斜率都存在且不为0，令为，

联立椭圆并整理得：，

由，整理得，

所以，又在椭圆上，则，故，

所以直线的方程为，化简得，即；

同理可得：直线的方程为，

又在直线、直线上，则，

所以直线的方程为，联立椭圆方程可得：，

又，则，故，

所以，，又不共线，，

，

而O到直线的距离，

所以，

令，，且，即或，

所以，则，当且仅当时等号成立，此时；

综上，，当时△OAB面积的最大值.

解题技巧：求解圆锥曲线中有关参数的取值范围问题，关键是构建与参数有关的不等关系，主要方法有：

（1）利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

（2）建立已知参数与未知参数之间的等量关，利用已知参数的范围，求新参数的范围；

（3）利用隐含的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等式，从而确定参数的取值范围；

（5）利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

定值是证明求解的一个量与参数无关,解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决. 求定值问题常用的方法有两种：

（1）从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。

（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值。其求解步骤一般为：

一选：选择变量，一般为点的坐标、直线的斜率等；

二化：把要求解的定值表示成含上述变量的式子，并利用其他辅助条件来减少变量的个数，使其只含有一个变量或者有多个变量，但是能整体约分也可以；

三定值：由题目的结论可知要证明为定值的量必与变量的值无关，故求出的式子必能化为一个常数，所以只需对上述式子进行必要的化简即可得到定值.

1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，直线交抛物线于，两点.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点，分别作抛物线的切线，，点为直线，的交点.

（i）求证：点在一条定直线上；

（ii）求面积的取值范围.

2．（2022·四川省南充高级中学高三阶段练习（理））在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：的左，右顶点分别为A、B，点F是椭圆的右焦点，，．

(1)求椭圆C的方程；

(2)不过点A的直线l交椭圆C于M、N两点，记直线l、AM、AN的斜率分别为k、、．若，证明直线l过定点，并求出定点的坐标．

3．（2022·浙江·高三专题练习）如图，已知抛物线在点处的切线与椭圆相交，过点作的垂线交抛物线于另一点，直线（为直角坐标原点）与相交于点，记、，且．

（1）求的最小值；

（2）求的取值范围．

4．（2022·吉林·长春十一高高三阶段练习（理））已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.

(1)求直线的斜率的取值范围；

(2)设为原点，，，试判断是否为定值，若是，求值；若不是，求的取值范围.

5．（2022·江苏·南京市第五高级中学模拟预测）已知双曲线的焦距为4，直线l：与交于两个不同的点D､E，且时直线l与的两条渐近线所围成的三角形恰为等边三角形.

(1)求双曲线的方程；

(2)若坐标原点O在以线段DE为直径的圆的内部，求实数m的取值范围；

(3)设A､B分别是的左､右两顶点，线段BD的垂直平分线交直线BD于点P，交直线AD于点Q，求证：线段PQ在x轴上的射影长为定值.

6．（2022·四川成都·高三阶段练习（理））已知圆，椭圆．

(1)求证：圆C在椭圆M内；

(2)若圆C的切线m与椭圆M交于P，Q两点，F为椭圆M的右焦点，求△面积的最大值．

1．（2021·全国·）已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

2．（2021·全国·）已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．

（1）求；

（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．

3．（2021·全国·）抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．

（1）求C，的方程；

（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．

4．（2021·全国·）已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充

5．（2020.全国·）已知A、B分别为椭圆E：（a>1）的左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．

（1）求E的方程；

（2）证明：直线CD过定点.

6．（2020·全国·（文））已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|．

（1）求C1的离心率；

（2）若C1的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求C1与C2的标准方程．