2022年中考数学三轮冲刺过关回归教材重难点07 几何最值问题-【查漏补缺】

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回归教材重难点07 几何最值问题

几何最值问题是初中几何章节的重点内容，考查的范围比较广，把几何图形性质与平移、翻折等图形变换结合起来。在中考数学中，主要是以压轴题形式出现。通过熟练的几何模型的应用，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为选填题的压轴题。

1.将军饮马模型；
2.瓜豆模型；
3.隐圆模型

1．（2021·辽宁盘锦·中考真题）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，AD＝，点P为边AB上一点．以DP为折痕将△DAP翻折，点A的对应点为点A'．连结AA'，AA' 交PD于点M，点Q为线段BC上一点，连结AQ，MQ，则AQ＋MQ的最小值是________

【答案】
【分析】如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．想办法求出RM，RT，求出MT的最小值，再根据QA＋QM＝QM＋QT≥MT，可得结论．
【详解】解：如图，作点A关于BC的对称点T，取AD的中点R，连接BT，QT，RT，RM．

∵四边形ABCD是矩形，∴∠RAT＝90°，
∵AR＝DR＝，AT＝2AB＝4，
∴RT＝，
∵A，A′关于DP对称，∴AA′⊥DP，∴∠AMD＝90°，
∵AR＝RD，∴RM＝AD＝，
∵MT≥RT−RM，∴MT≥4，
∴MT的最小值为4，
∵QA＋QM＝QT＋QM≥MT，
∴QA＋QM≥4，
∴QA＋QM的最小值为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是求出MT的最小值，属于中考常考题型．
2．（2021·四川成都·中考真题）如图，在矩形中，，点E，F分别在边上，且，按以下步骤操作：第一步，沿直线翻折，点A的对应点恰好落在对角线上，点B的对应点为，则线段的长为_______；第二步，分别在上取点M，N，沿直线继续翻折，使点F与点E重合，则线段的长为_______．

【答案】     1    
【分析】第一步：设EF与AA’交于点O，连接AF，易证明△AOE△ADC，利用对应边成比例可得到OA=2OE，由勾股定理可求出OE=，从而求得OA及OC；由AD∥BC，易得△AOE∽△COF，由对应边成比例可得AE、FC的关系式，设BF=x，则FC=8-x，由关系式可求得x的值；
第二步：连接NE，NF，根据折叠的性质，得到NF=NE，设B’N=m，分别在Rt△和Rt△中，利用勾股定理及NF=NE建立方程，可求得m，最后得出结果．
【详解】如图所示，连接AF，

设EF与AA’交于点O，由折叠的性质得到AA’⊥EF，
∵四边形ABCD是矩形∴∠ADC=90°，CD=AB=4 ，AD∥BC
∵∠AOE=∠ADC，∠OAE=∠DAC∴△AOE△ADC，∴ ，∴OA=2OE，
在直角△AOE中，由勾股定理得： ，∴OE=，∴OA=，
在Rt△ADC中，由勾股定理得到：AC= ，∴OC=，
令BF=x，则FC=8-x，
∵AD∥BC，∴△AOE∽△COF，∴ ，即7AE=3FC∴3(8-x)=7×3解得：,∴的长为1．
连接NE，NF，如图，

根据折叠性质得：BF=B’F=1，MN⊥EF，NF=NE，
设B’N=m，则 ，解得：m=3，则NF= ，
∵EF=，∴MF=，
∴MN=，
故答案为：1，．
【点睛】
本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、三角形相似的判定与性质，矩形的性质等知识，熟练运用这些知识是解决本题的关键，本题还涉及到方程的运用．
3．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，已知正方形的边长为6，点F是正方形内一点，连接，且，点E是边上一动点，连接，则长度的最小值为___________．

【答案】-3
【分析】根据正方形的性质得到∠ADC＝90°，推出∠DFC＝90°，点F在以DC为直径的半圆上移动，，如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADF＋∠CDF＝90°，
∵，∴∠DCF＋∠CDF＝90°，∴∠DFC＝90°，∴点F在以DC为直径的半圆上移动，
如图，设CD的中点为O，作正方形ABCD关于直线AD对称的正方形APGD，则点B的对应点是P，
连接PO交AD于E，交半圆O于F，则线段FP的长即为BE＋FE的长度最小值，OF＝3，
∵∠G＝90°，PG＝DG＝AB＝6，∴OG＝9，∴OP＝，∴FP＝-3，
∴BE＋FE的长度最小值为-3，
故答案为：-3．

【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，正方形的性质，勾股定理以及圆的基本性质．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
4．（2021·山东聊城·中考真题）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴，y轴上，B，D两点坐标分别为B（﹣4，6），D（0，4），线段EF在边OA上移动，保持EF＝3，当四边形BDEF的周长最小时，点E的坐标为__________．

【答案】
【分析】先得出D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），再通过转化，将求四边形BDEF的周长的最小值转化为求FG+BF的最小值，再利用两点之间线段最短得到当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，用待定系数法求出直线BG的解析式后，令y=0，即可求出点F的坐标，最后得到点E的坐标．
【详解】解：如图所示，∵D（0，4），∴D点关于x轴的对称点坐标为H（0，-4），∴ED=EH，
将点H向左平移3个单位，得到点G（-3，-4），∴EF=HG，EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EH=FG，∴FG =ED，∵B（-4，6），∴BD=，
又∵EF＝3，∴四边形BDEF的周长=BD+DE+EF+BF=+FG+3+BF,
要使四边形BDEF的周长最小，则应使FG+BF的值最小，而当F、G、B三点共线时FG+BF的值最小，
设直线BG的解析式为：
∵B（-4，6），G（-3，-4），∴，∴，∴，
当y=0时，，∴，∴，故答案为：．

【点睛】本题综合考查了轴对称的性质、最短路径问题、平移的性质、用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解决问题的关键是“转化”，即将不同的线段之间通过转化建立相等关系，将求四边形的周长的最小值问题转化为三点共线和最短的问题等，本题蕴含了数形结合与转化的思想方法等．
5．（2021·广东·中考真题）在中，．点D为平面上一个动点，，则线段长度的最小值为_____．
【答案】
【分析】由已知，，根据定角定弦，可作出辅助圆，由同弧所对的圆周角等于圆心角的一半可知，点在以为圆心为半径的圆上，线段长度的最小值为．
【详解】如图： 以为半径作圆，过圆心作，
以为圆心为半径作圆，则点在圆上，
，，
,，

，线段长度的最小值为: ．故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角与圆心角的关系，圆外一点到圆上的线段最短距离，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．
6．（2021·河南周口·三模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点E，F分别在BC，AB上移动，AF＝BE，AE和DF交于点P，点M为边AB上一动点，点N为平面上一动点，CN＝1，则NM+MP的最小值是 ___．

【答案】2-3
【分析】首先证明∠APD=90°，推出点P在以AD为直径的圆上运动，设圆心为T，作点T关于AB的对称点R，以R为圆心，AR为半径作⊙R，则点P关于AB的对称点L，在⊙R上，连接CR，RL，ML．根据RL+ML+MN+NC≥CR，MP=ML，求出CR，可得结论．
【详解】解：如图，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠DAF=90°，AD=AB，
在△ABE和△DAF中，，
∴△ABE≌△DAF（SAS），∴∠BAE=∠ADF，
∵∠BAE+∠DAP=90°，∴∠ADP+∠DAE=90°，∴∠APD=90°，
∴点P在以AD为直径的圆上运动，设圆心为T，作点T关于AB的对称点R，以R为圆心，AR为半径作⊙R，则点P关于AB的对称点L，在⊙R上，连接CR，RL，ML．
∵CN=1，∴点N在以C为圆心，半径为1的⊙C上运动，
在Rt△CDR中，CR===2，
∵RL+ML+MN+NC≥CR，MP=ML，∴PM+MN≥2-2-1，
∴PM+MN≥2-3，
∴PM+MN的最小值为2-3．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，正方形的性质，勾股定理，轨迹等知识，解题的关键是学会把问题转化为两点之间线段最短，属于中考填空题中的压轴题．
7．（2021·河南郑州·一模）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是AB边上一动点（不与点A，B重合），连接PD，过点B作BM⊥PD交DP的延长线于点M，连接AM，过点A作AN⊥AM交PD于点N，连接BN，CN，则△BNC面积的最小值为________．

【答案】
【分析】点N在正方形内部，所以S△AND+S△BNC＝S正方形ABCD＝，由BM⊥PD可得点M在以BD中点为圆心，BD长为半径的圆上，先证明△AMB与△ADN全等，然后求△ABM最大面积即可求出△BNC的最小面积．
【详解】解：∵四边形ABCD为正方形，   ∴AD＝AB，∠BAD＝∠BAN+∠NAD＝90°，
∵∠MAB+∠BAN＝∠MAN＝90°，∴∠MAB＝∠NAD，
∵∠BMP+∠BPM+∠MBP＝∠PAD+∠PDA+∠APD＝180°，
∠MPB＝∠APD，∠BMP＝∠DAP＝90°，∴∠MBP＝∠ADP，
在△AMB和△AND中，，∴△AMB≌△AND（ASA）．∴S△AMB＝S△AND，
∵S△AND+S△BNC＝S正方形ABCD＝，∴当S△AMB面积最大时，S△BNC面积最小，
∵∠BMD＝90°，∴点M在以BD中点为圆心，BD长为半径的圆上，
当△ABM面积最大时，OM⊥AB，如图，

∵点O为BD中点，OM∥AD，∴OK＝AD＝2，
∵BD＝BC＝，∴OM＝BD＝，∴MK＝OM﹣OK＝﹣2，∴S△AMB＝AB•MK＝，
∴S△BNC＝8﹣S△AMB＝8﹣（）＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查正方形的性质、三角形面积计算、全等三角形的判定、圆周角定理等知识点，将求△BNC的最小面积转化为求△ABM最大面积并找出M点运动轨迹是解题关键．
8．（2021·河南·三模）如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E，F分别为边AB，AD上的动点，且EF＝6，点G，M分别为边BC，CD的中点，连接BM，DG交于点O．将△EFA沿EF折叠得到△EFA'，点H是边EF上一动点，连接A'H，HO，OA'．当A'H+HO的值最小时，OA'的长为 __________________．

【答案】
【分析】连接AH、AO，由折叠的性质，点A与点A'关于直线EF对称，则可得当A、H、O三点共线时，A'H+HO的值最小，连接OC、AH，过点O作NO⊥BC于点N，可知四边形AFA'E是正方形，∠ACB＝45°，设CN＝x，则ON＝CN＝x，BN＝8﹣x，可证明△BON∽△BMC，可求出CN＝，CO＝，在Rt△ABC中，由勾股定理得AC＝8，所以A'O＝AC﹣AA'﹣OC＝．
【详解】解：连接AH、AO，如图，

由折叠的性质，点A与点关于直线对称，
三点共线时，的值最小，
连接OC、AH，过点O作NO⊥BC于点N，如图2，

四边形是正方形，，三点共线，
是中点，
设CN＝x，则ON＝CN＝x，BN＝8﹣x，
，，即，，

在中，由勾股定理得，

故答案为：．
【点睛】本题考查相似的判定与性质、折叠的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
9．（2021·四川绵阳·一模）等边△ABC的边长为6，P是AB上一点，AP＝2，把AP绕点A旋转一周，P点的对应点为P′，连接BP′，BP′的中点为Q，连接CQ．则CQ长度的最小值是_____．

【答案】
【分析】取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，利用等边三角形求出CD＝,根据三角形中位线定理得到DQ＝1，利用三角形三边关系得出结果．
【详解】解：如图，取AB中点D，连接DQ，CD，AP'，

∵AP＝2，把AP绕点A旋转一周，∴AP'＝2，
∵等边△ABC的边长为6，点D是AB中点，∴BD＝AD＝3，CD⊥AB，∴CD＝，
∵点Q是BP'是中点，∴BQ＝QP'，
又∵AD＝BD，∴DQ＝AP'＝1，
在△CDQ中，CQ≥DC﹣DQ，∴CQ的最小值为3﹣1，故答案为．
【点睛】本题考查最短路径、中位线、等边三角形等知识，解决问题的关键是已知中点的常见思路：等腰三角形中构造三线合一，一般三角形中构造中位线．
10．（2021·福建·厦门五缘实验学校二模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（k＞0）的图象与半径为5的⊙O交于M、N两点，△MON的面积为3.5，若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是______．

【答案】
【详解】设点M（a，b），N（c，d），先求出a2+b2＝c2+d2＝25，再求出ac，同理：bd，即可得出ac﹣bc＝0，最后用两点间的距离公式即可得出结论．
【解答】解：如图，

设点M（a，b），N（c，d），∴ab＝k，cd＝k，
∵点M，N在⊙O上，∴a2+b2＝c2+d2＝25，
作出点N关于x轴的对称点N'（c，﹣d），∴MN'即为PM+PN的最小值
∴S△OMNk（b+d）（a﹣c）k＝3.5，∴ad﹣ bc＝7，∴7，∴ac，
同理：bd，∴ac﹣bc[（c2+d2）﹣（a2+b2）]＝0，
∵M（a，b），N'（c，﹣d），
∴MN'2＝（a﹣c）2+（b+d）2＝a2+b2+c2+d2﹣2ac+2bd＝a2+b2+c2+d2﹣2（ac﹣bd）＝50，∴MN'＝5，
故答案为：5．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质、圆的性质、两点间的距离公式，判断出ac-bd=0是解本题的关键．
11．（2021·广东·雷州市第八中学一模）如图，把矩形ABCD沿EF对折，使B与D重合，折痕EF交BD于G，连AG，若tan∠AGE＝，BF＝8，P为DG上一个动点，则PF+PC的最小值为_____．

【答案】10
【分析】如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．首先证明△EGD≌△FGB（ASA），推出BF=DE=8，EG=FG，再证明PF=PE，推出PF+PC=PE+PC≥EC，想办法求出EC即可解决问题．
【详解】解：如图，连接BE，CE，PE，取BE的中点O，连接OA，OG．

由题意，EF垂直平分线段BD，∴EB=ED，BG=GD，
∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠EDG=∠FBG，
∵∠EGD=∠FGB，∴△EGD≌△FGB（ASA），∴BF=DE=8，EG=FG，
∵DB⊥EF，∴PE=PF，∴PF+PC=PE+PC≥EC，
∵∠BAE=∠BGE=90°，OB=OE，∴OA=OB=OE=OG，
∴A，B，G，E四点共圆，∴∠ABE=∠AGE，∴tan∠ABE=tan∠AGE==，
设AE=k，AB=3k，
∵AB2+AE2=BE2，BE=DE=8，∴（k）2+（3k）2=82，∴k=2，∴AB=CD=6，
∵∠EDC=90°，∴EC==10，∴PF+PC≥10，∴PF+PC的最小值为10．
故答案为：10．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，四点共圆等知识，本题综合性比较强．
12．（2022·上海·一模）如图，在中，，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，直线，相交于点，连接，在旋转过程中，线段的最大值为__________．

【答案】
【分析】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，在△ABC中，由勾股定理得到AB=，由旋转可知：△DCE≌△ACB，从而∠DCA=∠BCE，∠ADC=∠BEC，由∠DGC=∠EGF，可得∠AFB=90º，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得FH=CH=AB=，在△FCH中，当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值为.
【详解】取AB的中点H，连接CH、FH，设EC，DF交于点G，

在△ABC中，∠ACB=90º，
∵AC=，BC=2，
∴AB=，
由旋转可知：△DCE≌△ACB，
∴∠DCE=∠ACB，DC=AC，CE=CB，
∴∠DCA=∠BCE，
∵∠ADC=(180º-∠ACD) ，∠BEC= (180º-∠BCE)，∴∠ADC=∠BEC，
∵∠DGC=∠EGF，∴∠DCG=∠EFG=90º，∴∠AFB=90º，
∵H是AB的中点，∴FH=AB，
∵∠ACB=90º，
∴CH=AB，
∴FH=CH=AB=，
在△FCH中，FH+CH>CF，
当F、C、H在一条直线上时，CF有最大值，
∴线段CF的最大值为.
故答案为：
【点睛】本题考查了旋转的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握全等的性质.
13．（2022·重庆·一模）如图，已知，外心为，，，分别以，为腰向形外作等腰直角三角形与，连接，交于点，则的最小值是______．

【答案】
【分析】由与是等腰直角三角形，得到，，根据全等三角形的性质得到，求得在以为直径的圆上，由的外心为，，得到，如图，当时，的值最小，解直角三角形即可得到结论．
【详解】解：与是等腰直角三角形，，，
在与中，，≌，，，
，在以为直径的圆上，
的外心为，，，
如图，当时，的值最小，
，，，
，，．则的最小值是，
故答案为：．

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．