2022年中考数学三轮冲刺过关回归教材重难点05 解直角三角形的实际应用-【查漏补缺】

回归教材重难点05 解直角三角形的实际应用

解三角形的实际应用是初中《直角三角形的边角关系》章节的重点内容，其中主要在解直角三角形中考查的频率比较高。在中考数学中，主要是以实际应用的考法出现。通过熟练的掌握正弦、余弦、正切的意义，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。

本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度中等。

1.锐角三角函数的定义：锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边， 余弦（cos）等于邻边比斜边 正切（tan）等于对边比邻边.

2.特殊角的三角函数值的计算

3.解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）

（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．
（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．
（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．

1．（2021·山东青岛·中考真题）某校数学社团开展“探索生活中的数学”研学活动，准备测量一栋大楼的高度．如图所示，其中观景平台斜坡的长是20米，坡角为，斜坡底部与大楼底端的距离为74米，与地面垂直的路灯的高度是3米，从楼顶测得路灯项端处的俯角是．试求大楼的高度．

（参考数据：，，，，，）

【答案】96米

【分析】延长AE交CD延长线于M，过A作AN⊥BC于N，则四边形AMCN是矩形，得NC=AM，AN=MC，由锐角三角函数定义求出EM、DM的长，得出AN的长，然后由锐角三角函数求出BN的长，即可求解．

【详解】延长交于点，过点作，交于点，

由题意得，，∴四边形为矩形，∴，.

在中，，

∴，，∴，，

∴，∴.

在中，，∴，∴，

∴，∴.

答：大楼的高度约为96米.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

2．（2021·四川内江·中考真题）在一次课外活动中，某数学兴趣小组测量一棵树的高度．如图所示，测得斜坡的坡度，坡底的长为8米，在处测得树顶部的仰角为，在处测得树顶部的仰角为，求树高．（结果保留根号）

【答案】米．

【分析】作BF⊥CD于点F，设DF=x米，在直角△DBF中利用三角函数用x表示出BF的长，在直角△DCE中表示出CE的长，然后根据BF-CE=AE即可列方程求得x的值，进而求得CD的长．

【详解】解：作于点，设米，

在中，，则（米，

∵，且AE=8∴ ∴ 在直角中，米，

在直角中，，米．

，即．解得：，

则米．

答：的高度是米．

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，坡度坡角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

3．（2021·甘肃兰州·中考真题）避雷针是用来保护建筑物、高大树木等避免雷击的装置．如图，小陶同学要测量垂直于地面的大楼顶部避雷针的长度（，，三点共线），在水平地面点测得，，点与大楼底部点的距离，求避雷针的长度．（结果精确到．参考数据：，，，，，）

【答案】

【分析】根据，然后根据即可得出答案．

【详解】解：∵，∴，

∵，，∴，即，解得：m，

∵，∴，即，

解得：m，∴m ．

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形，将实际问题转换为解直角三角形的问题是解答此题的关键．

4．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，小华遥控无人机从点A处飞行到对面大厦MN的顶端M，无人机飞行方向与水平方向的夹角为37°，小华在点A测得大厦底部N的俯角为31°，两楼之间一棵树EF的顶点E恰好在视线AN上，已知树的高度为6米，且，楼AB，MN，树EF均垂直于地面，问：无人机飞行的距离AM约是多少米？（结果保留整数．参考数据：cos31°≈0.86， tan31°≈0.60， cos37°≈0.80， tan37°≈0.75）

【答案】38米

【分析】过作于，易证，得，则，再由锐角三角函数求出，然后在中，由锐角三角函数定义求出的长即可．

【详解】解：过作于，如图所示：

则，，

，，

由题意得：，，，，，，，

，

在中，，，

在中，，，

即无人机飞行的距离约是．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用等知识，正确作出辅助线构造直角三角形，证明是解题的关键．

5．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．

（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

【答案】68.5m

【分析】过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．

【详解】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．

则AE＝50m，

在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），

在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），

∴CD＝CE＋DE≈26.5＋42＝68.5（m）．

答：铁塔CD的高度约为68.5m．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，求出CE、DE的长是解题的关键．

6．（2022·重庆·模拟预测）如图，重庆是著名的山城，为了测量坡度为的斜坡BC上的建筑物AB的高度，一个数学兴趣小组站在山脚点C处沿水平方向走了6米到达点D，再沿斜坡DF行走26米到达点F，再向前走了20米到达一个比较好的测量点G，在G点测量得建筑物底部B的仰角为26.5°，建筑物顶部A的仰角为30°，已知斜坡DF的坡度为1：2.4，测量员的身高忽略不计，A，B，C，D，E，F，G，H在同一平面内，AB⊥CD于点H，DE⊥FG于点E．

(1)求点G到山脚C的水平距离；

(2)求建筑物AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°≈0.89，tan26.5°≈0.50，）

【答案】(1)点G到山脚C的水平距离是50米；(2)建筑物AB的高度约是8.5米

【分析】(1)连接BG，分别过点H、C作HN⊥EG于点N，CM⊥EG于点M，根据坡比可得DE和EF的长度，再由MG=ME+EF+FG来求解；

(2)根据坡度比，由的正切得出BH的长度，再根据的正切可得到AB的值．

【详解】(1)解：如图，连接BG，分别过点H、C作HN⊥EG于点N，CM⊥EG于点M，

由题意可得，CD＝6米，DF＝26米，FG＝20米．

∵HN⊥EG，CM⊥EG，斜坡DF的坡度为1：2.4，DF＝26米，

∴设DE＝x米，则EF＝2.4米，

由勾股定理可得x2+（2.4x）2＝262，

解得x＝10，

∴DE＝10米，EF＝24米．

∵ME＝CD＝6米，

∴MG＝ME+EF+FG＝6+24+20＝50（米），

答：点G到山脚C的水平距离是50米；

(2)解：∵HN⊥EG，CM⊥EG，

∴HN＝CM＝DE＝10米，

设BH＝x．∵斜坡BC的坡度为，∴HC＝x米，

∴NG＝MN+MG＝HC+MG＝x+50，HN＝x+10．

∵∠BGN＝26.5°，

∴tan26.55°＝＝0.5，解得x＝45，

即BN＝45+10＝55（米），NG＝60+50＝110（米）．

∵∠AGN＝30°，∴tan30°＝，解得AB≈8.5，

答：建筑物AB的高度约是8.5米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，坡度坡角问题．解题的关键是添加辅助线构成直角三角形．

7．（2021·河南·模拟预测）2021年4月4日，中国海军组织辽宁舰航母编队在台湾周边海域进行训练．包括辽宁舰在内的6艘解放军军舰沿冲绳本岛与宫古岛之间海域南下，向太平洋驶去，并在该区域设立禁飞禁航区，如图，该区域为不规则四边形，点A在点B正西200km处，点D在点A正北方，且在点B的西偏北60°方向上，点C在点B的北偏东24°方向且距点B为300km，则这片禁飞禁航区的面积是多少？（参考数据；sin54°≈0.809，cos54°≈0.588，tan54°≈1.376，1.732）

【答案】这片禁飞禁航区的面积约为83180km2

【分析】观察图形，禁航区的面积等于△ABD与△CDB面积之和．如图，过C点作CE⊥BD于E，利用锐角三角函数分别解Rt△ABD和Rt△BCE，根据得到的边长求出三角形面积相加即可．

【详解】解：如图，过C点作CE⊥BD于E，

在Rt△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝200km，∴∠BDA＝90°﹣∠ABD＝30°，

∴AD＝200（km），BD＝2AB＝400（km），

∴S△ABDAB•AD200×20020000×1.732＝34640（km2），

在Rt△BCE中，∠CBE＝24°+30°＝54°，∴CE＝CB•sin54°≈300×0.809＝242.7（km），

∴S△CDBBD•CE400×242.7＝48540（km2），

∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD≈34640+48540＝83180（km2），

即这片禁飞禁航区的面积约为83180km2．

【点睛】本题考查锐角三角函数解直角三角形、方位角、求不规则图形面积等知识点，根据题目中描述的方位角得到图中三角形相应角的度数是解题的基础，熟练掌握利用锐角三角函数解直角三角形的方法是解题的关键．

8．（2021·海南·海口市第十四中学模拟预测）如图，2020年5月5日，我国载人空间站工程研制的长征五号运载火箭在海南文昌首飞成功．运载火箭从地面O处发射，当火箭到达A时，地面D处的雷达站测得AD＝5000米，仰角为30°，3秒后，火箭直线上升到点B处，此时地面C处的雷达站测得B处的仰角为45°．若C、D两处相距460米．（参考数据：）

(1)求火箭从A到B处的平均速度（结果精确到米/秒）；

(2)求地面C处的雷达站测得BC的距离．

【答案】(1)457米/秒；(2)（2500460）米

【分析】（1）在两个直角三角形中求出AO、BO，进而计算出AB，最后求出速度即可；

（2）根据线段的和差和等腰直角三角形的性质即可得到结论．

【详解】(1)设AB＝x米，在Rt△AOD中，sin30°，

∴OD5000＝2500（米），

在Rt△OBC中，tan45°1，

即x+2500＝2500460，解得：x≈1370，

∴火箭从A到B处的平均速度为457米/秒，答：火箭从A到B处的平均速度为457米/秒；

(2)由（1）知，OD＝2500（米），

∵CD＝460米，∴OC＝OD﹣CD＝（2500460）米，

∵∠OCB＝45°，∴OB＝OC＝（2500460）米，

故地面C处的雷达站测得BC的距离为（2500460）=（2500460）米．

【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，解决问题的关键是抽象出直角三角形，利用直角三角形解决问题．

9．（2021·山东青岛·一模）如图，为固定电线杆CM，其自身需植入地下1.5米，且由两根互相垂直的拉线AC与BC协助固定．A、D、B在同一直线上．

(1)若电线杆地面上部分CD高为h米，∠CAB＝α，请用h与α三角函数的代数式表示BC的长度为 　     　；

(2)若∠CAB＝25°，电线杆CM为11.5米，求两处固定点A、B之间的距离是多少？（结果精确到1米）（sin25°≈，cos25°≈，tan25°≈）

【答案】(1)；(2)27米

【分析】（1）证明∠BCD＝∠CAB，再根据求解即可；（2）分别求出AD，DB，可得结论．

【详解】(1)解：∵CD⊥AB，∠ACB＝90°，∴∠ADC＝90°，

∴∠CAB+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠CAB＝α，

在Rt△BCD中，，∴．故答案为：．

(2)解：∵CM＝11.5米，DM＝1.5米，∴CD＝10（米），

在Rt△ADC中，，∴（米），

在Rt△CDB中，，∴（米），

∴（米）．

故两处固定点A、B之间的距离是27米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，灵活运用解直角三角形的方法是解决本题的关键．

10．（2021·山东东营·二模）小明与小华在一次数学实践活动中，想要测量他们家对面商业大厦的高MN，如图所示，小明爬到居民楼窗台B处，测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数为60°，由于楼下植物的遮挡，不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数．于是，他俩又上了几层楼来到窗台C处测得大厦底部M

的俯角∠2的度数为30°，已知A，B，C三点共线，CA⊥AM，NM⊥AM，AB＝18m，BC＝6m，试求商业大厦的高MN．

【答案】90m

【分析】过点作于点，过点作于点，可得四边形和四边形均为矩形，，再通过解直角三角形，即可求得．

【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，

，

，，

四边形和四边形均为矩形，

，，

在中，，，，

在中，，，

由矩形性质可知：，

． 答：商业大厦的高为．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

11．（2021·江苏·沭阳县怀文中学二模）脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走8m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为60°，房屋的顶层横梁EF＝12m，EFCB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，≈1.7）

(1)求屋顶到横梁的距离AG；

(2)求房屋的高AB（结果精确到1m）．

【答案】(1)4.2m；(2)14m

【分析】（1）根据题意得到AG⊥EF，EG=EF，∠AEG=∠ACB=35°，解直角三角形即可得到结论；

（2）过E作EH⊥CB于H，设EH=x，解直角三角形即可得到结论．

【详解】（1）∵房屋的侧面示意图，

它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，EF∥BC，∴AG⊥EF，EG=EF，∠AEG=∠ACB=35°，

在Rt△AGE中，∠AGE=90°，∠AEG=35°，

∵tan∠AEG=tan35°= ，EG=6，∴AG=6×0.7=4.2（米）；答：屋顶到横梁的距离AG约为4.2米；

(2)过E作EH⊥CB于H，

设EH=x，在Rt△EDH中，∠EHD=90°，∠EDH=60°，

∵tan∠EDH= ，∴ ，

在Rt△ECH中，∠EHC=90°，∠ECH=35°，

∵ ，∴ ，

∵CH-DH=CD=8米，

∴，解得：x≈9.52（米），

∴AB=AG+BG=9.52+4.2=13.72≈14（米），

答：房屋的高AB约为14米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称图形，解题的关键是借助仰角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．