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2022年中考数学三轮冲刺过关回归教材重难点11 二次函数与几何的综合应用-【查漏补缺】
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这是一份2022年中考数学三轮冲刺过关回归教材重难点11 二次函数与几何的综合应用-【查漏补缺】，文件包含回归教材重难点11二次函数与几何的综合应用解析版docx、回归教材重难点11二次函数与几何的综合应用原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共50页， 欢迎下载使用。
回归教材重难点11 二次函数与几何的综合应用
二次函数的综合应用是初中《二次函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把二次函数图像与性质结合起来，联系几何图形的性质综合考查。在中考数学中，主要是以解答题形式出现。通过熟练二次函数性质，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为解答题的压轴题。
1.几何图形存在性问题；
2.最值问题（长度、面积）；
3.证明定值问题；
4.相似问题
1．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；
（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转90得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）①或；②或．
【分析】（1）根据点的坐标以及已知条件，将的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）依题意根据（1）的解析式求得的坐标，进而求得，据此求得，根据进而求得的坐标，根据即可求得的面积；
（3）①过作轴，分点在轴上方和下方两种情况讨论，证明，设，将点的坐标代入（1）中抛物线解析式中即可求得点的坐标情形2，方法同情形1；
②分当不平行于轴和轴两种情况讨论，当当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，证明进而可得的坐标，当轴时，结合已知条件即可求得的坐标．
【详解】（1）二次函数的图象经过，，解得
，
（2）由，令，解得，
，当时，
，,则
；
（3）如图，当点在轴下方时，过点作于点，
由，令，
解得
，
，
将线段绕点逆时针旋转90得到线段，
，，
设，
点在抛物线上，
解得（舍）
当点在轴上方时，如图，
过点作于点，设
同理可得
点在抛物线上，
解得（舍去），
综上所述，或；
②当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，如图，
平分，，
，
,
，
当不平行于轴时，重合，
，
当轴时，如图，
此时
则
综上所述，当平方时，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，正切的定义，三角形全等的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
2．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，拋物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是．拋物线与y轴交于点，点P是拋物线的顶点，连接．
（1）求拋物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线与拋物线对称轴交于点D，点Q为直线上一动点．
①当的面积等于面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于，直线交直线l于点F，点G在直线上，且时，请直接写出的长．
【答案】（1），顶点坐标为（1，4）；（2）（2，1）或；②或．
【分析】（1）将和代入利用系数法求函数解析式，然后将一般式化为顶点式求顶点坐标；
（2）①求出的面积，设利用求得；
②利用列出方程，求出点的坐标，根据联立直线和的关系式，求出的坐标，从而求得．
【详解】解（1）由题意得，，，，．
（2）①如图1，
作于，
，，
直线，
，可设，
，
，
，
或．
或．
②如图2，
设，
由得，，
化简，得，
，，
，，，
作于，
，
，
，
即：，
，
，，
设直线是：，
，解得
，
由，解得
，
，
，
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数图象和性质及相似三角形等知识，解决问题的关键将点的坐标化成长度，转化成图形的相似等知识．
3．（2021·四川德阳·中考真题）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P（4，5）；（3）存在符合条件的点M，M的坐标为，，，
【分析】（1）把点A，C代入抛物线的解析式，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先作出点C关于x轴的对称点C'，然后连接AC'并延长交抛物线与点P，根据对称性可知P
为所求的点；
（3）根据勾股定理先求出∠APC的正切值，再设出点M的坐标为（m，m2-2m-3），利用∠MBN=∠APC列出关于m的方程，求出m，即可确定M的坐标．
【详解】解：（1）把点，代入，得到方程组：，解得，
抛物线的解析式为；
（2）作点关于轴的对称点，则，连接并延长与抛物线交与点，由图形的对称性可知为所求的点，
设直线的解析式为，由题意得：，解得：，
直线的解析式为，
将直线和抛物线的解析式联立得：解得（舍去）或，；
（3）存在点，过点作轴的垂线，由勾股定理得，
同理可求得，，
，，
，
，
，，
设点，则，解得或，
当时，，
，，
当，，
，，
存在符合条件的点，的坐标为，，，．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，第二问中三角形的内角到三边的距离是相等的，可考虑作关于轴的对称图形，此方法比较简洁，当题目中出现相等的角时，一般要考虑它们的三角函数值相等．
4．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．
（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；
（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点B坐标可求出点A坐标，根据对称轴可求出b的值，把点A或B的坐标代入抛物线解析式可求出C的值，通过配方可求出顶点坐标；
（2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可；
（3）设P（1，t），由为斜边，则，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧，
∴A（1，0）
又x=
∴
把A（1，0）代入得，
∴抛物线的解析式为
∴顶点D坐标为（2，-1）
故答案为：（1，0），（2，-1），；
（2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
①当，即时，
解得，（舍去）或
②当时，解得，或（舍去）
所以，m的值为或
（3）假设存在，设P（2，t）
当时，如图，
过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t
，∴ ，即
整理得， 解得，，
经检验：，是原方程的根且符合题意，∴点P的坐标为（2，1），（2，2）
综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键．
5．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；
（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3），此时
的最小值为；（4）存在，或．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；
（3）由题意易得点A、B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，然后问题可求解；
（4）由题意可设点，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．
【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，∴，
设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：，解得：，
∴直线的解析式为；
（3）由抛物线可得对称轴为直线，由题意可得如图所示：
连接BP、BC，
∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即为所求的P点，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵点P在直线BC上，
∴把代入得：，
∴；
（4）存在，理由如下：
由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：
①当AC为对角线时，如图所示：
连接MN，交AC于点D，
∵四边形ANCM是平行四边形，
∴点D为AC、MN的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，解得：，∴；
②当AM为对角线时，同理可得：，即，
解得：，∴；
③当AN为对角线时，同理可得：
，即，解得：，∴；
∴综上所述：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．
6．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
（1）若，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标；
（3）设直线与抛物线交于两点，问是否存在点（在抛物线上）．点（在抛物线的对称轴上），使得以为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）当以为顶点的四边形成为矩形时，点，．
【分析】（1）由题意易得，则有，然后把点C的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得，，然后可求出线段BC的解析式为，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，设，则有，进而可根据铅垂法进行求解点P的坐标；
（3）由题意易得，抛物线的对称轴为，则可得，点
F的横坐标为，①当以GB为矩形的对角线时，根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，进而可得，，然后根据相似三角形可求解；②当以GB为矩形的对边时，最后分类求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把点C的坐标代入得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）由（1）可得抛物线解析式为，，，
设线段BC的解析式为，把点B、C代入得：
，解得：，
∴线段BC的解析式为，
过点P作PE∥y轴，交BC于点E，如图所示：
设，则有，
∴，
设的面积为S，由铅垂法可得△PCB的面积可以点B、C的水平距离为水平宽，PE为铅垂高，则有：
，
∴当a=2时，S有最大值，
∴点；
（3）存在，理由如下：
由题意可把点B的坐标代入直线得：，∴，
联立抛物线与直线BG的解析式得：，解得：，∴，
由抛物线可得对称轴为，∴点F的横坐标为，
①当以GB为矩形的对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，即为，∴，
根据中点坐标公式可知，即，
∴，∴，
∵，且四边形是矩形，
∴点E、F分别落在x轴的两侧才能构成矩形，即，
分别作EH⊥x轴于点H，过点G、B作过点F与x轴平行的直线的垂线，分别交于点M、N，如图，
∴，
∵四边形是矩形，∴，
∴，
∴，∴，∴，
∴，
∵，∴，∴，即，
∴，解得：（负根舍去），∴，；
②当以GB为矩形的边时，不存在以点E、F、G、B顶点的四边形为矩形；
综上所述：当以为顶点的四边形成为矩形时，点，．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
7．（2021·山东枣庄·一模）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线经过点B和点C（0，4），△ABO从点，开始沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当tan∠EMF＝时，请求出t的值；
(3)如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，请直接写出t的值．
【答案】(1)y= ；(2)或 ；(3) .
【分析】
（1）求出点B的坐标，把点B和点C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解；
（2））设点D的坐标为（m，m﹣4），则点M的坐标为（m，﹣），用含m的式子表示出DM的长，求出DM＝1或7，分类讨论即可求解；
（3）连接OF，过点N作NH∥MF交OM于Q，交OB于H，证明四边形OADF是平行四边形，得到FG＝
OG＝t，利用SAS证明△PQN≌△PMF，得到NQ＝ME＝，证明△OQH∽△OMG，得到﹣＝2（），即可求解．
【详解】(1)将y＝0代入y＝x﹣4，得x﹣4＝0，∴x＝4，∴B（4，0），
∵抛物线经过点B（4，0）和点C（0，4），
∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣；
(2)设点D的坐标为（m，m﹣4），
则点M的坐标为（m，﹣），∴DM＝（﹣）﹣（m﹣4）＝﹣，
∵△ABO平移得到△DEF，∴DF＝EF＝4，
∵tan∠EMF＝，∴MF＝3，
如图3，
当M位于EF上方时，MD＝DF+MF＝7，∴﹣＝7，
∴解得：m1＝，m2＝﹣（不合题意，舍去），
如图4，当M位于EF下方时，MD＝DF﹣MF＝1，
∴﹣＝1，解得：m＝不合题意，舍去）或，
∵t＝＝m，∴t＝或，
(3)连接OF，过点N作NH∥MF交OM于Q，交OB于H，
将x＝0代入y＝x﹣4，解得：y＝﹣4，∴A（0，﹣4），
∵B（4，0），∴OA＝OB＝4，
∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，
由平移知OA∥FD，OA＝FD，∴四边形OADF是平行四边形，∴OF＝AD＝ t，∠OFD＝∠OAD＝45°，
∵∠OGF＝90°，
FG＝OG＝t，∴MF＝MG﹣FG＝，
∵NH∥MF，∴∠PQN＝∠PMF，∠PNQ＝∠PFM，
∵PN＝PF，∴△PQN≌△PMF（SAS），∴NQ＝MF＝ ，
由题意得点N的横坐标是点M的横坐标的，∴N（，），
QH＝NH﹣NQ＝﹣＝，
∵QH∥MG，∴∠OQH＝∠OMG，∠OHQ＝∠OGM，∴△OQH∽△OMG，
∴＝ ，∴MG＝2QH，∴﹣＝2（），
解得：t1＝，t2＝﹣（不符合题意，舍去），
∴t＝．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
8．（2021·江苏淮安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
【答案】(1)y＝x2+2x﹣3；(2)①；②-1或
【分析】（1）运用待定系数法将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程组求出b、c即可；
（2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点E作EK⊥y轴于点K，设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），从而得出EG，运用二次函数求最值方法即可；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，直线EG与x轴交于点N．先证明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再运用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】(1)∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3；
(2)①当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得：，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，∴∠KEG＝∠KGE＝45°，∴EG＝＝EK＝OD，
设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，
当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N，
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°，∴∠DEG＝∠DNE＝45°，∴DE＝DN．
∵∠KGE＝∠ONG＝45°，∴OG＝ON，
∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∴MF＝1，
∵∠KGF＝45°，∴GF＝＝MF＝，
∵∠FDG＝45°，∴∠FDN＝∠DEG．
又∵∠DGF＝∠EGD，∴△DGF∽△EGD，∴＝，
∴DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，
在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，
OD＝﹣m，
在Rt△ODG中，∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9＝﹣2m，解得m1＝﹣1，m2＝．
【点睛】本题考查二次函数解析式、线段和最短问题、相似三角形，能够灵活使用方程思想解决问题是解题的关键，常用勾股定理、相似比列方程．
9．（2022·浙江·嘉兴一中一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)P1（1，10.5），P2（7，4.5）；(3)存在，（3，8）或或（3，11）
【分析】（1）直接将A（﹣2，0）和点B（8，0）代入y＝x2+bx+c（a≠0），解出b，c的值即可得出答案；
（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
【详解】(1)解：∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，0）和点B（8，0），
∴，∴抛物线解析式为：；
(2)解：当x＝0时，y＝8，∴C（0，8），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，
∵，∴ 14
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
设，∴F（t，﹣t+8），∴，∴，
即 ，∴t1＝1，t2＝7，
∴P1（1，10.5），P2（7，4.5）；
(3)解：存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．
∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，∴点E的纵坐标为5，∴E（3，5），
设，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME∽△COB，则， 解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8），
②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，则，解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；
③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，此时△MNE与△COB相似，
此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称，
设M（3，m），则m﹣8＝8﹣5，解得m＝11，∴M（3，11）；此时点M的坐标为（3，11）；
故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．
【点睛】本题是一道综合题，涉及二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．
10．（2022·重庆·模拟预测）如图1，二次函数与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，当PD+BE取最大值时，连接PC，将绕原点O顺时针旋转至；将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线的对称轴上，点N为平面内任意一点，当以点M，N，，D′为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点N的坐标．
【答案】(1)；(2)当时，PD+BE的最大值为，点P的坐标为（3，）
(3)当以点M，N，，D′为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（， ）或（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）先求出点B的坐标为（6，0），然后利用待定系数法求解即可；
（2）过P作PF∥x轴交BC于点F，则四边形PEBF为平行四边形，从而得到PD+BE＝PD+PF，求出直线BC的解析式为，设点P的坐标为（m，），则点D的坐标为（m，），则，再求出点F的坐标为（，），得到，则，由此利用二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况①以MN为对角线时，如图①，有，，，②以为对角线时，如图②，有，，，③以为对角线时，如图③，有，，，由此讨论求解即可．
【详解】(1)解：∵点C的坐标为（0，3），∴OC＝3，
∵，∴OB＝6，∴点B的坐标为（6，0），
由抛物线经过点A（﹣2，0），B（6，0）设抛物线的解析式为，
将点C（0，3）代入解析式为，∴，
∴抛物线的解析式为；
(2)解：过P作PF∥x轴交BC于点F，
∵PE∥BC，∴四边形PEBF为平行四边形，∴PF＝BE，∴PD+BE＝PD+PF，
设直线BC的解析式为，则，解得：，
∴直线BC的解析式为，设点P的坐标为（m，），则点D的坐标为（m，），
∴，
∵PF∥x轴，∴点F和点P的纵坐标相等，即，
∴，∴点F的坐标为（，），
∴，
∴，
∴当m＝3时，的最大值为，
此时，点P的坐标为（3，）；
（3）由（2）中得，点P的坐标为（3，），∴点D的坐标为（3，），
∵△PCD绕着点O顺时针旋转得到，C（0，3），
∴点C'的坐标为（3，0），点D'的坐标为（，﹣3），
∵A（﹣2，0），C（0，3），∴
∵抛物线沿射线CA方向平移，∴抛物线向左平移了1个单位长度，向下平移了个单位长度，
∴平移后抛物线的对称轴为直线
设点M（1，y），N（m，n，C'（3，0），（，﹣3），
①以MN为对角线时，如图①，
有，，，
∴，解得：或，
∴点N的坐标为（，）或（，）；
②以MC'为对角线时，如图②，
有，，，
∴，解得：，∴点N的坐标为（，）；
③以MD'为对角线时，如图③，
有，，，
∴，解得：，∴点N的坐标为（，）；
综上所述，当以点M，N，C′，D′为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（，）或（，）；或（，）或（，）．
【点睛】本题考查二次函数综合和一次函数综合、二次函数的解析式和一次函数的解析式、二次函数的性质及平移、矩形的性质、锐角三角函数，解题的关键是熟知函数图像上点的坐标特征及二次函数的相关知识，并会用含由未知数的式子表示函数图像上点的坐标．
11．（2022·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（，0），与y轴交于点C，且OB＝OC，连接AC．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴交直线AC于点E，过点A作AF⊥AC交直线PE于点F，若，求点P的坐标；
(3)如图2，点D是抛物线y的顶点，将抛物线y沿着射线AC平移得到，为抛物线的顶点，过作⊥x轴于点M．在平移过程中，是否存在以D、、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)P（﹣，﹣）
(3)存在，（2，﹣）或（，）或（，）
【分析】（1）利用对称轴为直线，可求得A（，0），再根据OB＝OC，可得C（0， ），再运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，设PE交x轴于点H，运用待定系数法可得：直线AC的解析式为，设P（t，），则E（t，），H（t，0），运用勾股定理可得，利用∽，可求得，再利用，建立方程求解即可；
（3）利用待定系数法求得直线DD′的解析式，设（m，），则M（m，0），可得出：，，，根据以D、D'、M为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：或或，分别建立方程求解即可．
【详解】(1)解：∵对称轴为直线，与x轴交于A、B（，0）两点，
∴A（，0），OB＝，
∵OB＝OC，∴C（0，），
设抛物线为，将C（0，）代入，
得：，解得：，
∴，
∴该抛物线的解析式为；
(2)解：如图3，设PE交x轴于点H，
设直线AC的解析式为，
∵A（，0），C（0，），∴ ，解得： ，
∴直线AC的解析式为，
设P（t，），则E（t，），H（t，0），
∴，EH＝，
∵，∴ ，
∵AF⊥AC，∴，
∵，∴∽，∴ ，即，∴，
∵，∴，∴ ，
解得：，（舍去），又，
∴P（，）；
(3)解：存在以D、、M为顶点的三角形是等腰三角形．
如图2，∵点D是抛物线y的顶点，将抛物线y沿着射线AC平移得到，D'为抛物线的顶点，
∴，
设直线的解析式为，将D（，）代入，得：，
解得：，∴直线的解析式为，
设（m，），则M（m，0），∴，
，，
∵以D、、M为顶点的三角形是等腰三角形，∴或或，
当时，，解得：，（舍去），
∴（，）；
当时，，解得：，（舍去），
∴（，）；
当时，，
解得：，（舍去），
∴（，）；
综上，的坐标为（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图像和性质，相似三角形的判定和性质，抛物线的平移变换，等腰三角形性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰三角形性质，灵活运用分类讨论思想是解题关键．
回归教材重难点11 二次函数与几何的综合应用
二次函数的综合应用是初中《二次函数》章节的重点内容，考查的相对比较综合，把二次函数图像与性质结合起来，联系几何图形的性质综合考查。在中考数学中，主要是以解答题形式出现。通过熟练二次函数性质，提升数学学科素养，提高逻辑思维推断能力。
本考点是中考五星高频考点，在全国各地的中考试卷中均有出现，题目难度较大，甚至有些地方将其作为解答题的压轴题。
1.几何图形存在性问题；
2.最值问题（长度、面积）；
3.证明定值问题；
4.相似问题
1．（2021·甘肃兰州·中考真题）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；
（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转90得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点P的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）①或；②或．
【分析】（1）根据点的坐标以及已知条件，将的坐标代入即可求得的值，进而求得抛物线的解析式；
（2）依题意根据（1）的解析式求得的坐标，进而求得，据此求得，根据进而求得的坐标，根据即可求得的面积；
（3）①过作轴，分点在轴上方和下方两种情况讨论，证明，设，将点的坐标代入（1）中抛物线解析式中即可求得点的坐标情形2，方法同情形1；
②分当不平行于轴和轴两种情况讨论，当当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，证明进而可得的坐标，当轴时，结合已知条件即可求得的坐标．
【详解】（1）二次函数的图象经过，，解得
，
（2）由，令，解得，
，当时，
，,则
；
（3）如图，当点在轴下方时，过点作于点，
由，令，
解得
，
，
将线段绕点逆时针旋转90得到线段，
，，
设，
点在抛物线上，
解得（舍）
当点在轴上方时，如图，
过点作于点，设
同理可得
点在抛物线上，
解得（舍去），
综上所述，或；
②当不平行于轴时，过点作交于点,过点作于点，如图，
平分，，
，
,
，
当不平行于轴时，重合，
，
当轴时，如图，
此时
则
综上所述，当平方时，点的坐标为或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与坐标轴交点，正切的定义，三角形全等的性质与判定，分类讨论是解题的关键．
2．（2021·辽宁沈阳·中考真题）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，拋物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B坐标是．拋物线与y轴交于点，点P是拋物线的顶点，连接．
（1）求拋物线的函数表达式并直接写出顶点P的坐标．
（2）直线与拋物线对称轴交于点D，点Q为直线上一动点．
①当的面积等于面积的2倍时，求点Q的坐标；
②在①的条件下，当点Q在x轴上方时，过点Q作直线l垂直于，直线交直线l于点F，点G在直线上，且时，请直接写出的长．
【答案】（1），顶点坐标为（1，4）；（2）（2，1）或；②或．
【分析】（1）将和代入利用系数法求函数解析式，然后将一般式化为顶点式求顶点坐标；
（2）①求出的面积，设利用求得；
②利用列出方程，求出点的坐标，根据联立直线和的关系式，求出的坐标，从而求得．
【详解】解（1）由题意得，，，，．
（2）①如图1，
作于，
，，
直线，
，可设，
，
，
，
或．
或．
②如图2，
设，
由得，，
化简，得，
，，
，，，
作于，
，
，
，
即：，
，
，，
设直线是：，
，解得
，
由，解得
，
，
，
综上，的长为或．
【点睛】本题考查了二次函数，一次函数图象和性质及相似三角形等知识，解决问题的关键将点的坐标化成长度，转化成图形的相似等知识．
3．（2021·四川德阳·中考真题）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；
（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P（4，5）；（3）存在符合条件的点M，M的坐标为，，，
【分析】（1）把点A，C代入抛物线的解析式，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先作出点C关于x轴的对称点C'，然后连接AC'并延长交抛物线与点P，根据对称性可知P
为所求的点；
（3）根据勾股定理先求出∠APC的正切值，再设出点M的坐标为（m，m2-2m-3），利用∠MBN=∠APC列出关于m的方程，求出m，即可确定M的坐标．
【详解】解：（1）把点，代入，得到方程组：，解得，
抛物线的解析式为；
（2）作点关于轴的对称点，则，连接并延长与抛物线交与点，由图形的对称性可知为所求的点，
设直线的解析式为，由题意得：，解得：，
直线的解析式为，
将直线和抛物线的解析式联立得：解得（舍去）或，；
（3）存在点，过点作轴的垂线，由勾股定理得，
同理可求得，，
，，
，
，
，，
设点，则，解得或，
当时，，
，，
当，，
，，
存在符合条件的点，的坐标为，，，．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合应用，关键是要会用待定系数法求抛物线的解析式，第二问中三角形的内角到三边的距离是相等的，可考虑作关于轴的对称图形，此方法比较简洁，当题目中出现相等的角时，一般要考虑它们的三角函数值相等．
4．（2021·贵州毕节·中考真题）如图，抛物线与轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，项点为D，点B的坐标为．
（1）填空：点A的坐标为_________，点D的坐标为_________，抛物线的解析式为_________；
（2）当二次函数的自变量：满足时，函数y的最小值为，求m的值；
（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）（1，0），（2，-1），；（2）m的值为或；（3）点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【分析】（1）根据抛物线的对称轴及点B坐标可求出点A坐标，根据对称轴可求出b的值，把点A或B的坐标代入抛物线解析式可求出C的值，通过配方可求出顶点坐标；
（2）根据抛物线开口向上，分两种情况讨论求解即可；
（3）设P（1，t），由为斜边，则，根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=2，点B坐标为（3，0），且点A在B点的左侧，
∴A（1，0）
又x=
∴
把A（1，0）代入得，
∴抛物线的解析式为
∴顶点D坐标为（2，-1）
故答案为：（1，0），（2，-1），；
（2）∵抛物线开口向上，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，
①当，即时，
解得，（舍去）或
②当时，解得，或（舍去）
所以，m的值为或
（3）假设存在，设P（2，t）
当时，如图，
过点C作CG⊥PE于点G，则CG=2，PG=3-t
，∴ ，即
整理得， 解得，，
经检验：，是原方程的根且符合题意，∴点P的坐标为（2，1），（2，2）
综上，点P的坐标为：（2，1），（2，2）
【点睛】本题考查了二次函数综合题，二次函数图象的性质，相似三角形的判定与性质，灵活应用以上知识解决问题是本题的关键．
5．（2021·湖南湘西·中考真题）如图，已知抛物线经过，两点，交轴于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，求直线的解析式；
（3）请在抛物线的对称轴上找一点，使的值最小，求点的坐标，并求出此时的最小值；
（4）点为轴上一动点，在抛物线上是否存在一点，使得以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）直线的解析式为；（3），此时
的最小值为；（4）存在，或．
【分析】（1）把点A、B的坐标代入求解即可；
（2）设直线的解析式为，然后把点B、C的坐标代入求解即可；
（3）由题意易得点A、B关于抛物线的对称轴对称，根据轴对称的性质可得，要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，然后问题可求解；
（4）由题意可设点，然后可分①当AC为对角线时，②当AM为对角线时，③当AN为对角线时，进而根据平行四边形的性质及中点坐标公式可进行求解．
【详解】解：（1）∵抛物线经过，两点，∴，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）由（1）可得抛物线的解析式为，
∵抛物线与y轴的交点为C，∴，
设直线的解析式为，把点B、C的坐标代入得：，解得：，
∴直线的解析式为；
（3）由抛物线可得对称轴为直线，由题意可得如图所示：
连接BP、BC，
∵点A、B关于抛物线的对称轴对称，
∴，
∴，
要使的值为最小，则需满足点B、P、C三点共线时，即为BC的长，此时BC与对称轴的交点即为所求的P点，
∵，
∴，
∴的最小值为，
∵点P在直线BC上，
∴把代入得：，
∴；
（4）存在，理由如下：
由题意可设点，，当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，则可分：
①当AC为对角线时，如图所示：
连接MN，交AC于点D，
∵四边形ANCM是平行四边形，
∴点D为AC、MN的中点，
∴根据中点坐标公式可得：，即，解得：，∴；
②当AM为对角线时，同理可得：，即，
解得：，∴；
③当AN为对角线时，同理可得：
，即，解得：，∴；
∴综上所述：当以、、、四点为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为或．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质与图象是解题的关键．
6．（2021·山东淄博·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，连接．
（1）若，求抛物线对应的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，点位于直线上方的抛物线上，当面积最大时，求点的坐标；
（3）设直线与抛物线交于两点，问是否存在点（在抛物线上）．点（在抛物线的对称轴上），使得以为顶点的四边形成为矩形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）当以为顶点的四边形成为矩形时，点，．
【分析】（1）由题意易得，则有，然后把点C的坐标代入求解即可；
（2）由（1）可得，，然后可求出线段BC的解析式为，过点P作PE∥y轴，交BC于点E，设，则有，进而可根据铅垂法进行求解点P的坐标；
（3）由题意易得，抛物线的对称轴为，则可得，点
F的横坐标为，①当以GB为矩形的对角线时，根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，进而可得，，然后根据相似三角形可求解；②当以GB为矩形的对边时，最后分类求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
把点C的坐标代入得：，解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）由（1）可得抛物线解析式为，，，
设线段BC的解析式为，把点B、C代入得：
，解得：，
∴线段BC的解析式为，
过点P作PE∥y轴，交BC于点E，如图所示：
设，则有，
∴，
设的面积为S，由铅垂法可得△PCB的面积可以点B、C的水平距离为水平宽，PE为铅垂高，则有：
，
∴当a=2时，S有最大值，
∴点；
（3）存在，理由如下：
由题意可把点B的坐标代入直线得：，∴，
联立抛物线与直线BG的解析式得：，解得：，∴，
由抛物线可得对称轴为，∴点F的横坐标为，
①当以GB为矩形的对角线时，如图所示：
∴根据中点坐标公式可得点E的横坐标为，即为，∴，
根据中点坐标公式可知，即，
∴，∴，
∵，且四边形是矩形，
∴点E、F分别落在x轴的两侧才能构成矩形，即，
分别作EH⊥x轴于点H，过点G、B作过点F与x轴平行的直线的垂线，分别交于点M、N，如图，
∴，
∵四边形是矩形，∴，
∴，
∴，∴，∴，
∴，
∵，∴，∴，即，
∴，解得：（负根舍去），∴，；
②当以GB为矩形的边时，不存在以点E、F、G、B顶点的四边形为矩形；
综上所述：当以为顶点的四边形成为矩形时，点，．
【点睛】本题主要考查二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的综合、矩形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
7．（2021·山东枣庄·一模）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线经过点B和点C（0，4），△ABO从点，开始沿射线AB方向以每秒个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．
(1)求抛物线的解析式；
(2)当tan∠EMF＝时，请求出t的值；
(3)如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，请直接写出t的值．
【答案】(1)y= ；(2)或 ；(3) .
【分析】
（1）求出点B的坐标，把点B和点C的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解；
（2））设点D的坐标为（m，m﹣4），则点M的坐标为（m，﹣），用含m的式子表示出DM的长，求出DM＝1或7，分类讨论即可求解；
（3）连接OF，过点N作NH∥MF交OM于Q，交OB于H，证明四边形OADF是平行四边形，得到FG＝
OG＝t，利用SAS证明△PQN≌△PMF，得到NQ＝ME＝，证明△OQH∽△OMG，得到﹣＝2（），即可求解．
【详解】(1)将y＝0代入y＝x﹣4，得x﹣4＝0，∴x＝4，∴B（4，0），
∵抛物线经过点B（4，0）和点C（0，4），
∴，∴抛物线的解析式为y＝﹣；
(2)设点D的坐标为（m，m﹣4），
则点M的坐标为（m，﹣），∴DM＝（﹣）﹣（m﹣4）＝﹣，
∵△ABO平移得到△DEF，∴DF＝EF＝4，
∵tan∠EMF＝，∴MF＝3，
如图3，
当M位于EF上方时，MD＝DF+MF＝7，∴﹣＝7，
∴解得：m1＝，m2＝﹣（不合题意，舍去），
如图4，当M位于EF下方时，MD＝DF﹣MF＝1，
∴﹣＝1，解得：m＝不合题意，舍去）或，
∵t＝＝m，∴t＝或，
(3)连接OF，过点N作NH∥MF交OM于Q，交OB于H，
将x＝0代入y＝x﹣4，解得：y＝﹣4，∴A（0，﹣4），
∵B（4，0），∴OA＝OB＝4，
∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°，
由平移知OA∥FD，OA＝FD，∴四边形OADF是平行四边形，∴OF＝AD＝ t，∠OFD＝∠OAD＝45°，
∵∠OGF＝90°，
FG＝OG＝t，∴MF＝MG﹣FG＝，
∵NH∥MF，∴∠PQN＝∠PMF，∠PNQ＝∠PFM，
∵PN＝PF，∴△PQN≌△PMF（SAS），∴NQ＝MF＝ ，
由题意得点N的横坐标是点M的横坐标的，∴N（，），
QH＝NH﹣NQ＝﹣＝，
∵QH∥MG，∴∠OQH＝∠OMG，∠OHQ＝∠OGM，∴△OQH∽△OMG，
∴＝ ，∴MG＝2QH，∴﹣＝2（），
解得：t1＝，t2＝﹣（不符合题意，舍去），
∴t＝．
【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
8．（2021·江苏淮安·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
(1)求抛物线的函数表达式．
(2)若点P为第三象限内抛物线上一动点，作PD⊥x轴于点D，交AC于点E，过点E作AC的垂线与抛物线的对称轴和y轴分别交于点F、G，设点P的横坐标为m．
①求PE+EG的最大值；
②连接DF、DG，若∠FDG＝45°，求m的值．
【答案】(1)y＝x2+2x﹣3；(2)①；②-1或
【分析】（1）运用待定系数法将B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c，解方程组求出b、c即可；
（2）①利用待定系数法求出直线AC的解析式，过点E作EK⊥y轴于点K，设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），从而得出EG，运用二次函数求最值方法即可；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，直线EG与x轴交于点N．先证明△DGF∽△EGD，可得出DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，再运用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】(1)∵抛物线y＝x2+bx+c经过点B（1，0），C（0，﹣3），∴，解得：，
∴抛物线的函数表达式为：y＝x2+2x﹣3；
(2)①当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，
得：，解得：，∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∵OA＝OC＝3，∴∠OAC＝∠OCA＝45°，
过点E作EK⊥y轴于点K，
∵EG⊥AC，∴∠KEG＝∠KGE＝45°，∴EG＝＝EK＝OD，
设P（m，m2+2m﹣3），则E（m，﹣m﹣3），∴PE＝﹣m﹣3﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m，
∴PE+EG＝PE+2OD＝﹣m2﹣3m﹣2m＝﹣m2﹣5m＝﹣（m+）2+，
由题意有﹣3＜m＜0，且﹣3＜﹣＜0，﹣1＜0，
当m＝﹣时，PE+EG取最大值，PE+EG的最大值为；
②作EK⊥y轴于K，FM⊥y轴于M，记直线EG与x轴交于点N，
∵EK⊥y轴，PD⊥x轴，∠KEG＝45°，∴∠DEG＝∠DNE＝45°，∴DE＝DN．
∵∠KGE＝∠ONG＝45°，∴OG＝ON，
∵y＝x2+2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣1，∴MF＝1，
∵∠KGF＝45°，∴GF＝＝MF＝，
∵∠FDG＝45°，∴∠FDN＝∠DEG．
又∵∠DGF＝∠EGD，∴△DGF∽△EGD，∴＝，
∴DG2＝FG•EG＝×（﹣m）＝﹣2m，
在Rt△ONG中，OG＝ON＝|OD﹣DN|＝|OD﹣DE|＝|﹣m﹣（m+3）|＝|﹣2m﹣3|，
OD＝﹣m，
在Rt△ODG中，∵DG2＝OD2+OG2＝m2+（2m+3）2＝5m2+12m+9，
∴5m2+12m+9＝﹣2m，解得m1＝﹣1，m2＝．
【点睛】本题考查二次函数解析式、线段和最短问题、相似三角形，能够灵活使用方程思想解决问题是解题的关键，常用勾股定理、相似比列方程．
9．（2022·浙江·嘉兴一中一模）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC＝S△ABC时，求点P的坐标；
(3)点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)P1（1，10.5），P2（7，4.5）；(3)存在，（3，8）或或（3，11）
【分析】（1）直接将A（﹣2，0）和点B（8，0）代入y＝x2+bx+c（a≠0），解出b，c的值即可得出答案；
（2）先求出点C的坐标及直线BC的解析式，再根据图及题意得出三角形PBC的面积；过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，设，根据三角形PBC的面积列关于t的方程，解出t的值，即可得出点P的坐标；
（3）由题意得出三角形BOC为等腰直角三角形，然后分MN＝EM，MN＝NE，NE＝EM三种情况讨论结合图形得出边之间的关系，即可得出答案．
【详解】(1)解：∵抛物线y＝x2+bx+c过点A（﹣2，0）和点B（8，0），
∴，∴抛物线解析式为：；
(2)解：当x＝0时，y＝8，∴C（0，8），∴直线BC解析式为：y＝﹣x+8，
∵，∴ 14
过点P作PG⊥x轴，交x轴于点G，交BC于点F，
设，∴F（t，﹣t+8），∴，∴，
即 ，∴t1＝1，t2＝7，
∴P1（1，10.5），P2（7，4.5）；
(3)解：存在，点M的坐标为：（3，8），或（3，11）．
∵C（0，8），B（8，0），∠COB＝90°，
∴△OBC为等腰直角三角形，
抛物线的对称轴为，∴点E的横坐标为3，
又∵点E在直线BC上，∴点E的纵坐标为5，∴E（3，5），
设，
①当MN＝EM，∠EMN＝90°，△NME∽△COB，则， 解得或（舍去），
∴此时点M的坐标为（3，8），
②当ME＝EN，当∠MEN＝90°时，则，解得：或（舍去），
∴此时点M的坐标为；
③当MN＝EN，∠MNE＝90°时，此时△MNE与△COB相似，
此时的点M与点E关于①的结果（3，8）对称，
设M（3，m），则m﹣8＝8﹣5，解得m＝11，∴M（3，11）；此时点M的坐标为（3，11）；
故在射线ED上存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似，点M的坐标为：（3，8）或或（3，11）．
【点睛】本题是一道综合题，涉及二次函数的综合、相似三角形的判定及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、正方形的性质等知识点，综合性比较强，解答类似题的关键是添加合适的辅助线．
10．（2022·重庆·模拟预测）如图1，二次函数与x轴交于点A（﹣2，0）、点B（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），．
(1)求二次函数解析式；
(2)如图2，点P是直线BC上方抛物线上一点，PD∥y轴交BC于D，PE∥BC交x轴于点E，求PD+BE的最大值及此时点P的坐标；
(3)在（2）的条件下，当PD+BE取最大值时，连接PC，将绕原点O顺时针旋转至；将原抛物线沿射线CA方向平移个单位长度得到新抛物线，点M在新抛物线的对称轴上，点N为平面内任意一点，当以点M，N，，D′为顶点的四边形是矩形时，请直接写出点N的坐标．
【答案】(1)；(2)当时，PD+BE的最大值为，点P的坐标为（3，）
(3)当以点M，N，，D′为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（， ）或（，）或（，）或（，）．
【分析】（1）先求出点B的坐标为（6，0），然后利用待定系数法求解即可；
（2）过P作PF∥x轴交BC于点F，则四边形PEBF为平行四边形，从而得到PD+BE＝PD+PF，求出直线BC的解析式为，设点P的坐标为（m，），则点D的坐标为（m，），则，再求出点F的坐标为（，），得到，则，由此利用二次函数的性质求解即可；
（3）分三种情况①以MN为对角线时，如图①，有，，，②以为对角线时，如图②，有，，，③以为对角线时，如图③，有，，，由此讨论求解即可．
【详解】(1)解：∵点C的坐标为（0，3），∴OC＝3，
∵，∴OB＝6，∴点B的坐标为（6，0），
由抛物线经过点A（﹣2，0），B（6，0）设抛物线的解析式为，
将点C（0，3）代入解析式为，∴，
∴抛物线的解析式为；
(2)解：过P作PF∥x轴交BC于点F，
∵PE∥BC，∴四边形PEBF为平行四边形，∴PF＝BE，∴PD+BE＝PD+PF，
设直线BC的解析式为，则，解得：，
∴直线BC的解析式为，设点P的坐标为（m，），则点D的坐标为（m，），
∴，
∵PF∥x轴，∴点F和点P的纵坐标相等，即，
∴，∴点F的坐标为（，），
∴，
∴，
∴当m＝3时，的最大值为，
此时，点P的坐标为（3，）；
（3）由（2）中得，点P的坐标为（3，），∴点D的坐标为（3，），
∵△PCD绕着点O顺时针旋转得到，C（0，3），
∴点C'的坐标为（3，0），点D'的坐标为（，﹣3），
∵A（﹣2，0），C（0，3），∴
∵抛物线沿射线CA方向平移，∴抛物线向左平移了1个单位长度，向下平移了个单位长度，
∴平移后抛物线的对称轴为直线
设点M（1，y），N（m，n，C'（3，0），（，﹣3），
①以MN为对角线时，如图①，
有，，，
∴，解得：或，
∴点N的坐标为（，）或（，）；
②以MC'为对角线时，如图②，
有，，，
∴，解得：，∴点N的坐标为（，）；
③以MD'为对角线时，如图③，
有，，，
∴，解得：，∴点N的坐标为（，）；
综上所述，当以点M，N，C′，D′为顶点的四边形是矩形时，点N的坐标为（，）或（，）；或（，）或（，）．
【点睛】本题考查二次函数综合和一次函数综合、二次函数的解析式和一次函数的解析式、二次函数的性质及平移、矩形的性质、锐角三角函数，解题的关键是熟知函数图像上点的坐标特征及二次函数的相关知识，并会用含由未知数的式子表示函数图像上点的坐标．
11．（2022·重庆·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像开口向上，对称轴为直线，与x轴交于A、B两点，其中B点的坐标为（，0），与y轴交于点C，且OB＝OC，连接AC．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图1，P为直线AC下方抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴交直线AC于点E，过点A作AF⊥AC交直线PE于点F，若，求点P的坐标；
(3)如图2，点D是抛物线y的顶点，将抛物线y沿着射线AC平移得到，为抛物线的顶点，过作⊥x轴于点M．在平移过程中，是否存在以D、、M为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；(2)P（﹣，﹣）
(3)存在，（2，﹣）或（，）或（，）
【分析】（1）利用对称轴为直线，可求得A（，0），再根据OB＝OC，可得C（0， ），再运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，设PE交x轴于点H，运用待定系数法可得：直线AC的解析式为，设P（t，），则E（t，），H（t，0），运用勾股定理可得，利用∽，可求得，再利用，建立方程求解即可；
（3）利用待定系数法求得直线DD′的解析式，设（m，），则M（m，0），可得出：，，，根据以D、D'、M为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况：或或，分别建立方程求解即可．
【详解】(1)解：∵对称轴为直线，与x轴交于A、B（，0）两点，
∴A（，0），OB＝，
∵OB＝OC，∴C（0，），
设抛物线为，将C（0，）代入，
得：，解得：，
∴，
∴该抛物线的解析式为；
(2)解：如图3，设PE交x轴于点H，
设直线AC的解析式为，
∵A（，0），C（0，），∴ ，解得： ，
∴直线AC的解析式为，
设P（t，），则E（t，），H（t，0），
∴，EH＝，
∵，∴ ，
∵AF⊥AC，∴，
∵，∴∽，∴ ，即，∴，
∵，∴，∴ ，
解得：，（舍去），又，
∴P（，）；
(3)解：存在以D、、M为顶点的三角形是等腰三角形．
如图2，∵点D是抛物线y的顶点，将抛物线y沿着射线AC平移得到，D'为抛物线的顶点，
∴，
设直线的解析式为，将D（，）代入，得：，
解得：，∴直线的解析式为，
设（m，），则M（m，0），∴，
，，
∵以D、、M为顶点的三角形是等腰三角形，∴或或，
当时，，解得：，（舍去），
∴（，）；
当时，，解得：，（舍去），
∴（，）；
当时，，
解得：，（舍去），
∴（，）；
综上，的坐标为（，）或（，）或（，）．
【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，二次函数图像和性质，相似三角形的判定和性质，抛物线的平移变换，等腰三角形性质，勾股定理等，熟练掌握相似三角形的判定和性质及等腰三角形性质，灵活运用分类讨论思想是解题关键．
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