2022届云南省师范大学附属中学高三上学期高考适应性月考卷（三）理科数学试题 PDF版含答案

理科数学参考答案

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

【解析】

1．，，故选C．

2．因为，，则，所以，故选Ａ．

3．根据频率分布直方图知：组距为20，所以，故A选项正确；这100株水稻的稻穗数平均值

，可知这100株水稻的稻穗数平均值在区间中，故B选项错误；由频率分布直方图知第三个矩形最高，所以这100株水稻的稻穗数的众数是250，故C选项正确；前两个矩形的面积是，前三个矩形的面积是，所以中位数在第三组数据中，即这100株水稻的稻穗数的中位数在区间中，故选项D正确，故选B．

4．设等差数列的首项为，公差为，，，解得： 则，故选Ｃ．

5．由得，，又，所以，于是且，得，故选C．

6．根据三视图知，三棱锥是一个正四面体，它的体积等于正方体的体积减去正方体四个角处三棱锥的体积．记每一个角处三棱锥的体积为，则

，故选B．

7．依题意，直线是两条曲线，的公切线，切点为，设，因为，且公切线的斜率为1，所以由(2)得，，即，据换底公式，，将此式代入(1)得，，即，解得，故选D．

8．设椭圆的右焦点为，，又

，，当三点共线时取等号，的最小值为3，故选A．

9．由题知，方程有且只有一个解，令

，即直线与曲线有且只有一个交点，

，当时，，则，在上单调递增，当时，，则，在上单调递减， ，当时，，当时，，所以，故选C．

10．不超过44的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43，共14个，满足“和”等于44的有(3，41)，(7，37)，(13，31)共有3组，，故选D．

11．据题意点的坐标是，点是线段的中点，则直线的方程为，点是圆上的一点，点到直线距离的最小值也就是圆心到直线的距离减去半径，即，

    则，故选A．

12．由题可得正四棱锥的高为2，故可将正四棱锥放置在棱长为2的正方体中，如图1所示，易得线段的中点即为点，连接，则，进而，，所以在平面内，点的轨迹是以为圆心、以1为半径的圆，参考图2据平面几何知识不难算出圆心到线段的距离为，所以长度的最小值为，故选D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

【解析】

13．作出可行域，如图3中阴影部分所示，由解得故，作出直线，数形结合可知，当直线过点时，取得最小值为．

14．当时，；当时，，，又．

15．据题意，阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数可以的组合有(1，6)，(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)共有6种选择，根据乘法原理，这样的四位数共有个．

16．由题得，记函数的最小正周期为，则的零点与极值点之间的距离：，从而，而函数在区间上单调，因此任何极值点都不在区间内，因为是函数的一个极值点，所以的极值点为，从而，或，亦即，或，容易验证当时符合题意，当时不符合题意，而当时，有，也不符合题意．综上所述，的所有可能的取值构成的集合为．

三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

解：（1），点在椭圆上，

所以，得，从而，

所以椭圆的方程是．    ………………………………………………（6分）

（2）直线的方程是，因为，且过点，

所以直线的方程是，与椭圆联立得

所以两点的坐标分别为，

则．………………………………（12分）

18．（本小题满分12分）

解：（1）由知，

由正弦定理得，

将代入该式化简后得，

由于是三角形的内角，

则或者，舍去，

故，外接圆的半径为2，即，且，

由正弦定理得，

所以，且，

所以，故．        …………………………………………………（6分）

（2）因为外接圆的半径为2，即，且，

由正弦定理得，所以，

由余弦定理知，根据基本不等式有

所以，当时取等．

，

所以面积的最大值为．   ………………………（12分）

19．（本小题满分12分）

（1）证明：由题得， ，，在中，

由余弦定理得，所以是直角三角形，即，

又，且，所以平面，

因为是平行四边形，所以，

所以平面，且平面，

故平面平面．         …………………………………………………（6分）

（2）解：由（1）知，

，又，，

所以，且，

以为原点，分别以及平行于所在的直

线为轴建立空间直角坐标系（如图4所示），

连接，在平行四边形中，易得，

在直角三角形中，，

于是，，

因为是的中点，所以，

设平面的法向量，

则

取得，，

由（1）知轴，所以平面的法向量，

设二面角的平面角为，

则，

故所求二面角的余弦值为．     …………………………………………………（12分）

20．（本小题满分12分）

解：（1）设“三个黑球相连在一起被摸出”为事件A，则，

故三个黑球相连在一起被摸出的概率为． …………………………………………（4分）

（2）由题意可知的所有可能取值为1、2、3、4，

，

           …………………………………………………（8分）

则X的分布列为：

所以．………………………………………（12分）

21．（本小题满分12分）

（1）解：的定义域为，，

令，依题意在内有两个变号零点，

则方程的判别式，且，解得，且，

故．                    …………………………………………………（4分）

（2）证明：由（1）及韦达定理得，

因为函数图象的对称轴为，

所以，即，

，

其中，令，

，

令，

，

又函数在上是单调递增的，且，，

存在，使得在上有，单调递减；

在上，，单调递增，，，

，即，所以单调递减，

因为，所以，

则，不等式得证．……………………………（12分）

22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】

解：（1）因为，

曲线C的普通方程为

的直角坐标方程为．  …………………………………………………（5分）

（2）过定点，设曲线C上的点，且，

则，

当且仅当时取得最小值．   …………………………………………………（10分）

23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】

解：（1）

当时，，解得或，

又，所以；

当时，，解得，

又，所以；

当时，，解得或，

又，所以．

综上，原不等式的解集为． ……………………………………（5分）

（2）由绝对值三角不等式可得，当且仅当时取等号，

故解得．             …………………………………………………（10分）