2022届云南省师范大学附属中学高三下学期高考适应性月考卷（十）文科数学试题及答案

文科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．由于抛物线与直线有两个公共点，分别为，，则集合有两个元素，所以的子集个数为，故选C．

2．设大夫、不更、簪裹、上造、公士所出的钱数依次排成一列，构成数列．根据题意可知，等差数列中，前5项和为100，设公差为，前项和为，则，解得，所以，所以公士出的钱数为，故选A．

3．对于A，根据散点图知，7：00～7：30内，每分钟的进校人数与相应时间呈正相关，故A正确；由图知，曲线的拟合效果更好，故乙同学的回归方程拟合效果更好，故B正确；对于C，表格中并未给出对应的值，而由甲的回归方程得到的只能是估计值，不一定就是实际值，故C错误；对于D，全校学生近600人，从表格中的数据知，7：26～7：30进校的人数超过300，故D正确，故选C．

4．因为，又与的夹角为钝角，所以且与不共线，即且，所以，故选A．

5．对于A，如图1，，，结合，，可知，故A正确；对于B，如图2，，可能异面，故B错误；对于C，如图3，，可能相交，故C错误；对于D，如图4，可能相交，故D错误，故选A．

6．对于命题：因为在上单调递减，所以，即；对于命题：由，得，所以．由为真，为假，可得，一真一假．若假真，则 若真假，则 所以，故选D．

7．由题得，即. 由得，所以

，解得，则排放前至少还需过滤的时间为，故选D．

8．设球O的半径是，根据对称性知，球O的球心为中间截面的中心，如图5，即正方形ABCD的中心，于是，则，故，所以正八面体的体积是，球O的体积是，则，故选C．

9．对于A，C，函数都不是奇函数，故排除. 若曲线在这两点处的切线重合，则首先要保证两点处导数相同；对于B，，若斜率相同，则切点，，代入解得切线方程分别为，；若切线重合，则，此时两切点，为同一点，不符合题意，故B错误；对于D，，令得，则取，切线均为，即存在不同的两点，使得切线重合，故D正确，故选D．

10．如图6，因为，所以为线段的中点；由于，所以，所以△为等腰三角形，且有连接，又，点Q在双曲线C上，由双曲线的定义，可得，故；所以在中，有，即，整理得，所以离心率，故选C．

11．，由题知，且，解得，于是．方程在区间内的实数根，即为在区间内的图象与直线的交点的横坐标，如图7所示，由图象的对称性可知，，即，所以，故选B．

12．由题，化简整理得，于是所以，进而，据此，在上单调递增，在上单调递减，因为，即．对于A，由，又，所以，即，故A错误；对于B，，因为，所以，而，所以，故B错误；对于C，，而，所以，所以，故C正确；对于D，由，因为，所以，所以，故D错误，故选C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．因为直线过，由题意，点是抛物线的焦点，所以．

14．因为，所以复数在复平面内对应的点为，则解得．又为整数，故答案为0．（答案不唯一，为–3，–2，–1，0，1，2，3均可）

15．，，，解得，同理可得，；；；；；数列是以6为周期的数列，又，．

16．如图8甲，因为在直四棱柱中，，所以平面；又因为，所以平面. 因为点F平面，所以，，则在中，，在中，；又，所以；由于是AD的中点，则. 如图乙，在平面内，以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，则有，设，由，得，化简得，所以点的轨迹是圆心为点，半径为的圆. 由于点F在矩形内，当在上时，即，，可取到点到直线距离的最小值，最小值为.

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：选择条件①：

（1）因为，，，

由余弦定理，得，

化简得，解得或（舍），所以． …………………（6分）

（2）因为，，所以．

由正弦定理，得，

所以．    ………………………………（12分）

选择条件②：

（1）因为，，所以，

因为，，所以，

由正弦定理得，得．     ……………………………………（6分）

（2）由（1）知，，又因为，，

所以在中，

，

所以．    ………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

（1）证明：如图9，平面平面，

平面平面，

，平面，

平面．           ……………………………………………………（3分）

又平面，．

，平面，，

平面．

又平面，平面平面．……………………………………（6分）

（2）解：设，则．

由（1）知，故．

所以，即，解得，所以．…………………（8分）

又由棱台的性质可知，故，

所以，

所以．   ……………………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

解：（1）

    .                   ………………………………………………………………（6分）

若关注同学的平均成绩，由，可知甲同学的平均成绩更好，故安排甲同学参加全校的比赛；

若关注成绩的稳定性，由，可知乙同学成绩的方差小，乙同学的成绩比甲同学的成绩稳定，故安排乙同学参加全校的比赛．（可以从不同的角度分析，言之有理即可）

                       ………………………………………………………………（8分）

（2）甲同学的成绩中有5个是合格的，分别是63，64，70，72，74，其中有3个成绩不低于70分，分别是70，72，74. 从5个成绩中，任取2个，共有10种可能性，分别是

由于2个成绩都低于70分，有1种可能性，即，故所求概率为．          ……………………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

（1）解：由题意，得，，

又因为，所以，，

故椭圆的方程为       …………………………………………………（4分）

（2）证明：，，

设，则，

所以直线的方程为，

令，得点的坐标为，

设，由，得显然，

直线的方程为，

将代入，得，即，

故直线的斜率存在，

且

又因为直线的斜率，

所以，即，，三点共线．……………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

（1）解：函数的定义域为，．…………………（2分）

令，解得，

则有当时，；当时，；

所以在上单调递减，在上单调递增．    …………………（5分）

（2）证明：由于，．

设，，

则在上的零点也是的零点，且有．

①当时，由于，

所以在上单调递增；

又，

所以；

由于，且，

所以存在唯一的，使得，即在上有1个零点．

②当时，设，所以，则当时，，

所以在上单调递减．

又，所以当时，，

即；

所以当时，．

设，，所以，则在上单调递减，

所以当时，，则，所以在上无零点．

③当时，由于，，

所以所以在上无零点．

综合①②③，可知，在上只有1个零点．   …………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（1）曲线可化为：

所以曲线的直角坐标方程． …………………………………（5分）

（2）点的直角坐标为，

由（1）知曲线表示圆心，半径的圆，

当直线与圆相切于点时，

，

．                 ……………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

解：（1）当时，不等式可化为，

当时，不等式可化为，解得，；

当时，不等式可化为，解得，；

当时，不等式可化为，解得，，

所以不等式的解集为．          ……………………………………（5分）

（2）由绝对值三角不等式，可得

，

，或，

所以的取值范围为．     ……………………………………（10分）