2022届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（七）数学（文）试题含解析

2022届云南省师范大学附属中学高三高考适应性月考卷（七）数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则集合中元素的个数为（       ）

A．3 B．2 C．1 D．0

【答案】C

【分析】利用直线与圆的位置关系判断.

【详解】因为圆心（0,0）到直线y=2的距离d=2=r，

所以直线与圆相切，

所以的元素的个数是1，

故选：C．

2．命题“若，则”的逆否命题是（       ）

A．若，则 B．若，则或

C．若，则 D．若或，则

【答案】D

【分析】根据命题和逆否命题的关系可得答案.

【详解】原命题的条件是“若”，结论为“”，则其逆否命题是：若或，则，

故选：D．

3．如图是某赛季两位篮球运动员最近10场比赛中各自得分的茎叶图，两人的平均得分分别为，则下列结论正确的是（       ）

A．，甲比乙稳定 B．，乙比甲稳定

C．，甲比乙稳定 D．，乙比甲稳定

【答案】A

【分析】利用茎叶图分别求得甲乙的平均数和方差判断.

【详解】因为，

，

所以，因为,

,

，

所以，

故选：A．

4．下列函数为奇函数的是（       ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【分析】根据奇偶性的定义逐一判断即可.

【详解】A选项，的定义域为，，，故为非奇非偶函数；

B选项，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；

C选项，的定义域为，，故为奇函数；

D选项，的定义域为，，，故为偶函数，

故选：C．

5．深秋时节，霜叶红满地．今要测量捡到的枫叶的面积，在边长为15cm的正方形纸片中描出枫叶的轮廓，然后随机撒入100粒豆子，恰有60粒落入枫叶轮廓中，则枫叶的面积近似为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】首先可得落入枫叶轮廓中的概率，然后可得答案.

【详解】由题可知，落入枫叶轮廓中的概率为，

所以枫叶的面积近似为

故选：B．

6．已知数列满足：，点在函数的图象上．记为的前n项和，则（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

【答案】A

【分析】由以及解析式求出，再由得出答案.

【详解】由题得，解得，故，所以，故选：A．

7．在复平面内，点分别对应复数，则（       ）

A． B．1 C． D．i

【答案】D

【分析】根据复数几何意义，求得，再结合复数的除法的运算法则，即可求解.

【详解】由点和分别对应复数，

可得，，

所以.

故选：D.

8．半径为4的圆与直线：、：分别相交于点A和点B、点和点D，若，则（       ）

A． B．5 C． D．4

【答案】A

【分析】首先求出直线与直线之间的距离、圆心到直线的距离，然后可得圆心到直线的距离，然后可得答案.

【详解】由题得直线与直线之间的距离为，所以圆心在两直线之间，

圆心到直线的距离为，则圆心到直线的距离为，

故，

故选：A．

9．函数在上的所有零点之和为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】求出的零点，然后利用等差数列的求和公式可得答案.

【详解】由得，，

故在上的零点从小到大排成首项为、公差为的等差数列．

由得，即该数列共有项，所以所有零点之和为，

故选：D．

10．如图，将长和宽之比为2：1的长方形纸片（图甲）折成一个正三棱柱（图乙）的侧面，则异面直线与所成角的余弦值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】运用割补法，结合余弦定理、异面直线所成角的定义进行求解即可.

【详解】设，则，．如图，通过补体将直线平移至，则异面直线与所成角等于与所成角．由图得，，则

故选：B．

11．已知分别为椭圆的左、右顶点，是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线的斜率分别为，若，则椭圆的短轴长为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】根据椭圆方程确定点A、B的坐标，设点P坐标，根据对称性可得点Q的坐标，利用两点坐标公式求出斜率，进而列出方程，解方程即可.

【详解】根据椭圆的标准方程知，

设，则，且，，，

所以，解得，

即椭圆的短轴长为

故选C．

12．三棱锥的四个顶点在球O的球面上，平面，则球O的表面积为（       ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在中利用正余弦定理可求得的外接圆半径，再根据球的半径和的外接圆半径以及球心到的外接圆所在圆面的距离之间的关系，即可求得答案.

【详解】由余弦定理可得，．

设的外接圆半径为，由正弦定理可得，

故，

由平面ABC,可知球心到的外接圆所在圆面的距离为 ,

所以球的半径为，

球的表面积为

故选:C．

二、填空题

13．某校高三年级有名学生，其中文科学生名．按文理科比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个样本容量为的样本，则应抽取理科学生人数为_______．

【答案】

【分析】根据分层抽样可计算出抽取理科学生人数.

【详解】设应抽取理科学生人数为，则，解得．

故答案为：．

14．已知，为单位向量，且在方向上的投影为，则______________．

【答案】

【分析】根据向量投影的定义求得，进而结合平面向量的数量积以及运算律即可求出结果.

【详解】由题得在方向上的投影为，又因为，为单位向量，则，所以，所以，即．

故答案为：．

15．已知，为双曲线：的左右焦点，直线：与双曲线C交于A，B两点，且，则双曲线C的离心率为______________．

【答案】

【分析】不妨设，分别在第一、第三象限，易知，再由得到是正三角形，利用双曲线的定义求解.

【详解】不妨设，分别在第一、第三象限，则．

由得，且四边形为矩形．

故是正三角形，，．

由双曲线的定义知，

从而，

故答案为：．

16．已知函数，下面四个结论：①的图象是轴对称图形；②的图象是中心对称图形；③在上单调；④的最大值为1．其中正确的有_______．

【答案】①③④

【分析】利用可知函数关于轴对称；分别判断与在的单调性与正负号，从而得在的单调性；由题意，当且仅当时取等号，所以最大值为，因为函数不可能是周期函数，从而的图象不可能是中心对称图形.

【详解】的定义域为，由于，所以的图象关于轴对称，故①正确；当时，单调递减且函数值为正数，单调递增且函数值为正数，故在上单调递减，故③正确；由于，所以，当且仅当时取等号，故④正确；由④知，当且仅当时，的函数值为，故不可能是周期函数，从而的图象不可能是中心对称图形，故②错误．

故答案为：①③④．

三、解答题

17．新冠肺炎疫情对人类生产生活产生了巨大影响，科学家正在研发新的治疗药物．新的治疗药物通常需要进行有效性试验．为了研究一种新药对治疗某疾病是否有效，进行了临床试验．采用简单随机抽样方法抽取100人，情况如下表：

(1)能否有的把握认为新药治疗该疾病有明显的效果？

(2)小明和其余4名同伴参与了该项研究，研究人员决定从他们5人中随机邀请3人进行试验回访，求3人中小明和其中一位同伴小亮同时被邀请访谈的概率．

附：．

【答案】(1)没有99%的把握认为新药治疗该疾病有明显的效果

(2)

【分析】（1）求出，再由独立性检验的原理即可求解；

（2）用列举法结合古典概型的概率公式求解即可

【详解】(1)根据表中数据可得

所以没有99%的把握认为新药治疗该疾病有明显的效果．

(2)记小明、小亮和其余3人分别为，为“从5人中随机邀请3人”，为“小明和其中一位同伴小亮同时被邀请”，则

故．

18．如图，在直三棱柱中，分别是的中点，F是棱上的点，满足，是的中点．

(1)证明：平面；

(2)求三棱锥的体积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）取的中点，得到且，证得且，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面．               

（2）根据题意先证得平面，得到点到平面的距离，结合和锥体的体积公式，即可求解.

【详解】(1)证明：如图所示，取的中点，连接，

因为分别是的中点，所以且，

又因为是的中点，所以且，

所以且，所以四边形是平行四边形，所以，

又因为平面，平面，所以平面．               

(2)解：由直三棱柱中，可得，

又由，且，平面，

所以平面，

又因为平面，且，

所以点到平面的距离，

由，

所以三棱锥的体积为．

19．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．

(1)求A；

(2)从两个条件：①；②中任选一个作为已知条件，求的面积．

【答案】(1)；

(2).

【分析】(1)根据正弦定理角化边，利用三角恒等变换即可求出A；

(2)若选①：结合，和正弦定理可求tanB，求出B，从而求出C，再根据三角形面积公式即可求解；

若选②：结合，和余弦定理可求c，从而求出b，再根据三角形面积公式求解即可.

【详解】(1)由正弦定理得，

∴．

又，∴，∴．

又，∴；

(2)若选择①，将，代入得，

即，∵，∴，，．

∴．

若选择②，将，代入得，

解得(舍去)，∴．

∴．

20．已知抛物线，焦点为F，点P是C上任一点(除去原点O)，过点P作C的切线交准线于点Q．

(1)当点P为时，求抛物线C在点P处的切线方程及的外接圆方程；

(2)若点P在第一象限，点R在准线上且位于点Q右侧，证明：．

【答案】(1)；；

(2)证明见解析.

【分析】(1)由得，利用导数求切线斜率和切线方程，可得△PQF为直角三角形，外接圆圆心为斜边中点，据此即可求其外接圆方程；

(2)设，求出和比较即可.

【详解】(1)由得，，则切线斜率为，

故切线方程为，即．

令得，即．

∴，的外接圆圆心为的中点，半径．

故的外接圆方程为．

(2)设，由(1)得切线斜率为，

∴，且切线为，即．

令得，即．

①当时，，；

，，满足．

②当时，

∴．

∵在第一象限，∴，故．

综上，．

21．已知函数．

(1)当时，求的极值；

(2)若在上的最小值为，求．

【答案】(1)极小值，无极大值

(2)或

【分析】（1）当时，，求出，然后可得答案；

（2）分、两种情况讨论，当时，可判断出在上有唯一零点，且，然后可得，然后可得的值.

【详解】(1)当时，，．

当时，；当时，．

所以在处取极小值，无极大值．

(2)由题得，．

①当时，，，故，在上单调递增．

所以，解得（舍去）．

②当时，，，且在上单调递增，

故在上有唯一零点，且．

当，，单调递减；

当，，单调递增．

所以，

即，解得，或，．

综上，的值为或．

22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程（t为参数），在以原点О为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线C的普通方程和直线的直角坐标方程；

(2)求曲线C上的点到直线距离的最小值．

【答案】(1)；

(2)

【分析】（1）利用整体消参求出曲线的普通方程为，利用公式法求出直线的直角坐标方程；

（2）设点的坐标为，利用点到直线的距离公式表示出点到直线的距离，利用基本不等式求出最小值.

【详解】(1)由得消去参数得，

又，所以曲线的普通方程为．

由得，

所以直线的直角坐标方程为．

(2)设点的坐标为，则点到直线的距离为

，

当，即，，可以取到上述“”，此时点为．

所以曲线上的点到直线距离的最小值为．

23．已知函数．

(1)若不等式有解，求实数的取值范围；

(2)当时，记的最大值为．若，，，，，证明：．

【答案】(1)

(2)证明见解析

【分析】（1）由绝对值不等式得，不等式有解的充要条件是，求解即可；

（2）由绝对值不等式得，继而有，运用作差比较法可得证.

【详解】(1)解：由绝对值不等式得，

故，当且仅当时取“”．

所以不等式有解的充要条件是，解得或．

故实数的取值范围为．

(2)证明：由题得，当且仅当时取“”，故．

所以，．

因为

，

所以，

故．